Cho $a,b,c$ không âm và $a^2+b^2+c^2=1$
Chứng minh rằng $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab} \geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 14-06-2013 - 01:23
$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab} \geq 1$
Bắt đầu bởi 25 minutes, 14-06-2013 - 01:22
#1
Đã gửi 14-06-2013 - 01:22
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
#2
Đã gửi 14-06-2013 - 19:15
andymurray44
-
- Thành viên
-
- 153 Bài viết
Trung sĩ
Ta đi chứng minh:
$\frac{a}{bc+1}\leq \frac{2a}{bc+a+1}\Leftrightarrow \frac{abc+a^{2}+a-2abc-2a}{(bc+1)(bc+a+1)}\leq 0\Leftrightarrow \frac{a^{2}-abc-a}{(bc+1)(bc+a+1)}\Leftrightarrow \frac{a(a-bc-1)}{(bc+1)(bc+a+1)}\leq 0$
Luôn đúng do $\Sigma a^{2}=1$.Dấu"=" khi hoặc a=0,hoặc a=bc+1.
Suy ra $\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{2a}{bc+a+1}$
Lại có $(b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow bc+1\geq b+c\Rightarrow \sum \frac{2a}{bc+a+1}\leq \sum \frac{2a}{a+b+c}= 2$
Dấu"=" khi 2 số bằng 0,1 số bằng 1.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
