Chủ đề này có 7 trả lời

[mathpro9x]

cho $x,y$>0 thay đổi thỏa mãn:$x+y=2$.Tìm min,max của A với:A=$x^{4}+y^{4}+\frac{2}{3}x^{3}y^{3}-1$

 

[25 minutes]

cho $x,y$>0 thay đổi thỏa mãn:$x+y=2$.Tìm min,max của A với:A=$x^{4}+y^{4}+\frac{2}{3}x^{3}y^{3}-1$

Ta có $x^4+y^4=(x+y)^4-6x^2y^2-4xy(x^2+y^2)=16-6x^2y^2-4xy(4-2xy)=16+2x^2y^2-16xy$

   $\Rightarrow A=16+2x^2y^2-16xy+\frac{2}{3}x^3y^3-1=\frac{2}{3}t^3+2t^2-16t+15$ với $t=xy$

Áp dụng AM-GM ta có $t=xy \leq (\frac{x+y}{2})^2=1$

Do đó ta dễ dàng chứng minh được $\frac{2}{3}t^3+2t^2-16t+15 \geq \frac{5}{3}$ với $t \in \left (0;1 \right ]$

Vậy Min A là $\frac{5}{3}$ khi $x=y=1$

[mathpro9x]

Ta có $x^4+y^4=(x+y)^4-6x^2y^2-4xy(x^2+y^2)=16-6x^2y^2-4xy(4-2xy)=16+2x^2y^2-16xy$

   $\Rightarrow A=16+2x^2y^2-16xy+\frac{2}{3}x^3y^3-1=\frac{2}{3}t^3+2t^2-16t+15$ với $t=xy$

Áp dụng AM-GM ta có $t=xy \leq (\frac{x+y}{2})^2=1$

Do đó ta dễ dàng chứng minh được $\frac{2}{3}t^3+2t^2-16t+15 \geq \frac{5}{3}$ với $t \in \left (0;1 \right ]$

Vậy Min A là $\frac{5}{3}$ khi $x=y=1$

còn max thj sao anh

[mathpro9x]

còn max thj sao anh

ủa tk max =15 à anh.hình như ko phải lam saotk anh nói nốt đi ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathpro9x: 15-06-2013 - 11:11

[mathpro9x]

Ta có $x^4+y^4=(x+y)^4-6x^2y^2-4xy(x^2+y^2)=16-6x^2y^2-4xy(4-2xy)=16+2x^2y^2-16xy$

   $\Rightarrow A=16+2x^2y^2-16xy+\frac{2}{3}x^3y^3-1=\frac{2}{3}t^3+2t^2-16t+15$ với $t=xy$

Áp dụng AM-GM ta có $t=xy \leq (\frac{x+y}{2})^2=1$

Do đó ta dễ dàng chứng minh được $\frac{2}{3}t^3+2t^2-16t+15 \geq \frac{5}{3}$ với $t \in \left (0;1 \right ]$

Vậy Min A là $\frac{5}{3}$ khi $x=y=1$

em đạt x=t+1,y=1-t thì ra dc hay sao y

[25 minutes]

ủa tk max =15 à anh.hình như ko phải lam saotk anh nói nốt đi ạ

Max là 15 đạt được khi $(x,y)=(0,1)$ và hoán vị nhưng đề bài của em là $x,y>0$ cơ mà

Nếu $x,y \geq 0$ thì ta vẫn khảo sát $f(t)=\frac{2}{3}t^3+2t^2-16t+15$ với $t \in \left [ 0;1 \right ]$

              $\Rightarrow 15 \geq f(t) \geq \frac{5}{3}$

[Ha Manh Huu]

Max là 15 đạt được khi $(x,y)=(0,1)$ và hoán vị nhưng đề bài của em là $x,y>0$ cơ mà

Nếu $x,y \geq 0$ thì ta vẫn khảo sát $f(t)=\frac{2}{3}t^3+2t^2-16t+15$ với $t \in \left [ 0;1 \right ]$

              $\Rightarrow 15 \geq f(t) \geq \frac{5}{3}$

cấp 2 anh ơi em chưa biết khảo sát

[25 minutes]

cấp 2 anh ơi em chưa biết khảo sát

Chưa học khảo sát thì chắc em đã học qua 1 số bất đẳng thức đúng không ?

Dễ thấy $t \in \left [ 01; \right ]$ nên $\left\{\begin{matrix} \frac{2}{3}t^3 \leq \frac{2}{3}t\\2t^2 \leq 2t \end{matrix}\right.$

      $\Rightarrow A=\frac{2}{3}t^3+2t^2-16t+15 \leq \frac{2}{3}t+2t-16t+15=\frac{-40}{3}t+15 \leq 15$

Áp dụng AM-GM ta có 

                $\frac{2}{3}t^3+\frac{2}{3}+\frac{2}{3} \geq 2t$

                $2t^2+2 \geq 4t$

Và            $10 \geq 10t$

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta được $\frac{2}{3}t^3+2t^2+\frac{40}{3} \geq 16t$

                $\Rightarrow A \geq \frac{5}{3}$