Chủ đề này có 10 trả lời

[sasuke4598]

Cho $1≤a,b,c≤3$ và $a+b+2c= 6$ .

Chứng minh rằng : 

                                             $a^3 +b^3 +5c^3 ≤ 42$

 

[T M]

Trước hết, dựa vào điều kiện, bạn có đánh giá đầu tiên 

 

$$(a-1)^2(a-3) \leq 0 \Longleftrightarrow a^3 \leq 5a^2-7a+3$$

 

Tiếp tục bạn đánh giá đại lượng $a^2$ bằng đánh giá sau

 

$$(a-1)(a+3) \leq 0 \Longleftrightarrow a^2 \leq -2a+3$$

 

Làm tương tự với $b^3$ và $b^2$, bài toán trở về còn biến $c$, như sau

 

$$a^3+b^3+5c^3 \leq -17\left ( a+b \right )+36+5c^3 \leq 5c^3+34c-66$$

 

Bạn chỉ cần chỉ ra $5c^3+34c-66 \leq 42$ là xong, thật vậy, điều này tương đương

 

$$(c-2)\left ( 5c^2+10c+54 \right )\leq 0$$

 

Đúng vì $c\leq 3$. Bài toán được chứng minh xong.

 

__

 

Sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 19-06-2013 - 21:58

[T M]

Mình nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 19-06-2013 - 21:38

[ngocduy286]

Hướng giải.

 

Trước hết, dựa vào điều kiện, bạn có đánh giá đầu tiên 

 

$$(a-1)^2(a-3) \leq 0 \Longleftrightarrow a^3 \leq 5a^2-7a+3$$

 

Tiếp tục bạn đánh giá đại lượng $a^2$ bằng đánh giá sau

 

$$(a-1)(a+3) \leq 0 \Longleftrightarrow a^2 \leq -2a+3$$

 

Bạn sửa lại dòng cuối nhé, sai dấu rồi, có lẽ bạn định $ (a-1)(a-3) \leq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocduy286: 19-06-2013 - 21:47

[DarkBlood]

$$(c-2)\left ( 5c^2+10c+54 \right )\leq 0$$

 

Đúng vì $c\leq 3$. Bài toán được chứng minh xong.

Với $c=3$ thì $(c-2)(5c^2+10c+54)=129>0$ mà anh 

---------

Àk em nhầm, $c\neq 3$ vì $a,\ b\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 19-06-2013 - 22:21

[lequanghung98]

$a\geq 1, b\geq 1\Rightarrow a+b\geq 2\Leftrightarrow 6-2c\geq 2\Leftrightarrow c\leq 2$

$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1= 6-2c-1=5-2c$

$a^{3}+b^{3}+5c^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)+5c^{3}\leq (6-2c)^{3}-3(6-2c)(5-2c)+5c^{3}=(2-c)3(c^{2}-18c+14)+42$

Mà $c\leq 2\Rightarrow c(c-18)+14\leq 2(2-18)+14=-18< 0$ và $c\leq 2\Leftrightarrow 2-c\geq 0$

Nên $(2-c)3(c^{2}-18c+14)\leq 0\Leftrightarrow (2-c)3(c^{2}-18c+14)+42\leq 42 \Rightarrow a^{3}+b^{3}+5c^{3}\leq 42$

Dấu $'='$ xảy ra khi $a=1, b=1 và c=2$

 

 

@hocgiotto13031998: đề vẫn đúng mà.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lequanghung98: 19-06-2013 - 22:28

[hocgiotto13031998]

đề sai kìa . phải là a+b+5c=6 chứ.

[hocgiotto13031998]

 

$a\geq 1, b\geq 1\Rightarrow a+b\geq 2\Leftrightarrow 6-2c\geq 2\Leftrightarrow c\leq 2$

$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1= 6-2c-1=5-2c$

$a^{3}+b^{3}+5c^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)+5c^{3}\leq (6-2c)^{3}-3(6-2c)(5-2c)+5c^{3}=(2-c)3(c^{2}-18c+14)+42$

Mà $c\leq 2\Rightarrow c(c-18)+14\leq 2(2-18)+14=-18< 0$ và $c\leq 2\Leftrightarrow 2-c\geq 0$

Nên $(2-c)3(c^{2}-18c+14)\leq 0\Leftrightarrow (2-c)3(c^{2}-18c+14)+42\leq 42 \Rightarrow a^{3}+b^{3}+5c^{3}\leq 42$

Dấu $'='$ xảy ra khi $a=1, b=1 và c=2$

 

 

@hocgiotto13031998: đề vẫn đúng mà.

 

dọng thứ 5 của cậu sai rồi kìa xem lại đi

 

@Dark: Sai ở đâu nói rõ đi cậu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 19-06-2013 - 22:38

[lequanghung98]

Ờ nhể, bị đổi chiều. Sorry!

[lequanghung98]

Bạn nào lý luận giúp mình chỗ $c^{2}-18c+14< 0$ được không?

----------------

$c\leq 2\Rightarrow c^{2}\leq 2c\leq 4$

$c\geq 1\Leftrightarrow -18c\leq -18$

$\Rightarrow c^{2}-18c+14< 0$

Không biết thế này đã được chưa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lequanghung98: 19-06-2013 - 22:52

[hocgiotto13031998]

$\left1 ( 2\right )$$\left1 ( 2\right )$$\left1 ( 2\right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hocgiotto13031998: 19-06-2013 - 22:52