Cho $1≤a,b,c≤3$ và $a+b+2c= 6$ . Chứng minh rằng :$a^3 +b^3 +5c^3 ≤ 42$
#1
Posted 19-06-2013 - 20:58
- lequanghung98 and DarkBlood like this
To the extent math refers to reality, we are not certain;
to the extent we are certain, math does not refer to reality.~~Albert Einstein
#2
Posted 19-06-2013 - 21:29
Trước hết, dựa vào điều kiện, bạn có đánh giá đầu tiên
$$(a-1)^2(a-3) \leq 0 \Longleftrightarrow a^3 \leq 5a^2-7a+3$$
Tiếp tục bạn đánh giá đại lượng $a^2$ bằng đánh giá sau
$$(a-1)(a+3) \leq 0 \Longleftrightarrow a^2 \leq -2a+3$$
Làm tương tự với $b^3$ và $b^2$, bài toán trở về còn biến $c$, như sau
$$a^3+b^3+5c^3 \leq -17\left ( a+b \right )+36+5c^3 \leq 5c^3+34c-66$$
Bạn chỉ cần chỉ ra $5c^3+34c-66 \leq 42$ là xong, thật vậy, điều này tương đương
$$(c-2)\left ( 5c^2+10c+54 \right )\leq 0$$
Đúng vì $c\leq 3$. Bài toán được chứng minh xong.
__
Sai
Edited by T M, 19-06-2013 - 21:58.
- lequanghung98, BlackSelena, DarkBlood and 1 other like this
#3
Posted 19-06-2013 - 21:34
Mình nhầm
Edited by T M, 19-06-2013 - 21:38.
#4
Posted 19-06-2013 - 21:46
Hướng giải.
Trước hết, dựa vào điều kiện, bạn có đánh giá đầu tiên
$$(a-1)^2(a-3) \leq 0 \Longleftrightarrow a^3 \leq 5a^2-7a+3$$
Tiếp tục bạn đánh giá đại lượng $a^2$ bằng đánh giá sau
$$(a-1)(a+3) \leq 0 \Longleftrightarrow a^2 \leq -2a+3$$
Bạn sửa lại dòng cuối nhé, sai dấu rồi, có lẽ bạn định $ (a-1)(a-3) \leq 0$
Edited by ngocduy286, 19-06-2013 - 21:47.
- sasuke4598 likes this
#5
Posted 19-06-2013 - 21:47
$$(c-2)\left ( 5c^2+10c+54 \right )\leq 0$$
Đúng vì $c\leq 3$. Bài toán được chứng minh xong.
Với $c=3$ thì $(c-2)(5c^2+10c+54)=129>0$ mà anh
---------
Àk em nhầm, $c\neq 3$ vì $a,\ b\geq 1$
Edited by DarkBlood, 19-06-2013 - 22:21.
- T M and sasuke4598 like this
#6
Posted 19-06-2013 - 22:10
$a\geq 1, b\geq 1\Rightarrow a+b\geq 2\Leftrightarrow 6-2c\geq 2\Leftrightarrow c\leq 2$
$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1= 6-2c-1=5-2c$
$a^{3}+b^{3}+5c^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)+5c^{3}\leq (6-2c)^{3}-3(6-2c)(5-2c)+5c^{3}=(2-c)3(c^{2}-18c+14)+42$
Mà $c\leq 2\Rightarrow c(c-18)+14\leq 2(2-18)+14=-18< 0$ và $c\leq 2\Leftrightarrow 2-c\geq 0$
Nên $(2-c)3(c^{2}-18c+14)\leq 0\Leftrightarrow (2-c)3(c^{2}-18c+14)+42\leq 42 \Rightarrow a^{3}+b^{3}+5c^{3}\leq 42$
Dấu $'='$ xảy ra khi $a=1, b=1 và c=2$
@hocgiotto13031998: đề vẫn đúng mà.
Edited by lequanghung98, 19-06-2013 - 22:28.
- T M, DarkBlood and sasuke4598 like this
#7
Posted 19-06-2013 - 22:24
đề sai kìa . phải là a+b+5c=6 chứ.
#8
Posted 19-06-2013 - 22:37
$a\geq 1, b\geq 1\Rightarrow a+b\geq 2\Leftrightarrow 6-2c\geq 2\Leftrightarrow c\leq 2$
$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1= 6-2c-1=5-2c$
$a^{3}+b^{3}+5c^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)+5c^{3}\leq (6-2c)^{3}-3(6-2c)(5-2c)+5c^{3}=(2-c)3(c^{2}-18c+14)+42$
Mà $c\leq 2\Rightarrow c(c-18)+14\leq 2(2-18)+14=-18< 0$ và $c\leq 2\Leftrightarrow 2-c\geq 0$
Nên $(2-c)3(c^{2}-18c+14)\leq 0\Leftrightarrow (2-c)3(c^{2}-18c+14)+42\leq 42 \Rightarrow a^{3}+b^{3}+5c^{3}\leq 42$
Dấu $'='$ xảy ra khi $a=1, b=1 và c=2$
@hocgiotto13031998: đề vẫn đúng mà.
dọng thứ 5 của cậu sai rồi kìa xem lại đi
@Dark: Sai ở đâu nói rõ đi cậu.
Edited by DarkBlood, 19-06-2013 - 22:38.
- lequanghung98 and sasuke4598 like this
#9
Posted 19-06-2013 - 22:44
Ờ nhể, bị đổi chiều. Sorry!
#10
Posted 19-06-2013 - 22:45
Bạn nào lý luận giúp mình chỗ $c^{2}-18c+14< 0$ được không?
----------------
$c\leq 2\Rightarrow c^{2}\leq 2c\leq 4$
$c\geq 1\Leftrightarrow -18c\leq -18$
$\Rightarrow c^{2}-18c+14< 0$
Không biết thế này đã được chưa?
Edited by lequanghung98, 19-06-2013 - 22:52.
- sasuke4598 likes this
#11
Posted 19-06-2013 - 22:51
$\left1 ( 2\right )$$\left1 ( 2\right )$$\left1 ( 2\right )$
Edited by hocgiotto13031998, 19-06-2013 - 22:52.
- sasuke4598 likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users