Chủ đề này có 4 trả lời

[bachhammer]

Cho n là một số tự nhiên. Xét tập A gồm p (p là số nguyên tố có dạng 4k+3) phần tử là n; n+1; n+2; ... ; n+p-2. Chia tập A thành hai tập con là B và C có các phần tử thuộc tập A (các phần tử ko có sự trùng lặp với nhau). Hãy khẳng định hoặc phủ định mệnh đề sau: "Tồn tại tập A thỏa mãn đề bài sao cho có ít nhất một cách chia tập A thành hai tập B và C sao cho tích các phần tử của tập B bằng tích các phần tử của tập C".

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 25-06-2013 - 12:57

[nguyenthehoan]

Cho n là một số tự nhiên. Xét tập A gồm p (p là số nguyên tố có dạng 4k+3) phần tử là n; n+1; n+2; ... ; n+p-1. Chia tập A thành hai tập con là B và C có các phần tử thuộc tập A (các phần tử ko có sự trùng lặp với nhau). Hãy khẳng định hoặc phủ định mệnh đề sau: "Tồn tại tập A thỏa mãn đề bài sao cho có ít nhất một cách chia tập A thành hai tập B và C sao cho tích các phần tử của tập B bằng tích các phần tử của tập C"

Bài này làm sao ấy..tập $A$ tạo thành 1 hệ thặng dư đầy đủ modun p,nên có duy nhất 1 số là bội của $p$,Nên hiển nhiên không thể phân hoạch $A$ thành $2$ tập con $B,C$ thỏa mãn..

P/s:Chắc đề bài có nhầm lẫn

[bachhammer]

Bài này làm sao ấy..tập $A$ tạo thành 1 hệ thặng dư đầy đủ modun p,nên có duy nhất 1 số là bội của $p$,Nên hiển nhiên không thể phân hoạch $A$ thành $2$ tập con $B,C$ thỏa mãn..

P/s:Chắc đề bài có nhầm lẫn

 

Nhầm, phải là dãy n; n+1; ... ; n+p-2 mới đúng. Xin lỗi nha!!! 

[nguyenthehoan]

Nhầm, phải là dãy n; n+1; ... ; n+p-2 mới đúng. Xin lỗi nha!!! 

Thế này thì OK.

Ta thấy nếu dãy $n,n+1,...,n+p-2$ có một số chia hết cho $p$ thì hiển nhiên nó chỉ có duy nhất $1$ số chia hết cho $p$,và do đó dĩ nhiên không thể phân hoạch thành $2$ dãy con thỏa mãn đề được.

Do đó dãy trên khôngốc số nào là bội của $p$,nên số dư khi chia cho $p$ của dãy là $1,2,..,p-1$

Giả sử phân hoạch được dãy trên thành $2$ dãy con $A,B$ thỏa mãn

$\prod_{x\in A}x=\prod_{y\in B}y$

Suy ra $(\prod_{x\in A}x)^{2}=n.(n+1)...(n+p-2)\equiv (p-1)!$ Modun p

Theo định lí Wilson có $p|(p-1)!+1$ nên $p|(\prod_{x\in A}x)^{2}+1$.

Do đó tồn tại số nguyên $t$ thỏa mãn $p|t^{2}+1$.

Mà $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ nên hiển nhiên suy ra vô lí.

Do đó điều giả sử là sai,hay ta có Dpcm.

[bachhammer]

Thế này thì OK.

Ta thấy nếu dãy $n,n+1,...,n+p-2$ có một số chia hết cho $p$ thì hiển nhiên nó chỉ có duy nhất $1$ số chia hết cho $p$,và do đó dĩ nhiên không thể phân hoạch thành $2$ dãy con thỏa mãn đề được.

Do đó dãy trên khôngốc số nào là bội của $p$,nên số dư khi chia cho $p$ của dãy là $1,2,..,p-1$

Giả sử phân hoạch được dãy trên thành $2$ dãy con $A,B$ thỏa mãn

$\prod_{x\in A}x=\prod_{y\in B}y$

Suy ra $(\prod_{x\in A}x)^{2}=n.(n+1)...(n+p-2)\equiv (p-1)!$ Modun p

Theo định lí Wilson có $p|(p-1)!+1$ nên $p|(\prod_{x\in A}x)^{2}+1$.

Do đó tồn tại số nguyên $t$ thỏa mãn $p|t^{2}+1$.

Mà $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ nên hiển nhiên suy ra vô lí.

Do đó điều giả sử là sai,hay ta có Dpcm.

Bạn chưa chứng minh dòng cuối nhỉ, là dòng thứ áp chót... Thôi, chắc bạn cũng xài định lí Fermat để chứng minh hả? (chắc là vậy rùi)