Chủ đề này có 4 trả lời

[mat troi be nho]

Cho số tự nhiên $m\geq 2$.Tìm số tự nhiên $n>m$ nhỏ nhất thỏa mãn khi chia tập $ \{m,m+1,\cdots,n\} $ thành $2$ tập con sao cho ít nhất $1$ tập chứa $3$ phần tử $a,b,c$ sao cho $ c=a^{b} $

 

 

 

[barcavodich]

Giải như sau

Đầu tiên ta chỉ ra rằng $ n=m^{m^{m+2}} $ thỏa đề

Thật vậy với $ n=m^{m^{m+2}} $ ta xét tập $ S=\{m,m+1,\ldots,m^{m^{m+2}}\} $ được chia thành $2$ tập con $A,B$ 

Phản chứng giả sử trong mỗi tập $A,B$ được chia thì khppng tồn tại $3$ phần tử $a,b,c$ sao cho $c=a^b$

KMTTQ giả sử $ m\in A $ 

Khi đó $ m^m\in B $(do điều ta giả sử)

$ (m^m)^{m^m}=m^{m^{m+1}}\in A $,$ \left(m^{m^{m+1}}\right)^m=m^{m^{m+2}}\in B $

Lại có $ \left(m^m\right)^{m^{m+1}}=m^{m^{m+2}} $ 

Do đó $ m^{m+1}\in A $

Khi đó $ m,m^{m+1},m^{m^{m+1}}\in A $(mâu thuẫn)

Nên $ n=m^{m^{m+2}} $ thỏa mãn

Bây giờ ta chứng minh $ n=m^{m^{m+2}} $ là bé nhất

Thật vậy

Xét $2$ tập $ A=\{m,m+1,\ldots,m^m-1\}\cup\{m^{m^{m+1}},\ldots,m^{m^{m+2}}-1\} $ 

$ B=\{m^m,\ldots,m^{m^{m+1}}-1\} $

Ta có $ m^m>m^m-1 $

$ \left(m^m-1\right)^{m^m-1}<\left(m^m\right)^{m^m}=m^{m^{m+1}} $,$ \left(m^{m^{m+1}}\right)^{m^{m^{m+1}}}>m^{m^{m+2}}-1 $

Do đó không thể tồn tại $ a,b\in A $ thỏa $ a^b\in A $

Mặt khác $\forall c,d\in B$ ta có $ c^d\ge\left(m^m\right)^{m^m}>m^{m^{m+1}}-1 $

$ c^d\not\in B $

QED.

[nguyenta98]

Cho số tự nhiên $m\geq 2$.Tìm số tự nhiên $n>m$ nhỏ nhất thỏa mãn khi chia tập $ \{m,m+1,\cdots,n\} $ thành $2$ tập con sao cho ít nhất $1$ tập chứa $3$ phần tử $a,b,c$ sao cho $ c=a^{b} $

Bài của anh barcavodich là đúng rồi, sau đây là một cách lập luận khác tự nhiên hơn

Giải như sau:

Đặt $S=\{m,m+1,m+2,...,n\}$ có ít nhất một số dạng $a^b$ với $a,b \in S$ thì $n\geq m^m$

Mặt khác $n\geq (m^m)^{m^m}$ vì nếu ngược lại $(1)$ tập $S$ được chia thành hai tập $A,B$ sao cho $A=\{m,m+1,...,m^m-1\}$ còn $B=\{m^m,m^m+1,...,n\}$
Khi đó rõ ràng $A$ không chứa $a,b,c$ để $c=a^b$ trong khi $B$ cũng không chứa $a,b,c$ để $c=a^b$ vì nếu ngược lại thì $c\geq (m^m)^{m^m}$ hay $n\geq (m^m)^{m^m}$ mâu thuẫn $(1)$

Do đó $n\geq (m^m)^{m^m}=m^{m^{m+1}}$, mặt khác cũng theo cách chia $S$ thành $A,B$ tương tự trên, ta suy ra $n\geq (m^m)^{m^{m+1}}=m^{m^{m+2}}$ thật vậy nếu ngược lại suy ra $n\le m^{m^{m+2}-1}$ có $A=\{m,m+1,...,m^m-1,m^{m^{m+1}},m^{m^{m+1}}+1,...,n\}$ còn $B=\{m^m,m^m+1,...,m^{m^{m+1}}-1\}$ khi ấy rõ ràng $B$ không chứa $a,b,c$ để $c=a^b$ vì nếu không $c\geq (m^m)^{m^m}>m^{m^{m+1}}-1$ giờ xét $A$ rõ ràng nếu có $a,b,c \in A$ sao cho $c=a^b$ thì $c \not \in \{m,m+1,...,m^m-1\}$ khi đó $c \in \{m^{m^{m+1}},...,n\}$ lúc đó $a,b$ không thể cùng thuộc tập $\{m,m+1,...,m^m-1\}$ vì ngược lại thì $a^b\le (m^m-1)^{m^m-1}<(m^m)^{m^m}=m^{m^{m+1}}\le c$ vô lí do đó một trong hai số $a,b$ phải thuộc tập $\{m^{m^{m+1}},...,n\}$, nếu $b$ thuộc $\{m^{m^{m+1}},...,n\}$ thì $a^b\geq m^{m^{m^{m+1}}}>n\geq c$ mâu thuẫn do đó $a \in \{m^{m^{m+1}},...,n\}$ khi đó $a^b\geq (m^{m^{m+1}})^m=m^{m^{m+2}}>n\geq c$ mâu thuẫn

Tóm lại để $n$ thỏa mãn, ta phải có đk cần $n\geq m^{m^{m+2}}$

Giờ ta cm $n=m^{m^{m+2}}$ thỏa mãn, giả sử phản chứng suy ra $m \in A,m^m \in B, (m^m)^{m^m} \in A, ((m^m)^{m^m})^m \in B$
Hay $m \in A,m^m \in B,m^{m^{m+1}} \in A,m^{m^{m+2}} \in B$ $(2)$ mặt khác $m^{m^{m+2}}=m^{m.m^{m+1}}=(m^m)^{m^{m+1}}$ do đó $m^{m+1} \in A$
Nhưng khi đó $A$ có $m,m^{m+1}$ thì $m^{m^{m+1}} \in B$ mâu thuẫn $(2)$

Do đó có gs phản chứng sai nên có $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 25-06-2013 - 14:15

[barcavodich]

Cách làm hình như cũng giống nhau thôi mà

[nguyenta98]

Cách làm hình như cũng giống nhau thôi mà

Tất nhiên, nhưng cách của em là đi từ hướng suy nghĩ, tức là nhìn vào cách giải thì có thể biết ngay hướng suy nghĩ