tieulyly1995

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;

Đặt $sin^{2}x =a, cos^{2}x=b \Rightarrow a,b\geq 0$ và $a+b=1$
a) khi đó : $sin^{4}x +cos^{4}x=a^{2}+b^{2}$
Mà
$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab = 1-2ab\geq 1-\frac{(a+b)^{2}}{2}= \frac{1}{2}$
vậy $min= \frac{1}{2}$
b)khi đó : $sin^{6}x+cos^{6}x=a^{3}+b^{3}$
mà $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)= 1-3ab\geqslant 1-3\frac{(a+b)^{2}}{4}= \frac{1}{4}$

vậy $min= \frac{1}{4}$

Cho $\alpha +\beta +\gamma =\pi$ Để:
$cos^{2}\alpha +cos^{2}\beta +cos^{2}\gamma = a + b.cos\alpha .cos\beta .cos\gamma$

Thì a= ?, b=?

bạn có thể làm như sau:
Ta có
$VT= cos^{2}\alpha +\frac{1+cos2\beta }{2}+\frac{1+cos2\gamma }{2}$
$= cos^{2}\alpha +1+cos(\beta +\gamma )cos(\beta -\gamma )$
$= 1- cos\alpha (cos(\beta +\gamma )+cos(\beta -\gamma ))$
$= 1- 2cos\alpha. cos\beta. cos\gamma$
Vậy $a=1$,$b=-2$