tieulyly1995

Bài tập :
Tính tổng $S$ = $1^2 + 5^2 + 9^2 + .....+ (4n+1)^2 $ .
Nếu tổng $S$ liên quan đến quy nạp thì viết dạng tổng quát nhé mọi người

Với những dạng bài này bạn nên làm như sau :
xét đa thức $f(x)$ thỏa mãn $f(x+4)-f(x)=x^{2}$ (1)
dễ dàng thấy được $f(x)$ ít nhất phải là đa thức bậc 3
giả sử $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx $,$ a\neq 0$
thay vào (1)
ta có :
$a(x+4)^{3}+b(x+4)^{2}+c(x+4)-(ax^{3}+bx^{2}+cx)=x^{2}$
$\Leftrightarrow 12ax^{2}+48ax+64a+8bx+16b+4c=x^{2}$
dùng phương pháp đồng nhất hệ số
$\left\{\begin{matrix} 12a=1\\ 48a+8b=0 \\ 64a+16b+4c=0 \end{matrix}\right.$
giải ra
$f(x)=\frac{1}{12}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{2}{3}x$ (2)
ta có :
$1^{2}=f(5)-f(1)$
$5^{2}=f(9)-f(5)$
.............
$(4n+1)^{2}=f(4(n+1)+1)-f(4n+1)$
cộng vế với vế, suy ra :
$S= f(4(n+1)+1)-f(1)$, kết hợp với (2) suy ra S
đến đây nhường cho bạn

Bài tập :
Gọi $n$ $\epsilon$ $\mathbb{N}$ ; $n$ $\geq$ $1$
Tính tích sau :
$M$ = $( 1 - \frac{1}{2} ) ( 1 - \frac{1}{3} ) (1 - \frac{1}{4} ) ........( 1 - \frac{1}{n+1} ) $

Ta có :
$M= \frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}...\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$

Logo quả táo khuyết của Apple thì ai cũng biết và rất nổi tiếng nhưng ít ai biết cách mà các nhà thiết kế đã tạo ra nó, hay nói cách khác là nó được vẽ ngẫu nhiên hay theo một tỉ lệ nào? Thật tuyệt vời khi người ta khám phá ra rằng logo quả táo được thiết kế theo tỉ lệ vàng được giới hội hoạ và kiến trúc áp dụng trên những tác phẩm kinh điển. Cụ thể, Rob Janoff đã tạo nên logo Apple dựa trên hình chữ nhật vàng và dãy số Fibonacci huyền ảo. Không chỉ có logo quả táo, logo iCloud mới đây, logo Mac OS Lion, iPhone 4 cũng chịu ảnh hưởng từ tỉ lệ vàng (Golden Ratio).


Tỉ lệ vàng trong toán học là một phát minh rất quan trọng và đã có từ lâu đời. Theo Wikipedia, "hai đại lượng được gọi là có tỷ số vàng hay tỷ lệ vàng nếu tỷ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn". Tỉ lệ vàng được ký hiệu bằng ký tự "phi" (φ) và 1 phi bằng 1,618033..., đó là một số vô tỷ. Tỉ lệ vàng được phát minh ra từ khi nào thì không ai biết chính xác, chỉ biết rằng nó đã tồn tại từ cách đây hàng ngàn năm và ứng dụng của nó cũng không hề nhỏ. Các kiến trúc kinh điển như đền thờ Parthenon, Hy Lạp; kim thự tháp Keop (Cheops) hay khuôn mặt nàng Mona Lisa cũng được vẽ theo tỉ lệ vàng... Tỉ lệ vàng trong những tác phẩm kể trên được diễn tả theo một hình chữ nhật vàng, hình có cạnh dài và cạnh ngắn là một tỷ số vàng. Không chỉ có các kiến trúc, hội hoạ áp dụng tỉ lệ vàng mà cơ thể con người, các bông hoa, sự sắp xếp cánh hoa, nhị hoa cũng có sự tồn tại của tỉ lệ vàng.

Bên cạnh đó, tỉ lệ vàng cũng có sự liên hệ với dãy số nguyên Fibonacci. Đây là một dãy số tự nhiên và vô hạn, bắt đầu từ số 0 với quy tắc số sau luôn bằng hai số trước cộng lại. Những số đầu trong dãy Fibonacci gồm: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Lấy ví dụ số 8 bằng số 3 và 5 cộng lại hay số 34 bằng hai số 13 và 21 cộng lại...

Như vậy chúng ta đã hiểu tỉ lệ vàng quan trọng và độc đáo tới mức nào, đặc biệt là trong thiết kế. Apple là một trong số những hãng sản xuất ứng dụng tỉ lệ vàng vào thiết kế các sản phẩm của mình nhất. Người ta tìm thấy sự hiện diện của tỉ lệ vàng trong logo Apple, logo iCloud, thiết kế iPod, thiết kế iPhone và máy Mac... Đầu tiên hãy khám phá logo Apple, logo iCloud và sau đó là thiết kế iPhone 4/4S theo tỉ lệ vàng, hình chữ nhật vàng và dãy số nguyên Fibonacci.

1. Logo Apple

Ban đầu logo Apple là một hình chữ nhật được thiết kế với hình ảnh Newton ngồi dưới gốc cây táo nhưng sau đó Apple quyết định đổi logo nhận diện thương hiệu thành hình ảnh quả táo khuyết một miếng ở bên phải. Logo này được sử dụng từ những năm 1976 và hình dáng của nó không thay đổi từ khi đó tới bây giờ, dù màu sắc có khác.

Logo quả táo không phải được vẽ một cách ngẫu nhiên trên máy tính mà nó tuân theo hình chữ nhật vàng và dãy số nguyên Fibonacci. Hình chữ nhật được sử dụng để tạo nên kích thước và kiểu dáng của quả táo khuyến Apple có các hình vuông nhỏ bên trong được phân chia theo dãy số Fibonacci (hình dưới). Hình dáng của quả táo, các đường cong ở hai đầu của quả táo, "vết cắn" bên phải, lá của quả táo đều được tạo hình từ hình chữ nhật vàng với kích thước tuân thủ dãy Fibonacci.


Với các hình tròn trong thiết kế logo Apple, giả sử chúng có đường kính là các số trong dãy Fibonacci (hình trên) thì chiếc lá táo được tạo thành từ hai hình tròn với đường kính là 8. Vết cắn trên thân táo cũng tạo nên bởi một phần của hình tròn đường kính 8. Đường cong phía dưới đáy được tạo thành từ hai hình tròn 5, một hình tròn 8 và một hình tròn với đường kính là 1. Sự cân đối trong logo Apple có được cũng là do tỉ lệ vàng này.

2. Logo iCloud



iCloud là một dịch vụ đám mây mới được Apple giới thiệu và logo của dịch vụ này mô tả một đám mây bồng bềnh trôi. Hình dáng của đám mây đó nằm trong một hình chữ nhật vàng và các gợn mây được tạo nên bởi những hình tròn theo tỉ lệ 1,6 (tỉ lệ vàng). Nếu hình chữ nhật để tạo nên logo iCloud có tỉ lệ hai cạnh là 1:1,6 thì bốn hình tròn bên trong cũng theo tỉ lệ 1:1,6 này.

Không chỉ Apple mà logo của những thương hiệu nổi tiếng khác cũng được cho là sử dụng tỉ lệ vàng để thiết kế. Người ta còn nhìn thấy tỉ lệ vàng với các đường xoắn ốc trong biểu tượng của HĐH Mac OS X Lion (hình đầu con sử tử). Hãy quan sát và suy nghĩ với hình minh hoạ phía dưới.



3. Thiết kế iPhone 4/4S

Không chỉ có logo mà Apple còn được cho cũng sử dụng tỉ lệ vàng vào thiết kế phần cứng, hãy lấy ví dụ với iPhone 4. Hình dáng của iPhone 4 là một hình chữ nhật vàng với các chi tiết bên trong tuân theo quy luật này. Tỉ lệ vàng còn được tìm thấy ở việc sắp xếp vị trí jack tai nghe, ăng-ten sóng gần đó, micro phụ và cụm camera/đèn flash phía sau máy.







Thậm chí là cả bố cục trang web của Apple


Nguồn: Wikipedia, Buzzfeed, TYWKIWDBI, Stam-Design-Stam, Paul Martin Blog

P/s: Em nghĩ anh nên nói mời mọi người mới phải chứ, đâu có phải chắc mod cũng dịch được đâu.

Không hẳn là mod không dịch được( ví dụ như alex_hoang, dark templar,...), chỉ hơi vất vả cho các mod thôi
Mình nghĩ thành viên VMF nên cùng tham gia sẽ tốt hơn
mod đỡ vất vả mà bài dịch đảm bảo sẽ hay và sát nghĩa hơn
( nhiều người dịch mà )

2. Cho A,B,C,D theo thứ tự cùng nằm trên một đường tròn. Giả sử góc tạo bởi tiếp tuyến tại B và AB là $30^{o}$, góc tạo bởi tiếp tuyến tại C và CD là $ 10^{o}$, đường thảng AB song song với CD và hai đường thẳng này nằm ở hai bên của tâm đường tròn . Tìm góc BDC.
3. Cho $1\leq a,b,c,d,e,f,g,h,i\leq 9 $ là các số nguyên khác nhau.Kí hiệu N là GTLN của $a\times b\times c, d\times e\times f, g\times h\times i$. Tìm GTNN (có thể có) của N.
4. Cho A là số nguyên dương. Biết A là bội của 3 nhưng không phải là bội của 9 và Nếu cộng tích các chữ số của A với A thì được 1 số chia hết cho 9.Tìm GTNN của A .
5. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn tích tất cả các ước của n là $24^{240}$
7. Cho $\triangle ABC $ nội tiếp (O). Trên AB, AC lấy tương ứng hai điểm D, E sao cho $ AD=8$, $BD=3$, Gọi O là trung điểm DE. Biết $ AO=7$
Tính CE .
p/s: mình dịch thử, nếu có gì sai sót mong các bạn lượng thứ

$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+.........}}}}$

Đặt
$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+.........}}}}=x $ ,$x> 0$
Khi đó, ta có
$\sqrt{6+x}=x$
$\Rightarrow x=3$

1/$\widehat{xOy}$ nhọn chứa A.Tìm trên Ox và Oy 2 điểm B,C sao cho chu vi $\Delta$ ABC đạt min

Đây là một bài cơ bản trong bài toán cực trị THCS,
mình nói hướng thôi, bạn tham khảo nhé
gọi B',C' lần lượt là điểm đối xứng của A qua Ox,Oy.
gọi B,C là giao điểm B'C' với Ox, Oy. ta có 2 điểm cần tìm
sau đó bạn chứng minh với điểm B'',C" bất kì thuộc Ox,Oy thì
$AB+AC+BC\leq AB''+AC''+B''C''$

Bài 4 :
GPT
$x^{2}-2010\left [x \right ]+2011=0$

Không có ai chém à
mình làm bài 4 trước vậy
đặt$\left [ x \right ]=k$
ta có $k=\frac{x^{2}+2011}{2010}> 1$, suy ra $k\epsilon Z, k> 1$
Do $k< x< k+1$
$\Rightarrow k^{2}+2011< x^{2}+2011< (k+1)^{2}+2011$
$\Leftrightarrow k^{2}+2011< 2010k< (k+1)^{2}+2011$
$\left\{\begin{matrix} & k^{2}-2010k+2011< 0\\ & k^{2}-2008k+2012> 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & 1\leq k\leq 2008\\ &k< 1,k> 2006 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 2006< k\leq 2008$
$\Rightarrow k=2007$, hoặc $k=2008$
$\Rightarrow x\approx \pm 2007,9988$, hoặc $x\approx \pm 2008,4992$

Vì chỉ tìm thêm 2 số nên ta cũng có thể "mò" kiểu này :
$6+6.3=24$
$24+6.6=60$
$60+6.10=120$
$120+6.15=210$
chú ý là dãy 3,6,10,15,...có quy luật
nên 2 số tiếp theo là
$210+6.21=336$
$336+6.28=504$

mọi người cho em hỏi, ví dụ: 123456789012013131.10 ,ngoài phương pháp giải cổ điển (tách số đó ra,tính trên giấy,hơi mất thời gian) thì còn phương pháp trực tiếp nào có thể tính ngay trên máy tính được không (hiện em đang gặp khó khăn về vấn đề này)....

Cái ví dụ của bạn "đặc biệt " nhỉ Thêm $0$ ngay vào sau là được mà
Ví dụ như $8567899. 654787$
Ấn = ta thấy kết quả $5,610148883. 10^{12}$
như vậy
Kết quả có 13 chữ số, hơn nữa chữ số 3 cuối chưa hẳn đã chính xác
Ta xóa bớt số 8 ở thừa số thứ nhất và số 6 ở thừa số thứ hai và nhân lại
$567899. 54787=3,111348251. 10^{10}$
Ta tạm đọc kết quả là:
$5,61014888251. 10^{10}$
Ta tiếp tục xóa số 5 ở thừa số thứ nhất và nhân lại:
$67899. 54787=3719982513$
Kết quả:
$8567899. 654787=5610148882513$
p/s:Khi dùng cách này bạn cẩn thận xem chữ số bị xóa có ở hàng gây ảnh hưởng đến các chữ số cuối cần tìm trong kết quả không, nhất là chữ số bị xóa là các chữ số 0
nếu chưa thành thạo thì tốt nhất là dùng cách bạn vẫn làm cho chắc

Thường thì ta giải bất phương trình dạng $\sqrt {f(x)} \geq g(x) $ như sau:
$\sqrt {f(x)} \geq g(x) \Leftrightarrow (f(x) \geq 0$ và $g(x)<0)$ hoặc $(f(x) \geq g(x)^{2}$ và $ g(x) \geq 0) $
Theo mình thì có thể bỏ $g(x)<0$ ở dòng trên. Xin được lấy ý kiến mọi người

Không nên bỏ đi bạn ạ, vì sẽ dẫn đến thiếu nghiệm
ví dụ ta xét BPT :
$\sqrt{x^{2}-x-12}\geq x-1$
ĐKXĐ: $x\geq 4$ hoặc ,$x\leq -3$
khi đó nếu chỉ xét
$\left\{\begin{matrix} &x^{2}-x-12\geq (x-1)^{2} \\ & x-1\geq 0 \end{matrix}\right.$
thì ta chỉ nhận được nghiệm $x\geq 13$
mà không xét thêm $x-1< 0$ thì sẽ thiếu nghiệm $x\leq -3$

$Cho tam thức f(x)=x^2+bx+c biết \left | f(x)) \right | \leq \frac{1}{2} với \forall x\in [-1;1].Tìm b,c $

Vì
$\left | f(x) \right |\leq \frac{1}{2},\forall x\in \left [ -1;1 \right ]$
do đó
$\left | f(-1) \right |=\left | 1-b+c \right |\leq \frac{1}{2}$
$\left | f(0) \right |=\left | c \right |\leq \frac{1}{2}$
$\left | f(1) \right |=\left | 1+b+c \right |\leq \frac{1}{2}$
nên
$2= \left | 1-b+c+1+b+c-2c \right |\leq \left | 1-b+c \right |+\left | 1+b+c \right |+\left | -2c \right |\leq 2$
$\Rightarrow b=0, c=\frac{-1}{2}$

B3:
Khi khai triển và ước lượng số hạng đồng dạng của P(x)=$(1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{1999}+x^{2000})(1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{1999}+x^{2000})$ ta có thể viết P(x) dưới dạng
P(x)= $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{4000}x^{4000}$
Tính $a_{2004} , a_{2005}$

đặt$ f(x)= 1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{1999}+x^{2000}$
$g(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{1999}+x^{2000}$
Để có $x^{2005}$ của P(x) thì một hạng tử $x^{k}, (o\leq k\leq 2000)$ của f(x) phải nhân với hạng tử $x^{n}, (0\leq n\leq 2000)$ của g(x) sao cho
$n+k=2005$
suy ra
- nếu $k=0$ thì $n=2005$( loại, vì $n\leq 2000$)
-nếu $k=1$ thì $n=2004$(loại)
...
-nếu $k=5$ thì $n=2000$(thỏa mãn)
-nếu $k=6$ thì $n=1999$
-nếu $k=7 $thì $n=1998$
........................................
-nếu $k=2000$ thì n=5$
vậy
$a_{2004}.x^{2004}=(x^{4}x^{2000}-x^{5}x^{1999}+x^{6}x^{1998}-...)$
$a_{2004}.x^{2004}=(1-1+1-...)$
Trong dãy số 5,6,...1999,2000 có số các số lẻ = số các số chẵn.
Các hạng tử với số mũ lẻ của f(x) có hệ số$= -1$
Các hạng tử với số mũ chẵn có hệ số $=1$
Nên $a_{2005}.x^{2005}=0$
$\Rightarrow a_{2005}=0$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có ba cạnh AB, AC, BC lần lượt bằng 5; 12; 13. Khoảng cách từ O đến dây AB bằng?

Tam giác ABC vuông ở A, dễ dàng tính dc khoảng cách từ O đến dây AB mà bạn (=$\frac{1}{2}$AC)

Bertrand Russell từng viết rằng :" Toán học nắm giữ không chỉ sự thật mà cả vẻ đẹp tối thượng ,một vẻ đẹp lạnh lùng và mộc mạc như của một tác phẩm điêu khắc, tinh khiết và hoàn hảo tuyệt vời, chỉ có ở nghệ thuật vĩ đại nhất ".
bạn thử tham khảo ở đây xem http://forum.doremiv...n-s%E1%BB%91!!!