ToanHocLaNiemVui

Giải HPT:
  $\left\{\begin{matrix}\left ( x-y \right )^{2}+x+y=2 & \\ 2\sqrt{5-x-y}+2x=3\sqrt{(x+1)(2-y)}+y & \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các GT của $a$ để HPT sau có nghiệm:

  $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=a-1 & \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}=a+1& \end{matrix}\right.$

 Mình đã fix lại đề, mọi người zô xem có giải được không nha!

Tìm tất cả các GT của $a$ để HPT sau có nghiệm:

  $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=a-1 & \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}=a+1& \end{matrix}\right.$

Bài 432 . Chứng minh $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}} <3$

$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{1999.2001}}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{1998.2000}}}}}< ...< \sqrt{2.4}< 3$

$\frac{x+y}{2\sqrt{xy}}-\frac{(1+x)(1+y)}{(1+\sqrt{xy})^{2}}=(\frac{x+y}{2\sqrt{xy}}-1)+[1-\frac{(1+x)(1+y)}{(1+\sqrt{xy})^{2}}]\geq \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}}{4\sqrt{xy}}\geq 0$.

Từ đó suy ra: $\frac{x+y}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{2\sqrt{xy}}{(1+\sqrt{xy})^{2}}$.

Theo bài ra kết hợp với nhận xét trên, ta có:

$\frac{a+b}{(1+a)(1+b)}.\frac{c+d}{(1+c)(1+d)}.(b+c)(a+d)\geq 4\sqrt{abcd}.[\frac{(\sqrt{ab}+\sqrt{cd})}{(1+\sqrt{ab})(1+\sqrt{cd})}]^{2}\geq 4\sqrt{abcd}.(\frac{2\sqrt{\sqrt{abcd}}^{2}}{(1+\sqrt[4]{abcd})^{2}})^{2}=\frac{16abcd}{(1+\sqrt[4]{abcd})^{4}}$.

Suy ra điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $a=b=c=d$.