gbao198

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} 1+xy+\sqrt{xy}=x & & \\ \frac{1}{x\sqrt{x}}+y\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{x}}+3\sqrt{y} & & \end{matrix}\right.$

Đk: x>0 ; $y\geq 0$

chia 2 vế pt đầu cho x, đặc  $\frac{1}{\sqrt{x}}=a; \sqrt{y}=b$

ta được hệ mới:

$\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+ab=1\\a^3+b^3=a+3b \end{matrix}\right.$

từ đây ta có:

$a+3b=a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=(a+b)(1-2ab)$

$\Leftrightarrow b(1+a^2+ab)=0$

vì a, b luôn >0 nên pt trên tương đương b=0, thế vào ta dk a=1, hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;0)

Lấy 2 phương trình trừ lẫn nhau rồi đánh giá tiếp

mình trừ rồi rút (x-y) ra rồi nhưng cái ở trong không đánh giá được nên đem lên hỏi thử   . Bạn ghi rõ khúc đánh giá phần còn lại giúp mình đi ! 

Mà $a\geq 0$ nên ta tìm được: $a=2b+5$.
=> $x^{2}-2y^{2}=5$ (1)
đến đây ta xét Module 3, 2 vế của (1), từ đó ta => PT không có nghiệm với $x,y$ nguyên

hình như có vấn đề bạn à, nếu xét theo Module 3 thì với $x^{2}$ và $y^{2}$ chia 3 dư 1 cũng đâu sai đâu!

đề này có vấn đề bạn à

theo hệ thức viet của phương trình bậc 3 thì $x_{1}+x_2+x_3=\frac{-b}{1}=-b$

mà $x_{1}+x_2+x_3>0$ => b<0 vậy sao tìm b nguyên dương được?

các thừa số có dạng $[(1-\frac{1}{n(n+1)})(1-\frac{1}{n(n+2)})]$ rút gọn cái này được $\frac{n}{n+2}$

Vậy $A=\frac{n(n+1)...(n+k)}{(n+2)(n+3)...(n+k+2)}= \frac{n(n+1)}{(n+k+1)(n+k+2)}$