abcde0101

Đề đúng phải là $\left\lfloor {\sqrt n + \sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} } \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {9n + 8} } \right\rfloor $
Đặt $x = \sqrt n + \sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} \Rightarrow {x^2} = 3n + 3 + 2(\sqrt {n(n + 1)} + \sqrt {n(n + 2)} + \sqrt {(n + 1)(n + 2)} $
Ta có $\begin{array}{l}
{\left( {n + \frac{2}{5}} \right)^2} < n(n + 1) < {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2};{\left( {\frac{7}{{10}} + n} \right)^2} < n(n + 2) < {(n + 1)^2};{\left( {n + \frac{7}{5}} \right)^2} < (n + 1)(n + 2) < {\left( {n + \frac{3}{2}} \right)^2}\\
\Rightarrow 9n + 8 < {x^2} < 9n + 9 \Rightarrow \left\lfloor x \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {9n + 8} } \right\rfloor
\end{array}$

Ban phai chung minh: $\left [ 9n+9 \right ]=\left [ 9n+8 \right ]$ nua ma!

Bài làm:
ĐKXD :$x \geq0$
Để $F \in Z \leftrightarrow F = k \in Z$ ( $k \geq0$)
$\leftrightarrow \sqrt{x} \geq x\sqrt{x} -3\sqrt{x} +3$
$\leftrightarrow 0 \geq x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3$(*)
Dễ thấy với $\sqrt{x} \geq 2$
$\rightarrow x\sqrt{x} \geq 8 $
$\rightarrow x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3 \geq 8-8+3 >0$
Vậy Để $0 \geq x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3$
$\leftrightarrow x <4$
Mà $x \in Z \rightarrow x :\text{có thể là} :0,1,2,3$
Thay vào ta thấy chỉ có $x=0$ hoặc $x=1 :\text{thoả mãn}$
-------------------------------------------
Cách khác , không phải xét nhiều nhưng mà lại phải xét nhiều =))
Đến (*)
Ta gọi $\sqrt{x} =a (a \geq0)$
Đến đây ta phân tích đa thức thành nhân tử
$\rightarrow 0 \geq (a-1)(a-\frac{\sqrt{11}+1}{2})(a+\frac{\sqrt{11}-1}{2}) $
Kẻ bảng xét dấu ta được :
$\frac{\sqrt{11}+1}{2} \geq a \geq 1$
$\rightarrow 2,2 \geq a \geq 1$
$\rightarrow x=1 :\text{nguyên}$
$\rightarrow Q.E.D$

Nhung de bai dau cho $x\in \mathbb{Z}$ ma ban!

Dọn dẹp bài còn lại
Sử dụng lượng liên hợp ta có :
$(x^2-x^2-9082012)(y+\sqrt{y^2+9082012})=9082012(x-\sqrt{x^2+9082012})\Rightarrow -9082012(y+\sqrt{y^2+9082012})=9082012(x-\sqrt{x^2+9082012})\Rightarrow y+\sqrt{y^2+9082012}=\sqrt{x^2+9082012}-x$
Tương tự cũng có :
$x+\sqrt{x^2+9082012}=\sqrt{y^2+9082012}-y$
Cộng vế theo vế ta có :
$x+y+\sqrt{x^2+9082012}+\sqrt{y^2+9082012}=\sqrt{x^2+9082012}+\sqrt{y^2+9082012}-x-y\Rightarrow 2(x+y)=0\Rightarrow x+y=0\Rightarrow x=-y\Rightarrow x^{2013}=-y^{2013} => x^{2013}+y^{2013}=0$
Thay vào ra được biểu thức = $\frac{0}{x^9+y^8+2012}=0(Q.E.D)$

Xet 2 truong hop $x= - y$ va $x\neq - y$ duoc khong?

TH1: $\angle{A}=a; \angle{B}=a+1; \angle{C}=a+2.$ với a là số tự nhiên.
Ta có: $5a+2=180\Rightarrow$ loại (vì a không là số tự nhiên)
TH2: $\angle{A}=a; \angle{B}=a-1; \angle{C}=a+1.$
Ta có: $5a-2=180\Rightarrow$ loại (lí do giống như trên)
TH3: $\angle{A}=a; \angle{B}=a-2; \angle{C}=a-1.$
Tương tự: $5a-4=180\Rightarrow$ loại.

mình không hiểu ai giải thích rõ được không