BoFaKe

Chủ topic xem tạn cái hình nhé,em xin gợi ý như thế này :
Đầu tiên là cứ vẽ hình bình thường và gọi giao điểm của $CM$ với $AN$ là $I$ còn $BP$ với $AN$ là $I'$.Giả sử $I$ chia $AN$ theo tỉ số $x$ còn $I'$ chia $AN$ theo tỉ số là $x'$.Áp dụng định lí Mê-nê-lê-uýt với từng cặp 3 điểm thẳng hàng đó là $C,M,I$ và $B.P.I'$ ta sẽ tính được $x$ và $x'$ theo $m,n,p$.
Sau khi tính xong ta có nhận xét đó là để cho 3 đt đó đồng quy (song song chắc tương tự) thì $I \equiv I'$ hay $x=x'$ thi từ đó ta sẽ có hệ thức là $mnp=-1$
-----------------------------------------------------------
P/S:Mọi người kẻ hình ra tự kiểm định chất lượng nhé

Sao toàn áp dụng công thức thầy Thanh thế này thì hiểu sao được .
P/S đọc cái của thầy dễ tẩu hỏa quá ,phải nghiên cứu mới được.

Quả là hài thật !
____________________________________
Đáng lẽ phải làm lượng giác mới đúng, nếu làm theo phương trình đại số sẽ rất dài dòng và nghiệm lại khủng !
Từ phương trình dưới ta được $y=\dfrac{-x^2-1}{3x+3\sqrt{2}}$
Thay vào phương trình trên và rút gọn ta được
$ \left( 10\,{x}^{3}+13\,\sqrt {2}{x}^{2}-2\,x-17\,\sqrt {2} \right)
\left( 2\,x+\sqrt {2} \right)
=0$
Xét phương trình $10\,{x}^{3}+13\,\sqrt {2}{x}^{2}-2\,x-17\,\sqrt {2}=0$
Dùng Cac-ca-Do ta tìm được:
$x=\dfrac{\sqrt[3]{17386\sqrt{2}+540\sqrt{1857}}}{30}+\dfrac{199}{\sqrt[3]{17386\sqrt{2}+540\sqrt{1857}}}-\dfrac{13\sqrt{2}}{30}$
Từ đó ta tìm được các nghiệm của hệ phương trình là : $$x=y=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$$
hoặc $$x=\dfrac{\sqrt[3]{17386\sqrt{2}+540\sqrt{1857}}}{30}+\dfrac{199}{\sqrt[3]{17386\sqrt{2}+540\sqrt{1857}}}-\dfrac{13\sqrt{2}}{30}$$
và $$y=-\dfrac{1}{3} \dfrac{(\dfrac{\sqrt[3]{17386\sqrt{2}+540\sqrt{1857}}}{30}+\dfrac{199}{\sqrt[3]{17386\sqrt{2}+540\sqrt{1857}}}-\dfrac{13\sqrt{2}}{30})^2+1}{\dfrac{\sqrt[3]{17386\sqrt{2}+540\sqrt{1857}}}{30}+\dfrac{199}{\sqrt[3]{17386\sqrt{2}+540\sqrt{1857}}}-\dfrac{13\sqrt{2}}{30}}$$
____________
Do vậy, nên để nguyên phương trình lượng giác mà làm thôi !

Cac-ca-do là gì thế bạn là công thức tìm nghiệm hay là trang web giống wolframalpha

Hình như sai ở đoạn $(-1)^{3}=(-1)^{\frac{6}{2}}=\sqrt[2]{(-1)^{6}}$
-1 là số âm nên không được biến đổi $ (-1)^{3}=(-1)^{\frac{6}{2}}$
Phải không nhỉ???

Đâu có,số $3= \frac{6}{2}$ nên mới thế chứ.

Mọi người giải thích cái này nhé
$(-1)=(-1)^{3}=(-1)^{\frac{6}{2}}=\sqrt[2]{(-1)^{6}}= 1???$

CMR: $\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+...+\frac{1}{100^{2}}<1$

-------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>> Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toán

Nhanh lên
Ta có $\frac{1}{x^{2}}< \frac{1}{(x-1)x}= \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$
Áp dụng ta sẽ có :$\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+..+\frac{1}{100^{2}}
<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}
< 1-\frac{1}{2}+..-\frac{1}{100} < 1$(ĐPCM)

Cho phép em spam tí.
Một bài toán tưởng chừng đơn giản mà thật sự lại không phù hợp với THCS
Vui ghê

Bài này đúng là có nhiều trong THCS đặc biệt trong đề thi giải toán casio,và kết quả đúng là nhưu thầy Thanh nói là 3,còn về phần giải thích thì trong THTT mục giải đáp thì nó chỉ nói là lên cấp 3 vấn đề mới rõ,còn cấp 2 bây giờ thì chỉ tính toán như thế thôi.

Để hiểu rõ bản chất thì các em phải có kiến thức về chuỗi số, về sự hội tụ và phân kì. Anh lấy một ví dụ đơn giản như sau

$M=1-1+1-1+1- ...$. Theo các em thì $M$ bằng bao nhiêu?

p/s: đúng là dạng bài này không lạ trong các sách THCS nhưng cái họ yêu cầu tính là $\left\lfloor A \right\rfloor$

Bài này có phải là tùy theo cách đặt ngoặc không ạ?(hay là số số hạng gì đó nhưng em chỉ nhớ kết quả thôi)
$M=1-(1-1)-(1-1)...=1$
$M=(1-1)+(1-1)+....=0$
hình như còn kết quả nữa nhưng em quên mất roài

Bài này dùng SOS được này. (Mới học lỏm được chút ít )
Ta thấy :$\sum \frac{a^{2}}{b}-\sum a= \sum \frac{(a-b)^{2}}{b}$
còn
$\frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\sum a = \frac{\sum (a+b)(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
nên ta trừ cả 2 vế cho $a+b+c$
Sau đó chuyển vế,bất đẳng thức được đưa về dạng
$S_{a}(a-b)^{2}+S_{b}(b-c)^{2}+S_{c}(c-a)^{2}\geq 0$($S_{a};S_{b};S_{c}$ là các hệ số các bạn tự tính nhé).
Vì đây là BĐT hoán vị nên xét :
*$a\geq b\geq c$ Ta sẽ chứng minh $S_{a};S_{c};S_{a}+2S_{b};S_{c}+2S_{b}\geq 0$
*$a\leq b\leq c$ ta sẽ chứng minh $S_{b};S_{b}+S_{c};S_{a}+S_{b}\geq 0$
Hai chứng minh trên cơ bản nên mình không làm,chỉ là biến đổi bình thường thôi.Như vậy xét theo tiêu chuẩn SOS thì bài toán được chứng minh

Topic chìm là sao ?
Mn đã post bài ở đây rồi thì sau 1 thời gian nên post lời giải đi chứ :-w
P/s: nếu có ai định bảo em ỷ lại thì nói trước là bài 43 em đã nghĩ 2 ngày và vẫn chưa tìm nổi hướng chứng minh.

Chẳng ai nói thế cả đâu em,bài này hơi khó (anh vẽ mãi cái hình mà vẫn không được nên em chịu khó nhìn hình mình nhé )
Giả sử B' là giao điểm thứ 2 của AP với (O) thì BB' là đk.Gọi F' là điểm đối xứng của F qua PD.

*Xét P nằm trong (O).Ta có:
$\widehat{PFD}= \widehat{B'FC}$ (cùng phụ với $\widehat{BFC}$);
$\widehat{B'FC}=\widehat{CAB'}$ mà F và F' đối xứng với nhau qua PD nên $\widehat{PDF}
=\widehat{PF'D}$.
Từ đó $\widehat{PF'D}=\widehat{CAB'}$ nên tứ giác AF'BD nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{F'AD}=\widehat{F'DP}$ ,do $\widehat{F'DP}=\widehat{FDP};\widehat{FDP}=90^{\circ}-\widehat{DFF'}=\widehat{F'Ft}$ (CF kéo dài gọi là t' nhé )
$\Rightarrow \widehat{F'AP}=\widehat{F'Ft}$
$\Rightarrow$ tứ giác AF'FB' nội tiếp $\Rightarrow F' \epsilon (O)$
VÌ DP là trung trực của FF' nên nó đi qua O, hay 3 điểm P, D, O thẳng hàng.(Like nhé )

* Xét P ở ngoài ta chứng minh tương tự.

Đặt $p=a+b+c$, $q=ab+bc+ca$, $r=abc$
Suy ra $A=\frac{a}{4-c}+\frac{b}{4-a}+\frac{c}{4-b}$
$={\frac {a}{1+b+c}}+{\frac {b}{1+c+a}}+{\frac {c}{1+a+b}}$
$=\frac{p^3-2pq+2p^2-2q+p+3r}{pq+p^2+2p+q-r+1}$
Ta sẽ chứng minh $A \leq 3$
$\Leftrightarrow p^3-2pq+2p^2-2q+p+3r \leq 3(pq+p^2+2p+q-r+1)$
$\Leftrightarrow -p^3+5pq+p^2+5q+5p-6r+3 \geq 0$
Từ giả thiết ta có $p=a+b+c=3$
Vậy ta cần chứng minh $10q-3r \geq 0$
$\Leftrightarrow 10q \geq 3r$
Theo BĐT Cauchy thì $ p q \geq 9 r$
Suy ra $q \geq 3 r$ (Dấu bằng sảy ra khi hai số bằng 0 hoặc 3 số bằng nhau, thử thì biết !)
Suy ra $10q \geq 3r$
Vậy $A_{max}=3 \Leftrightarrow a=b=0,c=3$ hoặc hoán vị.
_______________
P/s: Dựa vào cách này có thể tìm được Min đó !

Đây là phương pháp đổi biến p,q,r không biết trong diễn đàn VMF có bài nào viết về nó không nhỉ,bạn nào có tài liệu cho mình xin với.

$A= \sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$, suy ra $\sum \left ( 1-\frac{a}{a+b+1} \right )\geq 2$
$\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$, mà $\sum \frac{1}{a+b+1}\geq 1$.
Vậy cần CM $\sum \frac{b}{a+b+1}\geq 1$.

đoạn post tiếp

Cái này chứng minh đơn giản mà :
$\sum \frac{b}{a+b+1}= \sum \frac{b^{2}}{a^{2}+ab+b}$
Theo cauchy schwarz thì $\sum \frac{b^{2}}{a^{2}+ab+b}\geq \frac{(a+b+c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac+3}$
đến đó dễ rồi

$P=3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$Từ giả thiết $=> \frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2$
$=>(\frac{a}{c}-\frac{1}{2})(2-\frac{a}{c})\geq 0=>\frac{a^2}{c^2}+1\leq \frac{5a}{2c}$
$=>\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}$
Mặt khác do $a\leq b\leq c$ $=> \frac{a}{b},\frac{b}{c}\leq 1,\frac{b}{a},\frac{c}{b}\geq 1=>(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c}),(\frac{b}{a}-1)(\frac{c}{a}-1)\geq 0=>(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}-1)(\frac{c}{a}-1)\geq 0=> \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\leq 2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq \frac{9}{2}(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2})$
$=>P\leq 10$
Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a=1 \\ b=c=2 \\ \end{matrix}\right.(Q.E.D)$

Đối với bài như thế này mình còn có cách khác,ở đây có sắp xếp thứ tự biến nên cách mình hơi lệch 1 chút (không biết đúng không ):giả sử $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}$(nếu không đúng thì chiều ngược lại cũng không sao,như nhau cả)
sau đó phân tích ra thì ta phải chứng minh:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\leq 7$
Xét các tích
$(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})(1-\frac{c}{a})\leq 0$
$(2-\frac{a}{b})(2-\frac{b}{c})(2-\frac{c}{a})\geq 0$
rồi cộng lại kết hợp điều giả sử ta sẽ có đpcm.
(Bài này ngày trước mình làm mất gần tháng mới ra cách này )

Tháo xuống dùm anh cái!!
Chú hại đời anh rồi! Anh k lên VMF nữa đâu.Nhục quá!!!
Anh hận chú!!!!

1 nạn nhân nữa bị hại

Anh Thịnh vô nhận hàng nào :ấu dzè:

Nhìn hay thế còn gì, 5 sao cho chất lượng.

Hàm bậc nhất là hàm số f(x)=ax+b với a, b là hằng số, trong bài trên có thể tính f(x) theo y,z thì vẫn có thể gọi là hàm bậc nhất nhưng nếu bây giờ mà tính f(1), f(1/3) lại tính luôn cả y,z thì theo mình là sai, tức là ít nhất các biến phải độc lập với nhau. Vd như: cho x+y=1, f(x)=x(1-y)+1 mà kết luận f(x) là hàm bậc nhất là sai vì với mỗi giá trị của x ta lại tính được một giá trị khác của hệ số a, thực chất hàm trên là hàm bậc 2

Mình chép lại một bài toán trong phần này (dành cho THCS)
Bài toán: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng:
4(xy+yz+zx) $\leq$ 9xyz +1
Lời giải.Không giảm tổng quát, giả sử $x \leq y \leq z \Rightarrow \dfrac{1}{3} \leqslant x \leqslant 1$ , ta cos
4(xy+yz+zx) $\leq 9xyz + 1 \Leftrightarrow (9yz-4y-4z)x + 1 - 4yz \geq 0$
Xét hàm số f(x) = (9yz-4y-4z)x + 1 - 4yz trên [$\dfrac{1}{3}; 1]$, để ý rằng khi x = 1 thì y = z = 0, khi x =$\dfrac{1}{3}$ thì y = z =$\dfrac{1}{3}$. Ta có f(1) = 1; f($\dfrac{1}{3}$) = 0.
Do đó f(x) $\geq$ min{f(1);f($\dfrac{1}{3})$} = 0, dấu bằng xảy ra khi x = y = z = $\dfrac{1}{3}$
Theo mình thì f(x) chưa chắc là hàm bậc nhất nên không có được 'f(x) $\geq$ min{f(1);f($\dfrac{1}{3})$}'. Các bài toán trong phần này(có giả thiết x+y+z=1) đều sử dụng nhận xét rằng f(x) là hàm bậc nhất. Mong mọi người cho ý kiến

Bạn giải thích khái niệm hàm số bậc nhất thế là đúng,không sai nhưng bạn lại không để ý một điều đó là người ta đã sắp xếp trật tự $x\leq y\leq z$.
Nếu $x=1$ hiển nhiên $y=z=0$ vì tổng của chúng bằng 1.
Nếu $x=\frac{1}{3}$ mà $x$ là số nhỏ nhất nên bắt buộc 2 số kia phải bằng $\frac{1}{3}$ vì nếu $y> \frac{1}{3}\Rightarrow z> \frac{1}{3}\Rightarrow x+y+z> 1$(mâu thuẫn)
Vậy nên người ta mới tính được $f(\frac{1}{3});f(1)$ mà chẳng liên quan j cả bởi đã biết giá trị của các ẩn.

3,$cosx=1-\frac{x^{2}}{2}(1)$
Câu này thì em chịu thôi :
+ Nhận thấy $x=0$ là nghiệm của pt $(1)$
+Xét $x>0$ thì $VT_1>0$ và $VP_1<0$ suy ra loại
Còn trường hợp $x<0$ thì e chịu tại vì cái $x$ nó bình phương nên âm dương cũng như nhau

Cũng không thể đánh giá như thế được tại vì nếu $x>0$ chắc gì $1-\frac{x^{2}}{2}< 0$ .