songvui000

MỞ RỘNG:
Cho n+1 chữ số 0,1,2,..n để lập số có m chữ số trong đó có K số với số lần xuất hiện khác nhau. ví dụ số $k_{1}$ xuất hiện với số lần xuất hiện là $h_{1}$. Các chữ số còn lại xuất hiện nhiều nhất một lần hoặc 1 lần.
Trong đó $m\geq h_{1}+h_{2}+h_{3}+..+h_{k}$
và $n-k+h_{1}+h_{2}+..+h_{k}\geq m$
Gọi số cần tìm là $\overline{a_{1}a_{2}..a_{m}}$.
TH1: các chữ số còn lại xuất hiện nhiều nhất 1 lần.
K số có số lần lặp trên đều xuất hiện nên còn $m-(h_{1}+h_{2}+..+h_{k})$ chỗ trống để xếp $n-k$ số vào.
Tức là $C_{n-k}^{m-(h_{1}+h_{2}+..+h_{k})}$. Hoán vị của m số là m!. Cách sắp xếp chưa tính hoán vị của các số giống nhau bị trùng. Để giải quyết vấn đề bị trùng ta chia $h_{1}!h_{2}!..h_{k}!$.
vì ta chưa xét trường hợp $a_{1} \neq 0$
nên số lập được là
$\frac{C_{n-k}^{m-(h_{1}+h_{2}+..+h_{k})}m!}{h_{1}!h_{2}!..h_{k}!}-\frac{C_{n-k-1}^{m-(h_{1}+h_{2}+..+h_{k})-1}(m-1)!}{h_{1}!h_{2}!..h_{k}!}$
TH2: các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần
Tương tự ở trên nhưng khác ở chỗ $n-k+h_{1}+h_{2}+..+h_{k}=m$
nên biểu thức trên được rút gọn còn $\frac{m!}{h_{1}!h_{2}!..h_{k}!}-\frac{(m-1)!}{h_{1}!h_{2}!..h_{k}!}$

Có vấn đề sai sót về cách giải thích mong chấm nhẹ tay giùm ạ.
_______________________________
Mở rộng này nhìn thì khá tổng quát nhưng chưa đúng!

Kết quả sẽ sai nếu số yêu cầu được lặp $h$ lần là số $0$

Để kết quả trên chính xác thì yêu cầu là số $k_i\ne 0$ được lặp $h_i$ lần
Cần phải bỏ đi trường hợp 2 vì nó chỉ là trường hợp riêng.

Điểm mở rộng: $d_{mr_2}=5 $

Mở rộng:
Cho n+1 chữ số 0,1,2,..n lập số có m chữ số trong đó chữ số a($a\neq 0$) xuất hiện k lần và các chữ số còn lại xuất hiện nhiều nhất 1 lần ( trong đó $n+k\geqslant m$)
Gọi số cần tìm là $\overline{a_{1}a_{2}..a_{m}}$
Vì chữ số a xuất hiện k lần nên con $m-k$ chỗ để xếp $n-1$ số vào.
Nên ta có $C_{n-1}^{m-k}$
hoán vị của m số là $m!$
mà có k chữ số a nên sẽ có $k!$ lần bị trùng do giống nhau nên không có hoán vị
số lập được là $\frac{C_{n-1}^{m-k}m!}{k!}$
Mặt khác chưa xét trường hợp $a_{1}\neq 0$ nên
Ta có trường hợp số không đứng đầu:
$a_{1}=0$ nên còn $m-k-1$ chỗ trống để xếp $n-2$ số vào không sắp xếp có $C_{n-2}^{m-k-1}$ cách xếp.
hoán vị của $m-1$ số là $(m-1)!$

mà có k chữ số a nên sẽ có $k!$ lần bị trùng do giống nhau nên không có hoán vị
số lập được là $\frac{C_{n-2}^{m-k-1}(m-1)!}{k!}$
Vậy có thể lập $\frac{C_{n-1}^{m-k}m!}{k!}-\frac{C_{n-2}^{m-k-1}(m-1)!}{k!}$ số

________________________________
Mở "rộng" đúng

$d_{mr_1}=10$

Theo đề ta có các chữ số $0,1,2,3,4,5,6,7$ thiết lập số có $10$ chữ số trong đó chữ số $6$ xuất hiện ba lần các chữ số còn lại xuất hiện nhiều nhất một lần.
Ta coi số $6$ lặp lại ba lần là ba số riêng biệt. Ta có các chữ số là $0,1,2,3,4,5,6,6,6,7.$
Gọi số cần tìm là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}}$
vì có tất cả 10 chữ số để viết số có mười chữ số nên
$a_{1}\neq 0$ nên có $9$ cách chọn
Xếp $9$ số vào $9$ chỗ có hoán vị có số cách xếp là $P_{9}$
Trong đó ba chữ số $6$ được coi là ba chữ số riêng biệt nên sẽ có $P_{3}$ lần trường hợp số $6$ bị trùng nhau do không khác nhau nên không có hoán vị.
Nên số chữ số có $10$ chữ số cần tìm là $\frac{9P_{9}}{P_{3}}=544320$

__________________________
Điểm bài làm: $d=10$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 10+(10+5)+0=70$

Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2} \\
{x^2} + 2{y^2} = x + 2y \\
\end{array} \right.$$

Toán thủ ra đề
longqnh

Ta có
$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=x^{2}+3xy+y^{2}&(1) \\ x^{2}+2y^{2}=x+2y& (2) \end{matrix}\right.$
Lấy (1) trừ (2) ta được
$\left\{\begin{matrix} x+y=3xy-y^{2}&(3) \\ x^{2}+2y^{2}=x+2y& \end{matrix}\right.$
ta có (3) $\Leftrightarrow y^{2}+y=3xy-x$
$\Leftrightarrow y^{2}+y=x(3y-1)$
Xét trường hợp $3y-1=0$
$\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}$
Thay $y=\frac{1}{3}$ vào pt đầu không có nghiệm x thoả mãn hệ pt trên
Trường hợp $y\neq \frac{1}{3}$
$x=\frac{y^{2}+y}{3y-1}$ (4)
Thế x vào pt (2) ta được
$(\frac{y^{2}+y}{3y-1})^{2}+2y^{2}=\frac{y^{2}+y}{3y-1}+2y$
$\Leftrightarrow \frac{y^{4}+2y^{3}+y^{2}}{9y^{2}-6y+1}+\frac{2y^{2}(9y^{2}-6y+1)}{9y^{2}-6y+1}=\frac{(y^{2}+y)(3y-1)}{9y^{2}-6y+1}+\frac{2y(9y^{2}-6y+1)}{9y^{2}-6y+1}$
$\Leftrightarrow y(19y^{3}-31y^{2}+13y-1)=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=0 & \\ 19y^{3}-31y^{2}+13y-1=0& \end{matrix}\right.$
Giải pt bậc 3 ta được
$\begin{bmatrix} y=0 & \\ 19y^{3}-31y^{2}+13y-1=0 & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0 & \\ y=1 & \\ y=\frac{6+\sqrt{17}}{19} & \\ y=\frac{6-\sqrt{17}}{19} & \end{bmatrix}$
Thế y=0 vào pt ban đầu
ta được
$\left\{\begin{matrix} 2x=x^{2} & \\ x^{2}=x & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=0$
Thế y=1 vào hệ pt ban đầu
ta được
$\left\{\begin{matrix} 2x+3=x^{2}+3x+1 & \\ x^{2}+2=x+2 & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2x+3=x^{2}+3x+1 & \\ x^{2}+2=x+2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+x-2=0 & \\ x^{2}=x & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=1$
Thế $y=\frac{6+\sqrt{17}}{19}$ vào (4)
$x=\frac{(\frac{6+\sqrt{17}}{19}^{2})+\frac{6+\sqrt{17}}{19}}{3(\frac{6+\sqrt{17}}{19})-1}$
$\Leftrightarrow x=\frac{167+31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}-19}$
Thế $y=\frac{6-\sqrt{17}}{19}$ vào (4)
$x=\frac{(\frac{6-\sqrt{17}}{19})^{2}+\frac{6-\sqrt{17}}{19}}{3(\frac{6-\sqrt{17}}{19})-1}$
$\Leftrightarrow x=-\frac{167-31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}+19}$
Vậy hệ pt ban đầu có 4 nghiệm (x;y)=(0;0),(1;1),($\frac{6+\sqrt{17}}{19};\frac{167+31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}-19}$),($\frac{6-\sqrt{17}}{19};-\frac{167-31\sqrt{17}}{57\sqrt{17}+19}$)

Điểm bài: 9,5

S = 25 + 3x9,5 = 53,5

hi hi, việt giải sai bài dây rồi!


ta có:$-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab+2bc+2ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
và:$9R^{2}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
thì đâu nói lên dược gì dâu!

hi hi, việt giải sai bài dây rồi!


ta có:$-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab+2bc+2ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
và:$9R^{2}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
thì đâu nói lên dược gì dâu!

Nghĩ sao vậy. Giải thế này có gì sai. Kết hợp điều kiện ở phía dưới thì ra vấn đề.