DarkBlood

Anh xét lại xem có ra không chứ em thì không .
Kể cả -1.
Ờ mà đúng rồi nhầm ! xin lỗi !
Quên Nhưng mà sao em có thể biết được nó có dạng như vậy .

Mình sẽ làm kĩ ra luôn.
$A=(2x^{2}+ax+b)(2x^{2}+cx+d)$
$=4x^4+(2a+2c)x^3+(2d+ac+2b)x^2+(ad+bc)x+bd$
Đồng nhất, ta được:
$2a+2c=4$, $2d+ac+2b=5$, $ad+bc=2$, $bd=1$.
Xét $b=1$, $d=1$, ta có:
$a+c=2$, $2+ac+2=5$
$=>$$a=1$, $c=1$
Vậy $A=4x^4 + 4x^3 +5x^2+2x+1=(2x^2+x+1)^2$.

Đây là 1 đa thức khá quen thuộc, hãy phân tích nó thành nhân tử bằng càng nhiều cách càng tốt
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$$

Cách thông dụng nhất:
$a^3+b^3+c^3-3abc$
$=a^3+3ab(a+b)+b^3+c^3-3abc-3ab(a+b)$
$=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ab-ac+c^2)-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
_____
P/s: Mình đang nghĩ thêm cách nữa, nếu được sẽ post lên.

Bài 1 :
Chứng minh đẳng thức sau :
$1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ $\forall$ $q \neq 1$ và $\forall$ $n = 0, 1, 2, 3, ...$.

Với $n=0$, thử lại ta thấy đúng.
Giả sử $1+q+q^2+...+q^n=\frac{1- q^{n+1}}{1-q}$ đúng với $n=k$, ta chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$.
Thật vậy:
$1+q+q^2+...+q^k+q^{k+1}$
$=(1+q+q^2+...+q^k)+q^{k+1} $
$=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}+q^{k+1}$
$=\frac{1-q^{k+1}+q^{k+1}(1-q)}{1-q}$
$=\frac{1+q^{k+1}(1-q-1)}{1-q}$
$=\frac{1+q^{k+1}(-q)}{1-q}$
$=\frac{1-q^{k+2}}{1-q}$
Do đó hằng đẳng thức đúng với $n=k+1$.
Vậy $1 + q + q^2 + ... + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ $\forall$ $q \neq 1$ và $\forall$ $n = 0, 1, 2, 3, ...$.

1. Tích của $n$ số nguyên dương bằng $n$ còn tổng của chúng bằng 0. CMR: $n \vdots 4$

Câu này đề sai thì phải, nếu là n số nguyên dương rồi thì tổng sao bằng 0 được. Em nghĩ phải là n số nguyên thôi.
=============
@BlackSelena: fixed :>

Cho các số $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện : $\left\{\begin{matrix} a + b + c = 0 \\ a^{2} + b^{2} +c^{2} = 14 \end{matrix}\right.$.
Tính giá trị biểu thức : $a^4 + b^4 + c^4$.

Ta có:
$a+b+c=0$
$\Rightarrow$ $a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$
$\Rightarrow$ $-2(ab+ac+bc)=14$
$\Rightarrow$ $ab+ac+bc=-7$

Ta có:
$a^2+b^2+c^2=14$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=196$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+abc(a+b+c)$ (vì $a+b+c=0$)
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+a^2bc+ab^2c+abc^2)$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(ab+ac+bc)^2$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=196-2(-7)^2$
$\Rightarrow$ $a^4+b^4+c^4=98$

Bài 6: Chứng minh $f(x)$ chia hết cho $g(x)$
$f(x)=(x^{n}-1)(x^{n+1}-1)$
$g(x)=(x+1)(x-1)^{2}$

Giả sử $f(x)=(x^{n}-1)(x^{n+1}-1)=(x+1)(x-1)^{2}.A(x)+r$
Với $x=1$ thì $f(1)=0$ $\Rightarrow $ $r=0$.
Vậy $f(x)$ chia hết cho $g(x)$.

I/ Dạng Phép Chia Hết
**** Phương pháp giải
1.Phương pháp 1: Phân tích $f(x)$ thành nhân tử có nhân tử chia hết cho $g(x)$
Ví dụ: Cho: $f(x)=x^{8n}+x^{4n}+1$
$g(x)=x^{2n}+x^{n}+1$
Chứng minh rằng $f(x)$ chia hết cho g(x)

Giải

$f(x)=x^{2n}(x^{6n}-1)+x^{n}(x^{3n}-1)+x^{2n}+1+x^{n}$
$f(x)=x^{2n}(x^{4n}+1+x^{2n})(x^{2n}-1)+x^{n} (x^{2n}+x^{n}+1)+x^{2n}+x^{n}+1$
$f(x)=(x^{2n}+x^{n}+1)Q(x)$
ĐPCM
2. Phương pháp 2:Phân tích $f(x)$ thành tổng các đa thức, mỗi đa thức đều chia hết cho $g(x)$
Ví dụ: Cho $f(x)=x^{3n+1}+x^{3n+2}+1$
$g(x)=x^{2}+x+1$
Chứng minh rằng $f(x)$ chia hết cho g(x)

Giải:

$f(x)=x^{2}(x^{3n}-1)+x(x^{3n}-1)+x^{2}+x+1$
$f(x)= (x^{2}+x+1).K(x)$
ĐPCM

3.Phương pháp 3: Dùng phép biến đổi tương đương
Chứng minh $f(x)+ g(x)$ chia hết cho $g(x)$ hoặc $f(x) - g(x)$ chia hết cho $g(x)$
Ví dụ: Cho: $f(x)=x^{99}+x^{88}+x^{77}+...+x^{11}+1$
$g(x)=x^{9}+x^{8}+...+x^{11}+1$
Chứng minh rằng $f(x)$ chia hết cho g(x)

Giải:

$g(x)(x-1)=x^{10}-1$ (Khai triển lũy thừa)
nên $x^{10}-1$ chia hết cho $g(x)$
Xét $Q(x)=f(x)-g(x)$
$Q(x)=x^{99}-x^{9}+x^{88}-x^{8}+...+x^{11}-x+1-1$
$Q(x)=x^{9}(x^{90}-1$+x^{8}(x^{80}-1$+...+ x(x^{10}-1$
Suy ra: Q(x) chia hết cho $g(x)$.... Dẫn đến ĐPCM

4.Phương pháp 4: Chứng minh mọi nghiệm của $g(x)$ là của $f(x)$
***Lưu ý:
1. Số nghiệm của 1 đa thức không vượt quá số bậc của đa thức đó
2.Khi x=a là 1 nghiệm thì đa thức đó được viết dưới dạng:$f(x)=(x-a).Q(x)$. Tương tự với nhiều nghiệm
3. Khi sử dụng phương pháp này thì nghiệm của $g(x)$ đúng bằng bậc của nó
Ví dụ: Cho $f(x)=$(x^{2}+x-1)^{10}+$$(x^{2}-x+1)^{10}-2$
$g(x)=x^{2}-x$
Chứng minh rằng $f(x)$ chia hết cho g(x)

Giải:

Nghiệm của $g(x) là $x=0$ và $x=1$
Xét $f(0)=0$ và $f(1)=0 Nên f(x) chứa $x$và $x-1$
Nên $f(x)=x(x-1)Q(x)$

ĐPCM

Mình xin bổ sung thêm một phương pháp nữa, vận dụng phương pháp này vào bài số 6 phần bài tập tổng hợp.
5. Phương pháp 5.
Chứng minh số dư của đa thức $f(x)$ cho $g(x)$ là 0.
Ví dụ: Chứng minh rằng $f(x)=(x^2+x-1)^{10}+(x^2-x+1)^{10}-2$ chia hết cho $g(x)=x-1$.

Giải

Giả sử: $f(x)=(x^2+x-1)^{10}+(x^2-x+1)^{10}-2=(x-1).Q(x)+r$
Ta có: $f(1)=(1^2+1-1)^{10}+(1^2-1+1)^{10}-2=(1-1).Q(1)+r$
$f(1)=0=r$
Do đó: $r=0$
Vậy $f(x)$ chia hết cho $g(x)$.

Bài 8: Cho $f(x)$, biết khi chia $f(x)$ cho $x$ và $x-1$ dư lần lượt là $1$ và $2$. Tìm dư khi chia $f(x)$ cho $x(x-1)$

Cách 1:
Giả sử:
$f(x)=x.A(x)+1$
$f(x)=(x-1).B(x)+2$
$f(x)=x(x-1).C(x)+ax+b$
Với $x=0$, ta có: $f(0)=1=b$ $(1)$
Với $x=1$, ta có: $f(1)=2=a+b$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra: $a=1$, $b=1.$
Vậy dư khi chia $f(x)$ cho $x(x-1)$ là $a+1$
____________________
Cách 2:
Giả sử:
+) $f(x)=x.A(x)+1$
$\Rightarrow$ $(x-1).f(x)=x(x-1).A(x)+(x-1)$ $(1)$
+) $f(x)=(x-1).B(x)+2$
$\Rightarrow$ $x.f(x)=x(x-1).B(x)+2x$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có:
$(x-x+1).f(x)=x(x-1)\left [ B(x)-A(x) \right ]+(2x-x+1)$
$\Rightarrow$ $f(x)=x(x-1)\left [ B(x)-A(x) \right ]+x+1$
Mà $x+1$ có bậc nhỏ hơn $x(x-1)$ nên dư khi chia $f(x)$ cho $x(x-1)$ là $a+1$.

Bài 3: Tìm dư trong phép chia $f(x)$ cho $g(x)$:
$f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)(x+7)+2003$
$g(x)=x^{2}+8x+12$

Giả sử:
$f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)(x+7)+2003=(x^{2}+8x+12).Q(x)+ax+b$
Với $x=-2$, ta có:
$f(-2)=2003=-2a+b$ $(1)$
Với $x=-6$, ta có:
$f(-6)=2063=-6a+b$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có: $a=-15$, $b=1973$
Vậy dư trong phép chia $f(x)$ cho $g(x)$ là $-15x+1973$.

Bài 6: Chứng minh $f(x)$ chia hết cho $g(x)$
$f(x)=(x^{n}-1)(x^{n=1}-1)$
$g(x)=(x+1)(x-1)^{2}$

Cho mình hỏi bài này đề là $f(x)=(x^{n}-1)(x^{n+1}-1)$ hay là $f(x)=(x^{n}-1)(x^{n-1}-1)$.

Bài 4: Chứng minh $f(x)$ chia hết cho $g(x)$
$f(x)=x^{95}+x^{94}+...+x+1$
$g(x)=x^{31}+x^{30}+....+x+1$

Ta có: $f(x)=x^{95}+x^{94}+...+x+1$
$=(x^{95}+...+x^{65}+x^{64})+(x^{63}+...+x^{33}+x^{32})+(x^{31}+...+x+1)$
$=(x^{64}+x^{32}+1).g(x)$
Vậy $f(x)$ chia hết cho $g(x)$.

Bài 5: Chứng minh $f(x)$ chia hết cho $g(x)$
$f(x)=(x+y)^{6}+(x-y)^{6}$
$g(x)=x^{2}+y^{2}$

Ta có: $f(x)=(x+y)^{6}+(x-y)^{6}$
$=\left [ (x+y)^2 \right ]^3+\left [ (x-y)^2 \right ]^3$
$=\left [ (x+y)^2+(x-y)^2 \right ].A$
$=(2x^2+2y^2).A$
$=2A(x^2+y^2)$
$=2A.g(x).$
Vậy $f(x)$ chia hết cho $g(x)$.

.Bài 7: Tìm dư trong phép chia $f(x)$ cho g(x):
$f(x)=x^{50}+x^{49}+...+x+1$
$g(x)=x^{2}-1$a

Giả sử: $f(x)=x^{50}+x^{49}+...+x+1=A(x).(x^2-1)+ax+b$
Với $x=1$, ta có: $f(1)=51=a+b$ $(1)$
Với $x=-1$, ta có: $f(-1)=1=-a+b$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có: $a=25$; $b=26$.
Vậy số dư trong phép chia $f(x)$ cho $g(x)$ là $25x+26$.

Bài 2: Tìm a.b.c để $f(x)$ chia hết cho$g(x)$
$f(x)=2x^{4}+ax^{2}+bx+c$
$g(x)=x-2$

Giả sử: $f(x)=2x^{4}+ax^{2}+bx+c=(x-2).A(x)$
Với $x=2$, ta có: $f(2)=32+4a+2b+c=0$ $\Rightarrow$ $4a+2b+c=-32$
Vậy để $f(x)$ chia hết cho $g(x)$ thì $4a+2b+c=-32$.

Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Qua D vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC ở P. Qua D vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB ở Q.

• Tứ giác APDQ là hình gì? Tại sao?
  
• Biết cạnh AP=3cm, AQ=2cm. Tính chu vi tứ giác APDQ.
  
• Gọi I là trung điểm của AD, hãy chứng minh P, Q đối xứng nhau qua I
  
• Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác APDQ là hình vuông.

Câu a) Tứ giác APDQ là hình bình hành vì có các cặp cạnh đối //
Câu b) AP=QD=3cm; AQ=PD=2cm => chu vi tứ giác APDQ là: 3.2+2.2=10(cm)
Câu c) APDQ là hình bình hành, I là trung điểm AD nên I là trung điểm P, Q => đpcm.
Câu d) Câu này hình như sai đề vì để APDQ là hình vuông thì góc QAP bằng 90 độ hay góc BAC bằng 90 độ. Do đó tam giác ABC phải vuông tại A, mà tam vuông chỉ có 1 trường hợp đặc biệt là tam giác vuông cân, nhưng điểm D lại điểm bất kì thuộc BC nên tứ giác APDQ là hình chữ nhật, nếu để APDQ là hình vuông thì cần phải xét thêm cả vị trí của D nữa. Do đó đề câu này sai.

Mọi người vô đây đăng tên, một vài hình ảnh và ca khúc của thần tượng mình nha.
Mình mở màn trước:
Adam Levine
http://mp3.zing.vn/b...5/ZW600FBA.html (bài này là của maroon 5 nhưng Adam hát chính, còn những thành viên còn lại chơi nhạc cụ)


________________________
Charice Pempengco
http://mp3.zing.vn/b...e/ZWZCI0OB.html

Ta có: $\frac{(n+1)^2}{n+23}=\frac{n^2+2n+1}{n+23}=\frac{n^2+23n-21n-483+484}{n+23}=n-21+\frac{484}{n+23}$
Vì $n$ nguyên dương nên $n-21$ nguyên.
Do đó để $\frac{(n+1)^2}{n+23}$ là một số nguyên thì $\frac{484}{n+23}$ cũng là số nguyên.
$\Rightarrow$ $n+23\in$ Ư $(484)=\left \{\pm1;\pm2;\pm4;\pm22;\pm44;\pm121;\pm242;\pm484 \right \}$
Mà $n$ là số nguyên dương nên $n\in\left \{21;98;219;461 \right \}$
Vậy $n$ lớn nhất là 461.

3, cho x + y + z = 0 ; chứng minh rằng :
$\frac{y+x}{y} + \frac{x+z}{y} + \frac{x+y}{z} + 3 = 0$

4, cho $a + b+ c = $$a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ; chứng minh rằng :
xy + yz + xz =0

$xy +yz+xz=0$ là sao? đâu có $x,y,z$ trong bài?
Còn câu a) mình nghĩ đề là $\frac{y+z}{x} + \frac{x+z}{y} + \frac{x+y}{z} + 3 = 0$ mới đúng.
_______________
a) Ta có:
$\frac{y+z}{x} + \frac{x+z}{y} + \frac{x+y}{z} + 3$
$=\frac{yz(y+z)+xz(x+z)+xy(x+y)+3xyz}{xyz}$
$=\frac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{xyz}
$=0 (vì $ x+y+z=0$)

Chữa lại: Vì $3x<0$ nên $3x<x<0$.
Mà $2y<3x$ nên $2y<x$. Do đó $x-2y>0$.
Suy ra $9x=2y$ nên $A= \frac{-1}{2}$.

Bạn còn cách giải nào khác không? (Gợi ý, bình phương phân thức A).

Bài 7: Tính giá trị phân thức $A=\frac{3x-2y}{3x+2y}$. $(1)$
Biết rằng $9x^2+4y^2=20xy$ và $2y<3x<0$.
Bài làm:
Ta có: $9x^2+4y^2=20xy$
$9x^2+4y^2-20xy=0$
$(x-2y)(9x-2y)=0$
Vì $3x>2y$ nên $9x>2y$ do đó $9x-2y>0$
Vậy $x-2y=0$ $=>$ $x=2y$
Thay vào $(1)$ ta có:
$A=\frac{6y-2y}{6y+2y}=\frac{4y}{8y}=\frac{1}{2}$.
________________
Các bạn hãy nhận xét xem bài làm này đã đúng chưa!