Tienanh tx

Có BĐT phụ: $\sqrt{(a+b)(a+c)} \ge \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})$
CM: Biến đỗi tương đương

Cho a,b,c>0, abc=1 cmr :

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac{3}{2}$

$BDT \Longleftrightarrow \sum \dfrac{(abc)^2}{a^3(b+c)} = \sum \dfrac{a^2}{b+c} \geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c} \geqslant \dfrac{3}{2}$

Bài 3:

2.

Cách 1: Dùng miền giá trị

Cách 2: $P=\dfrac{x^2-2x+2014}{x^2}=\dfrac{2014x^2-2.2014.x+2014^2}{2014x^2}=\dfrac{(x^2-2.2014.x+2014^2)+2013x^2}{2014x^2}=\dfrac{(x-2014)^2+2013x^2}{2014x^2}=\dfrac{(x-2014)^2}{2014x^2} + \dfrac{2013}{2014} \geqslant \dfrac{2013}{2014}$

$PT$ $(2)$ $\Longrightarrow$ $ x^5+y^5=(x^2+y^2).1$ $\Longleftrightarrow$ $ x^5+y^5=(x^2+y^2).(x^3+y^3)$ $\Longleftrightarrow$ $ x^5+y^5=x^5+y^5 +xy(x^2+y^2)$ $\Longleftrightarrow$ $xy(x^2+y^2) =0$

 gbnv.bmp   1.76MB   124 Số lần tảiMinh họa: https://www.facebook...&type=1

$\oplus$ Gọi $X$ và $Y$ là giao điểm của $FK$ với $DC$ và $BC$ với $EH$.

$\oplus$ Giả sữ ba đường thẵng $FK, AC, EH$ cắt nhau tại $I$.

$\longrightarrow$ Theo định lý $Menelaus$ cho $\Delta{ABC}$ cát tuyến $EIY$, ta có: 

$$\dfrac{AE}{EB} . \dfrac{BY}{YC}.\dfrac{IC}{IA}=1$$

$$\Longleftrightarrow \dfrac{BY}{YC} = \dfrac{IA}{IC}$$

$\longrightarrow$ Theo định lý $Menelaus$ cho $\Delta{ADC}$ cát tuyến $FIX$, ta có: 

$$\dfrac{AF}{FD} . \dfrac{DX}{XC}.\dfrac{IC}{IA}=1$$

$$\Longleftrightarrow \dfrac{DX}{XC} = \dfrac{IA}{IC}$$

$\oplus$ Ta đi chứng minh: $ \dfrac{DX}{XC} =\dfrac{BY}{YC}$ $\Longleftrightarrow$ $XY \parallel BD $

$\oplus$ Dễ dàng chứng minh được $\Delta{IKH} \sim \Delta{IYX}$ $\Longleftrightarrow$ $\angle IKH = \angle IYX$ $\Longrightarrow $ $H,K,Y,X$ đồng viên

$\Longrightarrow$ $\angle HXY = \angle HKY = \angle HIC = \angle HDB$

$\Longrightarrow$ $\angle HXY = \angle HDB$ $\Longrightarrow$ $XY \parallel BD $

$Q.E.D$