Ha Manh Huu

2cosx +$\sqrt{2} .sin10x $ =$3 \sqrt{2} $+2cos28x.sinx 

<=> 2 ( cosx -sinx.cos28x ) +$\sqrt{2} .sin10x $ =$3 \sqrt{2} $

ta có $VT \leq 2\sqrt{(sin^2x+cos^2x)(1+cos^{28}x)}+\sqrt{2}.1\leq 2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

 do đó dấu = xảy ra 

 

bài 2 $cos^{24}x+cos^{26}x - (sin^{12}x+sin{16}x)= 2 $

do $-1 \leq sinx , cosx \leq 1 $  nên $cos^2x\geq  cos^{26}x, cos^{24}x$ và $sin^2x\geq sin^{12}x, sin^{16}x$

ta có $VT \leq 2cos^2+ (sin^{12}x+sin{16}x) \leq 2cos^2 +2( sin^2x+cos^2x) =2$

do đó dấu = xảy ra

&nbsp;

Giải PT: $2cos4x - (\sqrt{3}-2)cos2x=sin2x+\sqrt{3}, x\in[0;\pi]$

&nbsp;
ta có Pt<=> $cos4x +Cos2x= \frac{\sqrt{3}}{2} Cos2x +\frac{1}{2} Sin 2x +\frac{\sqrt{3}}{2} = Cos \frac{\pi}{3}.Sin 2x + Sin \frac{\pi}{3}.Cos 2x + Sin \frac{\pi}{3}= Sin (2x+\frac{\pi}{3})+Sin \frac{\pi}{3} = 2Sin(x+\frac{\pi}{3}).Cos x $
do đó $2Cos3x.Cosx=2Sin(x+\frac{\pi}{3}).Cos x $
đến đây chắc ok giải pt Cosx=0 hoặc $Cos 3x =Sin(x+\frac{\pi}{3})$

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh các BĐT sau:

 

1) $A=$$\sum cosA\leqslant 3+\sum \frac{cos^2\frac{B-C}{2}}{2}$

 

2) $B=2cosA+cos(B-2C)+cos3C\leq \frac{9}{4}$

 

3) $C=cosA+m(cosB+cosC)\leq 1+\frac{m^2}{2}$ trong đó $0< m\leq 2$

câu 1 hơi lạ tại vế trái  $\leq \frac{3}{2} $ mà VP >3

câu 3 ta có bđt phụ với A,B,C là 3 góc của tam giác thì $CosA+CosB \leq 2 Cos(\frac{A+B}{2})$

do đó $C=cosA+m(cosB+cosC) \leq CosA +2m Cos(\frac{B+C}{2})=1-2Sin^2\frac{A}{2} +2mSin \frac{A}{2} \leq 1+\frac{m^2}{2}<=>2Sin^2\frac{A}{2}-2mSin \frac{A}{2}+\frac{m^2}{2} \geq 0 <=> (2Sin\frac{A}{2} -m)^2 \geq 0 $ đúng 

 

 

Câu VI (1,0  điểm)

Cho $\left\{ \begin{array}{l} x > 0,y > 0,z > 0 \\ x + y + z = 1 \end{array} \right.$. Tìm giá trị lớn nhất của

$$E = \frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}}$$

$E=\frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}}=3-(\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}}) \geq 3- \frac{9}{x+y+z+3}=3-\frac{9}{4}$

cho 3 số không âm a,b,c có tổng bằng 1,tìm giá trị lớn nhất của : $y=a^{30}b^{4}c^{2002}$

bài này dùng cân bằng hệ số 

ta thêm các số x,y,z >0  để$x^{30}a^{30}y^4b^4z^{2002}c^{2002}\leq \left ( \frac{30xa+4yb+2002zc}{2036} \right )^{2036}$

chọn x;y;z sao cho 30x=4y=2002z là ra