bangbang1412

Lấy $x \in [a,b]$, khi đó tồn tại một dãy số hữu tỷ $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_n \in [a,b]$ sao cho $\lim_{n \to \infty}x_n = x$. Ta có

$$f(x) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim g(x_n) = g(\lim x_n) = g(x).$$

Trường hợp số vô tỷ chứng minh tương tự với lưu ý rằng mỗi số $x \in [a,b]$ đều là giới hạn một dãy toàn số vô tỷ: thật vậy lấy $\epsilon$ đủ nhỏ và vô tỷ sao cho $x + \epsilon$ nằm trong $[a,b]$, khi đó $x + \epsilon = \lim x_n$ với mỗi $x_n \in \mathbb{Q} \cap [a,b]$, khi này $x  = \lim (x_n - \epsilon)$, khi $n$ ra đủ lớn thì $x_n - \epsilon \in [a,b]$.

Anh tự nhiên thấy dịch là “bó gai” rất hợp (lúc này “perversity” sẽ dịch là “gai”), nhưng không biết mọi người nghĩ sao.
Một câu hỏi toán học: anh đoán monoidal structure của constructible derived category phải cảm sinh một monoidal structure trên phạm trù các bó perverse (cơ chế của cái cảm sinh này có trong Higher Algebra của Lurie, mình có thể trình bày kỹ hơn trong câu trả lời khác), nhưng mà dường như cấu trúc này không có ích lợi gì? Không biết ấn tượng này có đúng không.

Ban đầu lúc nghĩ ra đối đồng điều giao thì MacPherson và Goresky muốn đặt nó là "obstinate" do nảy sinh một sự cố là một số đối chu trình cứ nhất quyết không chịu giao hoành nhau. Nhưng từ obstinate không hợp lý theo ngôn ngữ của họ, nên họ để tạm là perverse rồi định đổi tên sau, cơ mà chưa kịp đổi tên thì đã nổi tiếng sau bài báo của Bernstein, Beilinson, Deligne.

Theo em biết thì không có cái monoidal structure nào được cảm sinh cả, bó perverse chỉ ổn định dưới tác động của đối ngẫu Verdier thôi.

Here I'd like to talk more about $D^b_{ctf}(X)$ (coefficient in some $\mathbb{Z}/n$) and this should partially explain why Grothendieck pointed out to Illusie as "the right notion". Every object in $D^b_{ctf}(X)$ is in fact quasi-isomorphic to a bounded flat complex whose components are constructible! (note that my definition in the previous answer did not include the constructibility). Any such (bounded, flat, constructible components) is called a perfect complex.

 

In some sense, the flatness is equivalent to projectiveness, and hence when we deal with derived categories of modules, we shoud replace everywhere flatness with projectiveness. Let $R$ be a ring, a complex in $D(R)$ is called perfect if it is quasi-isomorphic to a bounded complex of finite projective module. We denote by $D_{perf}(R)$ the triangulated subcategory of $D(R)$ formed by perfect complexes. This definition is slightly different with the ones in $D^b_{ctf}(X)$ but in $D^b(R)$ they are almost equivalent, namely, a complex in $D^b(R)$ is necessarily perfect provided that its cohomology are perfect (cohomology are perfect $\simeq$ cohomology are constructible) (at this point, I haven't checked why we can remove projectiveness, this is possibly due to the boudedness that we have imposed). But more importantly,

 

Proposition. For a ring, the set of compact objects of $D(R)$ are precisely perfect complexes.

 

Remind that a compact object $K$ in a category with small direct sums is a object such that $\operatorname{Hom}(K,-)$ commutes with small direct sums.

 

Proposition. The smallest strictly full triangulated subcategory stable under direct factors of $D(R)$ generated by a single object $R$ (regarded as a complex concentrated at degree $0$) is precisely the full subcategory of $D(R)$ consisting of perfect complexes.

 

Remind that a subcategory $\mathcal{C}$ of a category $\mathcal{A}$ with finite direct sums is stable under direct factors if whenever $X \oplus Y \in \mathcal{C}$ then both $X,Y \in \mathcal{C}$. These two results are subtle, I have to say that. Let me formulate in a more formal way: suppose that $\mathcal{T}$ is a triangulated having all direct sums and $\Lambda \subset \mathcal{T}$ is a set (not a proper class) of objects

• There exists a smallest triangulated subcategory $ \left < \left< \Lambda \right>\right >$ containing $\Lambda$ and stable under direct sums. If all objects of $\Lambda$ are compact and $ \left < \left< \Lambda \right>\right > = \mathcal{T}$ then we say that $\mathcal{T}$ is compactly generated. 
• There exists a smallest triangulated subcategory $ \left< \Lambda \right>^{ct}$ containing $\Lambda$ and stable under direct factors. If $\mathcal{T}$ is compactly generated by $\Lambda$ then (by a consequence of abstract Brown representability theorem) we have $\left< \Lambda \right>^{ct}$ is exactly the triangulated category of compact objects of $\mathcal{T}$.

Moreover, the fact that $\mathcal{T}$ is compactly generated by $\Lambda$ is equivalent to

$$\operatorname{Hom}(A[n],B) = 0 \ \forall \ A \in \Lambda \Rightarrow B = 0.$$ In terms of the formulation above, we can write $D(R) = \left < \left< R \right>\right >$ and $D_{perf}(R) = \left<R \right>^{ct}$. Their proofs can be ignored at first but you should think in comparison with the topological world. You replace $D(R)$ with $\mathbf{SH}$, the stable homotopy category, whose objects are sequences $X=(X_n)$ of simplicial sets together with morphisms $S^1 \wedge X_n \longrightarrow X_{n+1}$ so that you can define stable homotopy groups $\pi_n^{st}(X)$ and say that morphism is a stable weak equivalence if it induces isomorphisms on stable homotopy groups. Then $\mathbf{SH}$ is obtained by inverting all stable weak equivalence just like you invert all quasi-isomorphisms for complexes, it is a triangulated category whose distinguished triangles are those isomorphic to a cone sequence. There is a very special spectrum called the sphere spectrum $\mathbb{S} = (S^n)$, with transition $S^1 \wedge S^n \overset{\sim}{\longrightarrow} S^{n+1}$ and stable homotopy groups are stable homotpy groups of spheres. You can show that

$$\mathbf{SH} = \left < \left< \mathbb{S} \right>\right >.$$

Hence you can view every spectrum as a module over the sphere spectrum (and this is indeed the right way in the sense that: the category $\mathbb{SH}$ is not à priori a tensor category, to get a tensor structure you have to work with symmetric spectra, i.e. spectra with action of symmetric groups, and prove that two stable categories are equivalent and symmetra have $\otimes$ and $\underline{\operatorname{Hom}}$ moviated from the way of thinking every spectrum is a module over $\mathbb{S}$) and the triangulated subcategory formed by compact objects is $\left< \mathbb{S} \right>^{ct}$. The condition

$$\operatorname{Hom}(\mathbb{S}[n],B) = 0 \Rightarrow B = 0.$$ is in some sense equivalent to saying that for a CW-complex or simplicial set $X$, if $\pi_n(X)=0$ then $X=\bullet$ (Whitehead's theorem). Here comes to another subtle point; why these two worlds are so similar? The answer lies in the Dold-Kan correspondence theorem, basically it says that the category of chain complexes of $\mathbb{Z}$-modules is equivalent to the category of simplicial abelian groups. This equivalence maps homotopy groups to homology groups so that you can say homology groups are homotopy groups. The homotopy groups of $R[n]$ behaves like the homology of $S^n$ (concentrated at degree $0$ and $n$).

 

In summary,

• Both $D(R)$ and $\mathbf{SH}$ are stable model categories, and hence triangulated ones. Moreover, they are all tensor triangulated category.
• Both $D(R)$ and $\mathbf{SH}$ are compactly generated with a single generator.
• Another example that I can provide is that derived category of $\mathcal{O}_X$-module, the single generator is $\mathcal{O}_X$ itself.

It is likely to define

$$D^b(X) = \left < \left< \text{a single generator} \right> \right>,$$

where we have to specify the generator. A naive guess is the constant sheaf on $X$, but this isn't enough, as you'd like to have Poincaré duality, you have to add Tate twist into the play. Therefore, the definition should be: $D^b_{ctf}(X)$ as the smalles full triangulated subcategory stable under direct factors of $D^b(X)$ generated by objects of the form

$$f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d]$$ where $f: Y \longrightarrow X$ is smooth of relative dimension $d$, i.e. 

$$D^b(X) = \left < \left< f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d] \right> \right> \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ D^b_{ctf}(X) =  \left< f_!(\mathbb{Z}/n)(-d)[-2d] \right>^{ct}$$

Actually, this should be true though I couldn't find a reference but by this tag on StackProject, a "weaker" result holds, where we change triangulated categories to abelian categories, namely, the category of constructible sheaves of abelian groups is the smallest full subcategory of the category of sheaves of abelian groups contaning objects of the form $j_!\mathbb{Z}/n$ (with $j: U \longrightarrow X$ being étale, aka smooth of relative dimension $0$ $\Rightarrow$ no need to consider Tate twist) and closed under finite limits and colimits.

 

But this is the way people nowadays define constructible motives. For instance, in motivic homotopy theory where we offen work with the stable homotopy category $\mathbf{SH}(X)$ of Voevodsky (has small direct sums like $D^b(X)$) in which such a nice representation like a perfect complex is not available then this way of definining constuctible seems to be an appropriate way (and much easier to work with).

Cảm ơn Bằng nhiều. Định nghĩa này nhìn có vẻ khá phức tạp ... Bằng giải thích nôm na vì sao ta cần đẳng cấu với $\mathbb{Z}/\ell^n$-flat complex không?

 

 

Thật ra ý tớ cậu trả lời trước khi edit rồi, tức là ta có để xây dựng function $\text{Trace}_{\mathcal{F}}: X(k)\to \overline{\mathbb{Q}_{\ell}}$ cho mọi $\mathcal{F}\in D^b(X,\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$, không nhất thiết phải $D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$? 

 

Thật ra tớ có đọc được một cách khác để định nghĩa $\text{Trace}_{\mathcal{F}}$ nhưng phải cần điều kiện $\mathcal{F}$ là constructible complex, ví dụ trong trang 3 của https://math.uchicag...u/~ngo/PCMI.pdf: Với một điểm $x: \text{Spec }x\to X$, thì $\overline{x}^*\mathcal{F}$ cũng là $\ell$-adic, cụ thể là constructible, tức constructible $H^i(\overline{x}^*\mathcal{F})$ tương ứng với continuous representation of $\text{Gal}(\overline{k}/k) \to GL_n(\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$. Khi đó ta có thể định nghĩa trace của Frobenius của $H^i(\overline{x}^*\mathcal{F})$. 

 

Chắc là hai định nghĩa này giống nhau? 

Về câu hỏi thứ hai thì tớ trả lời là trong note của giáo sư Châu ban đầu ta làm với constructible sheaves (theo nghĩa thông thường) rồi extend lên complexes bằng cách xét tổng đan dấu như tớ nói. Cậu phải cần $\mathcal{F} \in D^b_c$ vì nếu constructible thì nó chính là một complex with constructible cohomology.

 

Quay lại câu hỏi thứ nhất, thực chất ta có thể viết

$$D^b_c(X,\mathbb{Z}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} D^b_{c}(X,\mathbb{Z}/l^n)$$

nhưng cái này không thật sự đúng về mặt technical một cách hình thức như sau: giả sử cậu có một họ $(D_n)_{n \geq 0}$ các triangulated category và các hàm tử khớp $T_{n+1}: D_{n+1} \longrightarrow D_n$ thì cậu sẽ định nghĩa giới hạn

$$\underset{\longleftarrow}{\lim} D_n$$ như thế nào? Một dự đoán đầu tiên là ta xét phạm trù gồm các vật $(A_n,\phi_n)_{n \geq 0}$ trong đó $\phi_{n+1}:F_{n+1}(A_{n+1}) \simeq A_n$. Morphism được định nghĩa một cách tự nhiên (compatible with $\phi_n)$. Một distinguished triangle 

 

$$X \longrightarrow Y \longrightarrow Z \overset{+1}{\longrightarrow}$$ thì chỉ là một họ các

$$X_n \longrightarrow Y_n \longrightarrow Z_n \overset{+1}{\longrightarrow}$$ compatible với những gì có thể.

 

Lemma. The limit $\underset{\longleftarrow}{\lim} D_n$ is a triangulated provided that all $\mathrm{Hom}_{D_n}(K,L)$ ($K, L\in D_n$) are finite.

 

Proof. For instance, let us verify TR3 in the axioms defining a triangulated category. Given two triplets $(K,L,M) \longrightarrow (K',L',M')$ and we'd like to find some $Z \longrightarrow Z'$ making everything commutative.

 

Define $E_n$ to be the set of morphisms $M_n \longrightarrow M_n'$ such that there exist morphisms of distinguished triangles

$$(K_n,L_n,M_n) \longrightarrow (K_n',L_n',M_n')$$ (note that we fix $K_n \longrightarrow K_n',L_n \longrightarrow L_n'$). Each set $E_n$ is nonempty and finite by the TR3 axiom for each $D_n$ and the assumption on hom sets. Moreover, $(E_n)$ defines a projective system whose limit

$$E = \underset{\longleftarrow}{\lim} E_n$$

is nonempty. Any choice of a morphism in $E$ is a morphism that we are seeking.

 

Giờ ta quay lại với $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l)$, ta cần xem nó như giới hạn $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} D^b_{c}(X,\mathbb{Z}/l^n)$ trong đó các transition là

$$\begin{align*} D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^{n+1}) & \longrightarrow D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^n) \\ K^{\bullet} & \longmapsto K^{\bullet} \otimes_{\mathbb{Z}/l^{n+1}} \mathbb{Z}/l^n \end{align*}$$ thì theo bổ đề trên ta cần điều kiện

$$\mathrm{Hom}_{D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^n)}(K,L)$$ là finite. Tuy nhiên điều kiện này không đúng với $D^b_c$ mà đúng với $D^b_{ctf}$. Nói cách khác ta có

 

Proposition (SGA 4 1/2). Under some nice assumption on the base field,

$$\mathrm{Hom}_{D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)}(K,L)$$

are finite.

Với cái định nghĩa trace như thế này thì ở chỗ nào ta dùng điều kiện constructible của $\mathcal{F}$ nhỉ? Vì tớ tưởng ta chỉ có thể dùng function-sheaf dictionary cho complexes of constructible sheaves. 

Chỗ này theo tớ không thật sự dùng constructible, constructible là về mặt cohomology.

 

Edit: tớ hiểu ý cậu rồi, tớ đoán là cậu đang hiểu function-sheaf dictionary cho constructible sheaves rồi extend cho complex, từ sheaves lên complexes of sheaves thì mình dùng tổng đan dấu của các cohomology (giống kiểu Euler-characteristic).