Đến nội dung


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Phạm trù motive hình học effective, đối đồng điều motivic và K-lý thuyết...

16-01-2022 - 20:14

Trong post này mình sẽ định nghĩa một số phạm trù đồng luân ổn định được dùng trong hình học đại số, sau đó formulate $K$-lý thuyết đại số theo ngôn ngữ motivic.Trong bài viết này, $k$ là một trường và $Sm/k$ là phạm trù các $k$-lược đồ trơn, of finite type và tách được.

Topo Nisnevich. Cho $X \in \mathrm{obj}(Sm/k)$, một phủ Nisnevich $\mathcal{U} \to X$ là một cấu xạ étale sao cho với mọi mở rộng $F$ hữu hạn sinh như một $k$-đại số, tách được thì ánh xạ trên các $F$-điểm $\mathcal{U}(F) \to X(F)$ là một toàn cấu. Với phủ Nisnevich ta có thể định nghĩa một small Nisnevich site trên $Sm/k$ cũng như $X_{Nis}$.

Trong bài viết này về sau, khi nói một không gian, ta ám chỉ một phần tử trong
$$\mathrm{Spc}(k) = \mathbf{Sh}_{Nis}(Sm/k,\mathbf{Sets}^{\Delta^{op}}).$$
Nói cách khác, một không gian là một bó trên $Sm/k$ (cùng topo Nisnevich) lấy giá trị trong phạm trù các tập đơn hình.

Định nghĩa. Một điểm trong một không gian $X$ là một cấu xạ $\mathrm{Spec}(k) \to X$ trong đó $\mathrm{Spec}(k)$ xem như một bó biểu diễn được với cấu trúc đơn hình là hằng. Nếu $X$ là một không gian thì ta ký hiệu $X_{+}$ bởi không gian định điểm $X \coprod \mathrm{Spec}(k)$ và $\mathrm{Spc}_{\bullet}(k)$ là phạm trù các không gian định điểm. Ta viết $\mathbb{P}^1$ để hiểu không gian định điểm $(\mathbb{P}^1_k,\infty_k)$.

Phạm trù $\mathrm{Spc}_{\bullet}$ là một phạm trù tensor với cấu trúc monoid cho bởi tích smash $U \mapsto X(U) \wedge Y(U)$ và vật đơn vị chính là $\mathrm{Spec}(k)_+$.

$\mathbb{P}^1$-phổ và nhóm đồng luân ổn định. Một $\mathbb{P}^1$-phổ $E$ là một dãy các không gian định điểm $(E_n)_{n\geq 0}$ cùng với các cấu xạ cấu trúc $\mathbb{P}^1 \wedge E_n \to E_{n+1}$. Một cấu xạ giữa hai phổ là các cấu xạ theo từng bậc và tương thích với cấu xạ cấu trúc. Phạm trù $\mathrm{Spt}_{\mathbb{P^1}}(k)$ có vật là các $\mathbb{P}^1$-phổ và cấu xạ định nghĩa theo cách tự nhiên.

Ví dụ. 1) $\mathbb{P}^1$-phổ treo của một không gian định điểm $X$, ký hiệu $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^{\infty}X$ là phổ $(\mathbb{P}^1)^{\wedge n} \wedge X$ và các cấu xạ cấu trúc là cấu xạ đồng nhất.
2) Nếu $E$ là một $\mathbb{P}^1$-phổ và $X$ là một không gian định điểm thì ta có phổ mới $(E \wedge X)_n = E_n \wedge X$.

Định nghĩa (nhóm đồng luân ổn định). Cho $(X,x)$ là một không gian định điểm và $n \geq 1$, ta xét tiền bó $U \mapsto \pi_n(X(U), x_{\mid U}),$ trong đó $x_{\mid U}$ là ảnh của $x$ trong $X(U)$. Bó hóa của tiền bó này được ký hiệu bởi $\pi_n(X,x)$. Khi $n \geq 2$ thì đây là một bó các Nisnevich các nhóm abel. Bây giờ cho $(E_n)_{n \geq 0}$ là một $s$-phổ và $m > n$ là các số nguyên, ta xét dãy
$$\pi_{n+m}(E_m) \to \pi_{n+m+1}(S^1_s \wedge E_m) \to \pi_{n+m+1}(E_{m+1}) \to \cdots,$$
và định nghĩa bó các nhóm đồng luân ổn định của $E$ bởi $\pi_n^s(E) = \underset{m > n}{\mathrm{colim}} \pi_{n+m}(E_m).$ Hiển nhiên một cấu xạ giữa hai $s$-phổ cho ta cấu xạ trên các nhóm đồng luân ổn định và do đó ta có thể định nghĩa khái niệm đồng luân yếu giống như trong setting thông thường.

Định nghĩa. Phạm trù $\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}(k)$ được định nghia là phạm trù $\mathrm{Spt}(k)$ sau khi nghịch đảo tất cả các đồng luân yếu.

Phạm trù đồng luân $\mathbb{P}^1$-ổn định motivic. Một $\mathbb{P}^1$-phổ được gọi là $\mathbb{A}^1$-địa phương nếu với mọi $U \in \mathrm{obj}(Sm/k)$, $n \in \mathbb{N}$ thì cấu xạ cảm sinh bởi phép chiếu $U \times \mathbb{A}^1 \to U$ là một đẳng cấu
$$\mathrm{Hom}_{\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}(k)}(\Sigma_{\mathbb{P}^1}^{\infty}(U \times \mathbb{A}^1)_{+},\Sigma^n_{\mathbb{P}^1}F) \overset{\cong}{\leftarrow} \mathrm{Hom}_{\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}(k)}(\Sigma_{\mathbb{P}^1}^{\infty}U_{+},\Sigma^n_{\mathbb{P}^1}F).$$
Ta nói một cấu xạ của hai $\mathbb{P}^1$-phổ $E \to F$ là $\mathbb{A}^1$-đồng luân yếu nếu với mọi $\mathbb{P}^1$-phổ $\mathbb{A}^1$-địa phương $E'$ tồn tại đẳng cấu chính tắc
$$\mathrm{Hom}_{\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}(k)}(E',F) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}(k)}(E,E').$$
Định nghĩa. Phạm trù đồng luân $\mathbb{P}^1$-ổn định motivic $\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}^{\mathbb{A}^1}(k)$ được định nghĩa là phạm trù $\mathrm{Spt}(k)$ sau khi nghịch đảo tất cả các $\mathbb{A}^1$-đồng luân yếu.

Như vậy ta có bổ đề hiển nhiên sau.

Bổ đề. Trong $\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}^{\mathbb{A}^1}(k)$ thì $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ cảm sinh $\mathbb{A}^1$-đồng luân yếu của các $\mathbb{P}^1$-phổ. Nói riêng, $\Sigma^{\infty}_{\mathbb{P}^1}(\mathbb{A}^1,0)$ là co rút được (contractible). Hàm tử treo $\mathbb{P}^1 \wedge \square$ là một tự tương đương của phạm trù $\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}^{\mathbb{A}^1}(k)$.

Bây giờ ta đã đủ công cụ để formulate $K$-lý thuyết đại số, ta nhắc lại rằng nhóm $K$-lý thuyết topo $K^n$ được biểu diễn bởi $\mathbb{Z} \times BU(n)$ trong đó $BU(n)$ là không gian phân loại của nhóm unita $U(n)$ và $BU(n)$ còn có biểu diễn khác là Grassmanian $Gr(n,\mathbb{C}^{\infty})$. Một cách hiển nhiên ta phải đụng tới Grassmanian ở đây. Với $m,n$ không âm ta xét Grassmanian của các không gian vector $n$ chiều trong không gian $(n+m)$ chiều bởi $Gr(n,\mathbb{A}^{n+m})$ và cho $n$ tới vô cùng ta thu được một directed system, gọi giới hạn của hệ này là $BGL(n)$. Các không gian phân loại này lại lập này một hệ
$$...\hookrightarrow BGL_n \hookrightarrow BGL_{n+1} \hookrightarrow ....,$$
và ta ký hiệu $BGL$ bởi đối giới hạn của hệ này. Trong lý thuyết đơn hình ta có một hàm tử gọi là "thay thế fibrant" $Ex^{\infty}$ có tính chất là nếu $X$ là một tập đơn hình định điểm thì $X \subset Ex^{\infty}X$ là một đồng luân yếu và $Ex^{\infty}X$ là fibrant, tức là có tính chất nâng với mọi horn. Ký hiệu $KGL = Ex^{\infty}(\mathbb{Z} \times BGL)$. Voevodsky trong IMC talk năm 98 viết rằng lý do ông lấy thay thế fibrant vì ông muốn định nghĩa một cấu xạ cấu trúc $\mathbb{P}^1 \wedge (\mathbb{Z} \times BGL) \to \mathbb{Z} \times BGL$ thì cách duy nhất mà ông biết là định nghĩa nó trong phạm trù đồng luân và nói rằng mọi cấu xạ trong phạm trù đồng luân với giá trị là vật fibrant thì có thể nâng lên phạm trù các không gian. Như vậy ta có một cấu xạ cấu trúc $\mathbb{P}^1 \wedge KGL \to KGL$.

Định nghĩa. Phổ của $K$-lý thuyết đại số được định nghĩa bởi $\mathbf{KGL}=(KGL,KGL,..,KGL,...)$ cùng với cấu xạ cấu trúc $\mathbb{P}^1 \wedge KGL \to KGL.$ Ta có một đẳng cấu $\mathbb{P}^1 \wedge \mathbf{KGL} = \mathbf{KGL}$ và gọi đây là định lý tuần hoàn Bott cho $K$-lý thuyết đại số.


Trong chủ đề: Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

16-01-2022 - 00:33

Toàn tự nhiên nhắc tới Mỹ làm tất cả các anh em phải lắc não.


Trong chủ đề: Phạm trù motive hình học effective, đối đồng điều motivic và K-lý thuyết...

15-01-2022 - 18:20

Trong bài này mình sẽ trình bày phạm trù các motive hình học effective, để làm vậy ta nhắc lại một số khái niệm trong lý thuyết giao (intersection theory) như chu trình đại số, tương ứng hữu hạn (finite correspondence),... Ta cố định $k$ là một trường, $Sm/k$ là phạm trù các $k$-lược đồ trơn, $Sch/k$ là phạm trù các $k$-lược đồ.

 

Chu trình đại số. Cho $X \in \mathrm{obj}(Sch/k)$, ký hiệu $z_r(X) = \bigoplus \mathbb{Z}.Z$ trong đó $Z$ là một lược đồ con đóng nguyên trên $k$, chiều $r$. Ký hiệu $z_*(X) = \bigoplus_{r \geq 0}z_r(X)$. Một phần tử của $z_*(X)$ được gọi là một chu trình đại số.

 

Chu trình cảm sinh và giá. Cho $W \subset X$ là một lược đồ con đóng sao cho tất cả các thành phần bất khả quy $W_1,...,W_r$ có chiều $n$. Chu trình đại số cảm sinh bởi $W$ được định nghĩa bởi

$$\left |W \right| = \sum_{i=1}^r \mathrm{length}_{\mathcal{O}_{X,W_i}}(\mathcal{O}_{W,W_i})W_i,$$

trong đó $\mathrm{length}$ là độ dài của một module, ở đây khi viết $\mathcal{O}_{X,W_i}$ ta đồng nhất nó với $\mathcal{O}_{X,\eta}$ trong đó $\eta$ là điểm generic của $W_i$. Cho $D$ là một ước Cartier trên $X$ và $Z \subset X$ là một lược đồ con đóng nguyên, ta định nghĩa tích giao $D \cdot Z$ bởi

$$D \cdot Z = \left | D \times_X Z \right|.$$

Ký hiệu $z_n(X)_D \subset z_n(X)$ là nhóm abel tự do sinh bởi các lược đồ con đóng nguyên $Z$ sao cho $Z \nsubseteq D$.

 

Định nghĩa. Cho $X \in \mathrm{obj}(Sch/k)$, hai chu trình $Z, Z' \in z_n(X)$ được gọi là tương đương hữu tỷ nếu tồn tại một chu trình $\mathcal{Z} \in z_{n+1}(X \times \mathbb{A}^1_k)_{X \times 0+ X \times 1}$ sao cho

$$Z - Z' = (X \times 0 - X \times 1) \cdot \mathcal{Z}.$$

Nhóm Chow thứ $n$ được định nghĩa bởi $\mathrm{CH}_n(X) = z_n(X)/\text{tương đương hữu tỷ}.$

 

Tương ứng. Một phần tử của $\mathrm{CH}_*(X \times Y)$ được gọi là một tương ứng từ $X$ tới $Y$. Nếu $X, Y$ và $Z$ là các được đồ trơn, xạ ảnh thì ta có thể định nghĩa phép hợp thành

$$\beta \circ \alpha = p_{XZ*}(p_{XY}^*(\alpha) \cdot p_{YZ}^*(\beta)),$$

trong đó $p_{XY}: X \times Y \times Z \to X \times Y$ là phép chiếu.

 

Tương ứng hữu hạn. Cho $X, Y \in \mathrm{obj}(Sch/k)$. Nhóm $c(X,Y)$ là nhóm con của $z(X \times_k Y)$ sinh bởi các lược đồ con đóng nguyên $W \subset X \times_k Y$ sao cho:

 

i) $p_1:W \to X$ là hữu hạn;

ii) $p_1(W)$ là một thành phần bất khả quy của $W$.  

 

Các phần tử của $c(X,Y)$ được gọi là các tương ứng hữu hạn từ $X$ tới $Y$.

 

Mình không thực sự hiểu ý nghĩa của finite correspondence, ngay cả correspondence cũng vậy. Theo như wiki thì correspondence là một quan hệ định nghĩa bởi các phương trình đại số. Nhưng để hiểu tại sao nó lại được dùng để định nghĩa cấu xạ của phạm trù motive hình học thì mình vẫn chưa hiểu. Tính finite ở đây trong finite correspondence mang tính kỹ thuật nhiều hơn, được Voevdosky đưa ra nhằm mở rộng lớp các đa tạp có thể lấy hợp thành được. Tương tự như correspondence ta định nghĩa hợp thành bởi

$$W' \circ W = p_{XZ*}^S(p^*_{XY}(W) \cdot p^*_{YZ}(W')),$$

trong đó $W \in c(X,Y), W' \in c(Y,Z)$ và $X,Y,Z \in \mathrm{obj}(Sm/k)$, $S = \mathrm{supp}(W) \times Z \cap  X \times \mathrm{supp}(W')$ và $p_{XZ}^S: S \to X \times Z$ là phép chiếu cảm sinh bởi $p_{XZ}$.

 

Câu hỏi. Có cách nào nhìn trực giác được công thức trên thỏa mãn luật kết hợp của phép hợp thành cấu xạ không?

 

Ví dụ. Ở đây ta sẽ tính toán thử một ví dụ về correspondence để "lấy cảm giác", cho $x$ là một điểm đóng trong $X$, xét lược đồ nền là $S = \mathrm{Spec}(k)$. Ta xem $x$ như correspondence $S \times x \in \mathrm{Cor}(S,X)$ và cấu xạ cấu trúc $X \to S$ như correspondence $X \times S \in \mathrm{Cor}(S,X)$. Tích giao của chúng theo định nghĩa là $[S \times x] \cdot [X \times S] = [S \times x \times S]$. Ta khẳng định rằng hợp thành của hai correspodence này $S \to X \to S$ là một correspondence $\mathrm{Cor}(S,S)$ ứng với đồng cấu nhân với $[k(x):k]$. Thực vậy ta cần tính đẩy xuôi của $p: S \times x times S \to S \times S$. Sử dụng đẳng cấu $S \times x \times S \cong S \times x, S \times S \cong S$ ta suy ra $p$ dẳng cấu với $S \times x \to S$, cấu xạ này hiển nhiên có bậc $[k(x):k]$ vì nó chỉ là base change từ $S = \mathrm{Spec}(k)$ sang $\mathrm{Spec}(k \otimes k(x))$.

 

Ta định nghĩa phạm trù $\mathrm{Cor}(k)$ có vật là các lược đồ trơn và cấu xạ cho bởi $\mathrm{Hom}_{\mathrm{cor}}(X,Y) = c(X,Y)$ với mọi $X,Y \in \mathrm{obj}(Sm/k)$. Tích thớ trên $k$ cho ta một cấu trúc tensor trên $\mathrm{Cor}(k)$. Ngoài ra ta có hàm tử $Sm/k \to \mathrm{Cor}(k)$ gửi mỗi vật vào chính nó và một cấu xạ $f : X\to Y$ tới đồ thị $\Gamma_f$ của nó, ta viết ảnh của một vật $X$ qua hàm tử này bởi $[X]$ và ảnh một cấu xạ $f$ bởi $f_*$. Xét phạm trù đồng luân các phức bị chặn $K^b(\mathrm{Cor}(k))$.

 

Định nghĩa. Phạm trù $\widehat{\mathbf{DM}}^{eff}_{gm}(k)$ được định nghĩa là địa phương hóa của $K^b(\mathrm{Cor}(k))$ bằng cách nghịch đảo các cấu xạ sau:

 

i) Với mọi $X \in \mathrm{obj}(Sm/k)$, $p_*: [X \times \mathbb{A}^1_k] \to [X]$;

ii) Với mọi $X \in \mathrm{obj}(Sm/k)$ và một cặp tập mở $U, V \subset X$ sao cho $X = U \cup V$ thì ta nghịch đảo $\mathrm{cone}([U \cap V] \to [U] \oplus [V]) \to [X]$.

Điều kiện thứ nhất để sinh ra tính $\mathbb{A}^1$-đồng luân, điều kiện thứ hai cho ta dãy Mayer-Vietoris. Phạm trù các motive hình học effective $\widehat{\mathbf{DM}}^{eff}_{gm}(k)$ được định nghĩa là giả abel envelope của $\widehat{\mathbf{DM}}^{eff}_{gm}(k)$.

 

Tương tự như trên, ta có một hàm tử $Sm/k \to \mathbf{DM}^{eff}_{gm}(k)$ gửi mỗi lược đồ trơn $X$ tới chính nó, mà ta ký hiệu bởi $M(X)$; và gửi một cấu xạ tới đồ thị của nó. Như trong bài viết trước, ta cần nghịch đảo motive Lefschetz, cụ thể, ta xét Tate motive

$$\mathbb{Z}(1) = \mathrm{Cone}(p_*:[X] \to [\mathrm{Spec}(k)])[-1][2],$$

và đặt $\mathbb{Z}(n) = \mathbb{Z}(1)^{\otimes n}.$ Phạm trù các motive hình học $\mathbf{DM}_{gm}(k)$ được định nghĩa là địa phương hóa của $\mathbf{DM}_{gm}^{eff}(k)$ theo các Tate motive $\mathbb{Z}(n)$.

 

Ở đây mình định nghĩa một cách tricky (dựa trên một định lý) đồng điều Suslin.

 

Định nghĩa (đồng điều Suslin+đối đồng điều motivic) Đồng điều Suslin $H^{Sus}_i(X)$ của một lược đồ trơn $X$ được định nghĩa bởi

$$H^{Sus}_i(X) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{eff}_{gm}}\left(\mathbb{Z}[i], M_{gm}(X) \right).$$

Đối đồng điều motivic là phiên bản xoắn + phản biến của đồng điều Suslin

$$H^p(X,\mathbb{Z}(q)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{eff}_{gm}} \left(M_{gm}(X), \mathbb{Z}(q)[p] \right).$$

Dưới đây là một số tính chất đối đồng điều motivic.

Tồn tại tích cup .$H^p(X,\mathbb{Z}(q)) \otimes H^{p'}(X,\mathbb{Z}(q')) \to H^{p+p'}(X,\mathbb{Z}(q+q'))$ bằng cách gửi $a \otimes b$ thông qua dãy hợp thành

$$M_{gm}(X) \overset{\delta}{\rightarrow} M_{gm}(X) \otimes M_{gm}(X) \overset{a \otimes b}{\rightarrow} \mathbb{Z}(q)[p] \otimes \mathbb{Z}(q')[p'] \cong \mathbb{Z}(q+q')[p+p'].$$

Thỏa mãn tính $\mathbb{A}^1$-đồng luân, i.e. $p^*: H^p(X,\mathbb{Z}(q)) \overset{\sim}{\rightarrow} H^p(X \times \mathbb{A}^1_k,\mathbb{Z}(q)).$

 

Dãy Mayer-Vietoris. Nếu $U, V \subset X$ là hai tập mở thì ta có dãy Mayer-Vietoris:

$$... \to H^{p-1}(U \cap V, \mathbb{Z}(q)) \to H^p(U \cup V, \mathbb{Z}(q)) \to H^p(U,\mathbb{Z}(q)) \oplus H^p(V,\mathbb{Z}(q)) \to H^p(U\cap V, \mathbb{Z}(q)) \to ...$$

Recover lại một số đối đồng điều cổ điển.Ví dụ $H^1(X,\mathbb{Z}(1))= \Gamma(X,\mathcal{O}_X^{*}), H^2(X,\mathbb{Z}(1)) = H^1(X,\mathcal{O}_X^*)$ và do đó ta có thể định nghĩa lớp Chern của một phân thớ đường $L$ bởi phần tử $[L]$ tương ứng trong $H^2(X,\mathbb{Z}(1))$.


Trong chủ đề: Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

06-01-2022 - 05:16

Em cũng ngứa ngáy với Huawei và TQ, nhưng cũng thấy vui vì nếu thực sự topos ứng dụng vào được AI thì là một chuyện quá tuyệt vời. Cấp độ trừu tượng của topos khác hẳn với các loại lý thuyết toán học thường được sử dụng trong ứng dụng. Ngay cả những người làm hình học đại số sau khi rút tỉa được từ đó một số lý thuyết đối đồng điều thì cũng không còn quan tâm gì nữa. Đóng góp này của Huawei thực sự tích cực với cộng đồng toán học. Có lẽ chỉ có người Pháp là không vui, thua ngay trên sân nhà.

Anh làm $\infty-\mathrm{cat}$ thì cũng liên quan topos nhỉ? Bao giờ định xong PhD còn sang TQ đây? :ukliam2:


Trong chủ đề: Vấn đề Hilbert thứ 21

17-12-2021 - 19:35

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân. Cho $X$ là một đường cong đại số không suy biến, liên thông trên $\mathbb{C}$. Một phương trình vi phân trên $X$ là một cặp $(M,\nabla)$ bao gồm một bó nhất quát tự do địa phương $M$ trên $X$ và một liên thông integrable

$$\nabla: M \to M \otimes \Omega^1_{X/\mathbb{C}},$$

tức là một ánh xạ cộng tính thỏa mãn luật $\nabla(fm)=m.df + f\nabla(m)$ với mọi $f \in \mathcal{O}_X, m \in M$; integrable theo nghĩa nếu ta tác động $D \in \mathrm{Der}(X/\mathbb{C})$ (các đạo hàm $X \to X$)  lên $M$ bằng hợp thành:

$$\nabla(D): M \overset{\nabla}{\longrightarrow} M \otimes \Omega^1_{X/\mathbb{C}} \overset{\mathrm{id} \otimes \text{contraction}}{\longrightarrow} M$$

thì ta yêu cầu rằng $\nabla([D_1,D_2]) = [\nabla(D_1),\nabla(D_2)]$. Tương tự, trên đa tạp phức ta định nghĩa phương trình vi phân là một liên thông integrable trên bó tự do nhất quán giải tích địa phương. Ta sẽ thấy về sau tại sau lại điều kiện integrable.

 

Trường hợp giải tích. Lời giải của bài toán Hilbert thứ 21 trong trường hợp giải tích được giải quyết trọn vẹn và câu trả lời là , tức là: cho $V$ là một đa tạp phức liên thông bất kỳ, khi đó mọi biểu diễn hữu hạn chiều của $\pi_1(V)$ đều đến từ một biểu diễn monodromy của một phương trình vi phân trên $V$. Điều kiên integrable để ta có thể áp dụng định lý Frobenius về tính tốn tại nghiệm địa phương của hệ phương trình vi phân.

 

Giải kỳ dị. Ở đây ta sử dụng một phiên bản giải kỳ dị của Hironaka

 

Cho $U$ là một đa tạp tựa xạ ảnh (quasi-projective) trên $\mathbb{C}$. Khi đó tồn tại một đa tạp trơn $X/\mathbb{C}$ sao cho $U \subset X$ là một tập mở trù mật và phần bù $D = X - U$ là hợp thành của các ước trơn $D_1,...,D_r$ (đa tạp con đóng đối chiều một) giao nhau tranversely. Ta gọi $X$ là một compact hóa của $U$. Hai compact hóa bất kỳ đều bị áp đảo bởi một compact hóa thứ ba.

 

Ký hiệu $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ là bó con của $\mathrm{Der}(X/\mathbb{C})$ gồm các đạo hàm bảo toàn bó ideal của $D_1,...,D_r$. Tại một điểm mà $D_1,...,D_r$ giao nhau ta có thể chọn một hệ tọa độ địa phương sao cho $D_i = \left \{x_i =0\right \}$. Khi đó $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ là module tự do trên các ký hiệu $x_1\frac{\partial}{\partial x_1},...,x_r\frac{\partial}{\partial x_r},\frac{\partial}{\partial x_{r+1}},...,\frac{\partial}{\partial x_n}$. Trường hợp một chiều, tức là các stalk là DVR thì điều kiện bảo toàn ideal nói rằng $\text{đạo hàm}(\mathfrak{m}) \subset \mathfrak{m}$; nói cách khác, nó phải triệt tiêu tại $x_i$ với bậc $\geq 1$ và do đó nằm trong module sinh bởi $x\frac{\partial}{\partial x}$.

 

Đối ngẫu tuyến tính cua $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ được ký hiệu là $\Omega^1_{X/\mathbb{C}}(\log(D))$ tự do địa phương bởi các kỳ hiệu $\frac{dx_1}{x_1},...,\frac{dx_r}{x_r},dx_{r+1},...,dx_n$, nó bao gồm các một dạng với các cực bậc một của $D$.

 

Phát biểu lại tiêu chuẩn tìm điểm kỳ dị chính quy. Bằng hai bó $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ và $\Omega^1_{X/\mathbb{C}}(\log(D))$ ta sẽ viết lại điều kiện điểm kỳ dị chính dị quy: một phương trình vi phân $(M,\nabla)$ trên một đường cong $U$ (mở trong $X$) có điểm kỳ dị chính quy trên $D = X - U$ tương đương với tồn tại một bó $\overline{M}$ trên $X$ mở rộng $M$ sao cho tác động của $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ trên $U$ mở rộng lên một tác động của $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ trên $\overline{M}$. Nói cách khác

$$\nabla: M \to M \otimes \Omega^1_{U/\mathbb{C}} \overset{\text{mở rộng}}{\longrightarrow} \overline{\nabla}: \overline{M} \to \overline{M} \otimes \Omega^1_{X/\mathbb{C}}(\log(D)).$$

 

Đưa bài toán về dạng giải tích. Cho $U$ là một đa tạp trơn, liên thông, tựa xạ ảnh trên $\mathbb{C}$, ta biết rằng trường hợp giải tích đã được xử lý nên một biểu diễn hữu hạn chiều của $U^{an}$ cảm sinh từ một biểu diễn monodromy của duy nhất một phương trình vi phân $(M^{an},\nabla^{an})$. Trước tiên ta thừa nhận bổ đề sau

 

Bổ đề. Cho $(M^{an},\nabla^{an})$ là một phương trình vi phân giải tích trên $U^{an}$ và $U \hookrightarrow X$ là một compact hóa của $U$. Khi đó tồn tại một bó giải tích nhất quán tự do địa phương $\overline{M^{an}}$ trên $X^{an}$ mở rộng $M^{an}$, sao cho $\nabla^{an}$ thác triển lên $\overline{\nabla^{an}}:\overline{M^{an}} \to \overline{M^{an}} \otimes \left(\Omega^1_{X/\mathbb{C}}(\log(D))\right)^{an}.$

 

Giả sử đã chứng minh được bổ đề, khi đó ta áp dụng nguyên lý GAGA cho $(\overline{M^{an}},\overline{\nabla^{an}})$ để suy ra tồn tại $\overline{M}$ trên $X$ và $\overline{\nabla}:\overline{M} \to \overline{M} \otimes \Omega^1_{X/\mathbb{C}}(\log(D))$ sao cho $(\overline{M^{an}},\overline{\nabla^{an}}) = (\overline{M},\overline{\nabla})^{an}$. Khi này ta có thể định nghĩa $(M,\nabla)$ là hạn chế của $(\overline{M},\overline{\nabla})$ lên $U$ thì hiển nhiên $(M,\nabla)$ có kỳ dị chính quy và $(M,\nabla)^{an} = (M^{an},\nabla^{an})$ đồng thời $(M,\nabla)$ cho ta biểu diễn của $\pi_1(U^{an})$.

 

Chứng minh bổ đề. Tại một điểm "$0$" mà $D_1,...,D_r$ giao nhau, ta có thể chọn một hệ tọa độ $x_1,..,x_n$ sao cho $D_i = \left \{x_i = 0\right \}$ với mọi $1 \leq i \leq r$. Trên một hệ tọa độ dạng đĩa đa diện $V$ quanh điểm giao có dạng $\left | x_i \right | < \epsilon$ với mọi $i = 1,...,n$ ($\epsilon$ đủ nhỏ) thì đa tạp $V \cap U^{an}$ có dạng

$$V \cap U^{an} = \prod_{i=1}^r \left \{ 0 < \left|x_i \right |< \epsilon \right \} \times \prod_{i=r+1}^n \left \{\left|x_i \right| < \epsilon \right \}.$$

Hạn chế của $(M^{an},\nabla^{an})$ xuống $V \cap U^{an}$ là một phương trình vi phân trên $V \cap U^{an}$ nên theo trường hợp giải tích, nó ứng với một biểu diễn $\rho:\pi_1(V \cap U^{an}) \to \mathrm{GL}(L)$ trong đó $L$ là một không gian vector hữu hạn chiều. Tuy nhiên cách chọn hệ tọa độ cho thấy

$$\pi_1(V \cap U^{an}) = \mathbb{Z}\gamma_1 \times \cdots \times \mathbb{Z}\gamma_r,$$

trong đó $\gamma_i$ là các đường cong đóng quay ngược chiều kim đồng hồ quanh $D_i$. Do đó biểu diễn $\rho$ xác định hoàn toàn nếu ta biết $\rho(\gamma_1),..., \rho(\gamma_r)$. Bằng cách sử dụng dạng chuẩn Jordan, ta thấy rằng tồn tại duy nhất các tự đẳng cấu $B_i$ của $L$ sao cho

  • $\mathrm{exp}(2\pi \mathbf{i} B_j) = \rho(\gamma_j)$ với mọi $j = 1,2,...,r$.
  • Các giá trị riêng của $B_j$ có phần thực nằm trong giải $-1 < \mathrm{Re} \leq 0$.
  • $B_j$ giao hoán từng đôi một.

Ta sẽ định nghĩa mở rộng lên $V$ của $(M^{an},V^{an})$ như sau

$$\overline{M^{an}} = L \otimes_{\mathbb{C}} \mathcal{O}_V,$$

và ta cũng định nghĩa mở rộng của tác động như sau

$$\begin{align*} \overline{\nabla^{an}}: \overline{M^{an}} = L\otimes \mathcal{O}_V & \to \overline{M^{an}} \otimes_{\mathcal{O}_V} \Omega^1_V(\log(D)) = L \otimes \Omega^1_{V/\mathbb{C}}(\log(D)) \\ l \otimes f & \mapsto f\left(-\sum_{i=1}^r B_i l \otimes \frac{dx_i}{x_i} \right) + l \otimes df \end{align*}$$

Để kiểm tra rằng liệu $(\overline{M^{an}},\overline{\nabla^{an}})$ thực sự mở rộng $(M^{an},\nabla^{an})$ ta cần kiểm tra liệu monodromy của nó có chính xác không. Như vậy ta cần tìm ma trận $A$ trong biểu diễn địa phương $d - A$ của $\overline{\nabla^{an}}$, dễ thấy ma trận này chính là $\sum_{i=1}^r \log(x_i)B_i$ ($\log(x_i)$ định nghĩa tốt trên $V$ do $V$ là tích các đĩa một chiều mở, do đó đơn liên) và do đó nghiệm cơ bản là $\mathrm{exp}\left(\sum_{i=1}^r \log(x_i)B_i \right)$ (ta sẽ ký hiệu là $\prod_{i=1}^r x_i^{B_i}$). Nếu ta xét thác triển giải tích dọc theo các đường cong $\gamma_i$ thì nghiệm sẽ trở thành $\mathrm{exp}\left(\sum_{i=1}^r \log(x_i)B_i + 2\pi \mathbf{i}B_i \right) = \rho(\gamma_i)\prod_{i=1}^r x_i^{B_i}$, và do đó chính là monodromy tương ứng.

 

Để kiểm tra định nghĩa của ta tốt, ta cần phải chứng định nghĩa địa phương này có thể dán thành toàn cục. Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn địa phương sau (không chứng minh):

 

Trong mọi cơ sở của $\overline{M^{an}}$ xem như một $\mathcal{O}_V$ module thì nghiệm cơ bản luôn có dạng $H(x)\prod_{i=1}^r x_i^{B_i}$ trong đó $H(x) \in \mathrm{GL}(n,\mathcal{O}_V)$ và $B_i$ là các ma trận đôi một giao hoán, có các giá trị riêng với phần thực nằm trong đoạn $(-1,0]$.

 

Giờ ta quay lại một hệ tọa độ $x_1,...,x_n$ dạng đa đĩa trên $V$, nghiệm cơ bản của hệ có dạng $\prod_{i=1}^r x_i^{B_i}$. Giả sử trên $V' \subset V$ thì $D_i$ có thể viết dưới dạng $D_i = \left \{y_i \right \}$ với $i=1,...,s$ ($s < r$), ta cần chứng minh nghiệm cơ bản vừa trên có thể biểu diễn dưới dạng $H(x)\prod_{i=1}^s y_i^{B_i}$. Với $i=1,...,r$, do $x_i,y_i$ cùng định nghĩa $D_i$ trên $V'$ nên tồn tại các hàm khả nghịch $u_i$ mà $x_i = u_i y_i$. Các ước $D_{s+1},...,D_r$ tự thân chúng khả nghịch trong lân cận này. Từ đây ta suy ra rằng có thể viết

$$u_i = \mathrm{exp}(z_i) \ \forall \ i = 1,...,s \ \text{và} \ x_i = \mathrm{exp}(z_i) \ \forall \ i = s+1,...,r.$$

Cuối cùng ta có

$$\prod_{i=1}^r x_i^{B_i} = \prod_{i=1}^s (u_i y_i)^{B_i} \prod_{i=s+1}^r x_i^{B_i} = \mathrm{exp}\left(\sum_{i=1}^r B_i z_i \right)\prod_{i=1}^s y_i^{B_i},$$

trong đó hiển nhiên $\mathrm{exp}\left(\sum_{i=1}^r B_i z_i \right) \in \mathrm{GL}(n,\mathcal{O}_{V'})$. Kết thúc chứng minh.