Đến nội dung


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Chủ đề của tôi gửi

Giới thiệu về lý thuyết đơn hình

27-05-2021 - 19:08

Bài viết giới thiệu về lý thuyết đơn hình (simplicial theory), một lý thuyết "tổ hợp" của tôpô đại số. Kí hiệu $\mathbf{Top},\mathbf{Sets},\mathbf{Ab}$ lần lượt là phạm trù các không gian tôpô, phạm trù các tâp hợp, phạm trù các nhóm abel.

 

Giới thiệu

H. Poincaré lần đầu định nghĩa đồng điều theo nghĩa tam giác phân một không gian và thực hiện các tính toán tổ hợp với định nghĩa này. Tuy nhiên cách định nghĩa này không hiệu quả ở điểm nó cần chứng minh các cách tam giác phân đều cho ta một nhóm đồng điều.


File gửi kèm  simplex.png   69.18K   2 Số lần tải

Tiếp đó, không phải mọi không gian đều có thể tam giác phân. Sau này, các định nghĩa trừu tượng cho phép ta hiểu một tam giác là một ánh xạ liên tục $\left |\Delta^n \right| \to X$, trong đó $\left |\Delta^n \right|^n$ định nghĩa bởi

\begin{equation} \left|\Delta^n \right|=\left \{ (x_0,...,x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_i \in [0,1], x_0 + \cdots + x_n = 1 \right \}.\end{equation}

Các ánh xạ này cho ta một họ
\begin{equation} \mathrm{Sing}(X)_n = \left \{ \sigma: \left|\Delta^n \right| \to X \mid \sigma \ \text{liên tục} \ \right\}. \end{equation}
Tuy nhiên các tập $\mathrm{Sing}(X)_n$ không đứng riêng lẻ do bản thân các đơn hình hình học $\left|\Delta^n \right|$ có liên hệ với nhau, ví dụ một tam giác sẽ có ba đỉnh. Ngoài ra, do tính affine ta hoàn toàn có thể đồng nhất các đơn hình hình học với các đỉnh của nó. Ví dụ $\left|\Delta^n \right|$ có $(n+1)$-đỉnh $v_0,...,v_n$ ($v_i$ có tất cả các vị trí là $0$ ngoài $1$ ở vị trí $i$) có thể đồng nhất với tập $\left \{0,1,...,n \right \}$. Như vậy một tam giác có thể xem là "tập" $\left \{0,1,2\right \}$ với ba đỉnh $\left \{0 \right \}, \left \{1\right \}, \left \{2 \right \}$ và ba cạnh $\left \{0,1\right \}, \left \{1,2\right \}, \left \{0,2\right \}$. Đây là sự xuất hiện của phạm trù $\Delta$ với vật là các tập $[n]=\left \{0,1,...,n \right \}$, nó được gọi là \textit{phạm trù số}. Trong khi $\mathrm{Sing}(X)$ là một \textit{tập đơn hình} theo nghĩa nó gửi mỗi $[n]$ đến $\mathrm{Sing}(X)_n$ (nó cũng là một $\infty$-phạm trù). Như vậy, tóm gọn lại ta có một quy trình
\begin{equation} X  \rightarrow (\text{phức kì dị}) \ \mathrm{Sing}(X) \rightarrow (\text{hàm tử tự do}) \ \mathbb{Z}\mathrm{Sing}(X) \rightarrow (\text{phức+ đồng điều}) \  H_{\bullet}(X).\end{equation}
Thực chất đây là một loạt các hàm tử giữa các phạm trù
\begin{equation} \mathbf{Top} \to s\mathbf{Sets} \to s\mathbf{Ab} \to \mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab}),\end{equation}
trong đó $s\mathbf{Sets},s\mathbf{Ab}$ lần lượt là phạm trù các tập đơn hình và phạm trù các nhóm abel đơn hình. Như vậy thực chất ta đang làm đại số đồng điều trong $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$. Sau này ta sẽ biết rằng  $\mathrm{Sing}: \mathbf{Top} \to s\mathbf{Sets}$ có liên hợp là hàm tử hình học hóa trong khi đó định lý tương ứng Dold-Kan nói rằng $s\mathbf{Ab}$ tương đương với $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$, như vậy bước khó khăn có lẽ nằm ở phép lấy hàm tử nhóm abel tự do.

 

Định lý tương ứng Dold-Kan là một tương đương giữa hai phạm trù các phức không âm và các vật đơn hình. Để hiểu định lý Dold-Kan do đó ta bắt buộc phải hiểu các vật đơn hình, và để hiểu các vật đơn hình ta phải hiểu phạm trù $\Delta$. Để định nghĩa phạm trù số ta sẽ định nghĩa các đối mặtđối suy biến (ta gọi như vậy để thuận tiện thay vì gọi là phép đối mặt và phép đối suy biến). Sau đó chúng ta chứng minh các đẳng thức đối đơn hình và chứng minh mọi cấu xạ trong phạm trù số có một phân tích rất đặc biệt gọi là phân tích đơn-toàn cấu.


Lịch sử của giả thuyết Weil - J. A. Dieudonné

28-04-2021 - 12:13

Câu chuyện về "các giả thuyết Weil" là một ví dụ tuyệt vời của toán học, và là một trong các ví dụ kinh điển thể hiện sự thống nhất của toán học. Ý tưởng cốt lõi cho chứng minh của nó đến từ sáu người: E. Artin, F. K. Schmidt, H. Hasse, A. Weil, A. Grothendieck và P. Deligne, trong khoảng năm mươi năm $(1923-1973)$.

 

I. Số nghiệm của phương trình đồng dư

 

Như mọi vấn đề trong lý thuyết số, câu chuyện bắt đầu từ Gauss. Trong công trình về luật thuận nghịch bình phương của mình, Gauss đưa ra công thức tổng Gauss $\sum_{s=0}^p \mathrm{exp}\left({\frac{2\pi i x^2}{p}}\right)$ với $p$ nguyên tố; để tính các tổng này, bằng một số lập luận sơ cấp, ông suy ra cần tính số nghiệm của các phương trình đồng dư

$$(1) \ \ \ ax^3 - by^3 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p), \ ax^4 - by^4 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p), \ y^2 \equiv ax^4 - 1 \ (\mathrm{mod} \ p),$$

trong đó $a,b$ là các số nguyên cố định không chia hết cho $p$, nghiệm $(x,y)$ được xét theo đồng như modulo $p$, như vậy thực chất ta đi đếm số nghiệm trong $\mathbb{F}_p$ - trường $p$ phần tử; chúng ta đi tìm một biểu diễn asymptotic (dưới dạng một hàm đơn giản của $p$) với $p$ chạy trên một tập vô hạn các số nguyên tố. Một thời gian ngắn sau, Jacobi nhận xét rằng, ngược lại, bằng các tính chất cơ bản của tổng Gauss, ta có thể thu được một đánh giá tốt về số nghiệm trong các trường hợp tổng quát hơn, ở đó các phương pháp sơ cấp khó khả thi. Jacobi sau này gần như không có nhiều tiến triển trong vấn đề này cho tới khi Hardy và Littlewood, trong khi nghiên cứu bài toán Warning, với mong muốn tìm ra các tính chất của "chuỗi kì dị", thấy rằng cần phải đưa ra một đánh giá tiệm cận cho số nghiệm cho phương trình đồng dư

$$(2) \ \ \ x_1^k + ... + x_r^k \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p),$$

trong đó $p$ là một số nguyên tố chạy tới $+\infty$. Hai ông đã sử dụng phương pháp của Jacobi; tổng quát hơn, năm $1949$, cả Hua-Vandier và A. Weil đã độc lập chứng minh rằng phương pháp này có thể đánh giá số nghiệm $N$ của phương trình

$$(3) \ \ \ a_0x_0^{k_0} + ... + a_r x_r^{k_r} = 0 \ (a_0,...,a_r \neq 0)$$

trong mọi trường $\mathbb{F}_{q}$ với $q = p^m$; kết quả được đưa ra

$$(4) \ \ \ N = q^r + O(q^{(r+1)/2})$$.

Kết quả tương tự được đưa ra bởi Danvenport $(1931)$ và Mordell $(1933)$ cho các phương trình dạng $y^m = P_n(x)$ trong $\mathbb{F}_p$ với một số $m,n$ nhỏ; trong đó $P_n$ là một đa thức bậc $n$. Kết quả thu được là $N  = p + O(p^{\phi(m,n)})$ trong đó $1/2 < \phi(m,n) < 1$.

 

 

Nguồn: E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures.

Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm $4$ đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội.


Tại sao (đối) đồng điều của không gian Eilenberg-MacLane lại khó tính toán?

24-03-2021 - 16:14

Vì diễn đàn vừa mất khá nhiều bài viết (trong đó có hai bài của mình về $(\infty,1)$-phạm trù và giới thiệu về lý thuyết đồng luân) nên mình sẽ viết một bài viết mới, coi như khai bút dịp này. Bài viết này bàn tới việc, tại sao (đối) đồng điều của không gian Eilenberg-MacLane lại khó tính? Ở đây ta sẽ bàn tới mô hình đơn hình (simplicial set) của không gian $K(G,n)$ - $G$ là một nhóm abel, $n \geq 0$. Nhắc lại không gian $K(G,n)$ được định nghĩa bởi

$$\pi_i(K(G,n)) = \begin{cases} G, & \ i = n \\ 0, & i \neq 0. \end{cases}$$

Trong đó $K(G,n)$ được xác định chính xác tới một đồng luân yếu và thậm chí tới một đồng luân nếu ta làm trong phạm trù các CW-phức. Câu hỏi là, tuy nhóm đồng luân của $K(G,n)$ đơn giản như vậy nhưng điều gì làm (đối) đồng điều của nó phức tạp? Trước tiên, ta quay về với mô hình "tổ hợp" của $K(G,n)$ và do đó phải nhắc tới định lý tương ứng Dold-Kan.

 

Định lý (tương ứng Dold-Kan). Cho $\mathscr{A}$ là một phạm trù abel, khi đó hàm tử phức chuẩn hóa $N$ là một tương đương phạm trù giữa $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathscr{A})$ và $s\mathscr{A}$. Trong đó $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathscr{A})$ là phạm trù các phức mà các vị trí $<0$ là tầm thường và $s\mathscr{A}$ là phạm trù các vật đơn hình trên $\mathscr{A}$; nói cách khác, phạm trù $\mathscr{A}^{\Delta^{op}}$.

 

(Phạm trù $\Delta$ đơn giản có các vật là $[n] = (0 < 1 <...<n)$ và cấu xạ là các ánh xạ bảo toàn thứ tự) Như vậy tồn tại một hàm tử nghịch đảo $K$ (biến một phức thành một vật đơn hình) của $N$, vấn đề đã trở nên đơn giản hơn, nhóm $G$ sẽ được đồng nhất với phức

$$...0 \to 0 \to ... \to 0 \to G (\text{vị trí 0}) \to 0.$$

Phức $KG[-n]$ do đó sẽ là một vật đơn hình Eilenberg-MacLane, lấy hình học hóa $|KG[-n]|$ cho ta một mô hình cụ thể của không gian Eilenberg-MacLane. Trước khi đi xa hơn, ta quay về một vấn đề đơn giản của hàm tử dẫn xuất: gọi $A$ là một vật trong phạm trù abel $\mathscr{A}$ và $T: \mathscr{A} \to \mathscr{A'}$ là một hàm tử cộng tính. Quy trình quen thuộc là lấy một giải thức xạ ảnh

$$P_{\bullet}: ... \to P_n \to ... \to P_1 \to P_0 \to A \to 0.$$

Sau đó xóa $A$ và lấy đồng điều của phức

$$TP^{del}_{\bullet}: ... \to TP_n \to ... TP_1 \to TP_0 \to 0, \ \ L_qT(A) = H_q(TP^{del}_{\bullet}).$$ Trước tiên có hai vấn đề cần lưu ý:

  • Tại sao ta cần giả thiết $T0 = 0$? Đơn giản là để $TP_{\bullet}$ vẫn là một phức ($T(\text{vi phân}^2) = T0 = 0$) và do đó lấy được đồng điều; tại bước này ta không cần giả thiết cộng tính.
  • Tại sao ta cần giả thiết cộng tính? Trả lời: là để hàm tử dẫn xuất định nghĩa một cách duy nhất từ bổ đề so sánh đồng luân của phức xây chuyền xạ ảnh. Một đồng luân $f-g=ds + sd$ chỉ giữa nguyên dạng khi hàm tử $T$ cộng tính.

Bây giờ câu hỏi là làm sao ta định nghĩa dẫn xuất của $T$ khi bỏ đi giả thiết cộng tính (vẫn cần $T0=0$)? Dold & Puppe trong một bài báo của họ đã định nghĩa khái niệm giải thức đơn hình xạ ảnh kiểu $(A,n)$, nó chỉ đơn giản là một vật đơn hình $X$ (trên $\mathscr{A}$) mà

$$H_n(X) \cong A, H_i(X) = 0 \ \forall \ i >n, X_i = 0 \ \forall i < n,$$

và định nghĩa dẫn xuất hai chỉ số của $T$ bởi

$$L_qT(A,n) = H_q(TX).$$

Ví dụ khi $\mathscr{A} = \mathscr{A'} = \mathbf{Ab}$ là phạm trù các nhóm abel thì ta có hai hàm tử không cộng tính

$$TA = \mathbb{Z}A \otimes G, \ \ T'A = \mathrm{Sym}(A) \otimes G,$$

trong đó $\mathbb{Z}, \mathrm{Sym}$ là hàm tử đại số nhóm và hàm tử đại số đối xứng. Khi $T$ là cộng tính thì $L_qT(A,n) \cong L_{q-n}TA$. Ký hiệu đồng điều hoặc đối đồng điều của $K(A,n)$ trong một vành giao hoán có đơn vị $R$ lần lượt bởi

$$H^*(K(A,n),R) = H^*(A,n;R), \ \ H_*(K(A,n),R) = H_*(A,n;R).$$

Định lý sau trả lời câu hỏi ban đầu của ta.

 

Định lý. (Dold&Puppe) Cả hai dẫn xuất $L_qT(A,n), L_qT'(A,n)$ đều đẳng cấu với $H_q(A,n;G)$.

 

Ý tưởng chứng minh. Hàm tử $T'$ phức tạp hơn - dựa vào công trình của Dold&Thom và Spanier về tích đối xứng vô hạn $SP^{\infty}$; trong khi hàm tử $T$ hầu như theo định nghĩa. Thật vậy

$$L_qT(A,n) = H_q(\mathbb{Z}[KG[-n]] \otimes G) = H_q(A,n; G),$$

trong đó ta đã dùng sự kiện đồng điều một vật đơn hình (ở đây là $KG[-n]$) là đồng điều của phức $\mathbb{Z}[X_{\bullet}]$ (ví dụ, đồng điều kỳ dị của không gian tô-pô $X$ là đồng điều của vật đơn hình $\mathrm{Sing}(X)$) và sự kiện đồng điều của vật đơn hình đẳng cấu với đồng điều của hình học hóa của nó.

 

Định lý của Dold&Puppe cho ta một câu trả lời: sự khó khăn trong tính toán (đối) đồng điều của không gian Eilenberg-MacLane xuất phát từ việc chúng là dẫn xuất của các hàm tử không cộng tính. Trong bài báo On the group $H(\Pi,n)$, II của MacLane, ông đã định nghĩa giải thức bar, một phức hoàn toàn đại số để tính $H_{\bullet}(A,n;G)$. Điều này là tự nhiên do ta định nghĩa $K(A,n)$ từ đối tượng đại số và đi tính một bất biến đại số của một không gian tô-pô thì tại sao không làm việc thuần túy đại số từ đầu? Giải thức bar có liên hệ chặt chẽ với dẫn xuất của $\mathrm{Sym}$, là cơ sở để MacLane định nghĩa cách đo độ cộng tính của một hàm tử + hàm tử đa thức và làm động lực cho Cartan, trong semináire Henri Cartan (1954-1955) tính toàn thành công $H_{\bullet}(A,n;G)$ với $G = \mathbb{Z}_p,\mathbb{Z}$ ($p$ là số nguyên tố) và $A$ là nhóm abel hữu hạn sinh.

 

Tuy nhiên, chứng minh của Cartan cực kỳ phức tạp; khi thành công với bài báo này người ta tin rằng tô-pô đại số có lẽ sắp kết thúc tuy nhiên sau đó họ nhận ra là cỗ máy tính này dù chỉ thay một chỉ tiết nhỏ cũng không thể tính toán được tiếp được. Duy chỉ phát biểu kết quả $H_{\bullet}(A,n,\mathbb{Z}_p)$ ($p$ nguyên tố lẻ) có lẽ cũng đã mất $2$ trang latex.

 

Gác bút ở đây thôi!


$\text{supp}s$ trong lược đồ $\text{Spec}...

30-07-2019 - 19:35

Với một không gian định vành (ringed space) $(X,\mathscr{O}_X)$ và môt lát cắt toàn cục (global section) $s \in \mathscr{O}_X$ ta luôn xét được giá (support) của nó được định nghĩa là
$$\text{supp}s = \left \{\mathfrak{p} \in X: [s,X] \neq 0 \in \mathscr{O}_{X,\mathfrak{p}} = \underrightarrow{\lim}_{\mathfrak{p} \in U}\mathscr{O}_X(U) \right \}$$
có thể chứng minh giá là một tập đóng. Ở đây ta xét:
$$(X,\mathscr{O}_X) = (\text{Spec} \ k[x,y]/(y^2,xy), \mathscr{O}_{\text{Spec } \ (k[x,y]/(y^2,xy)}))$$
trong đó $k$ là trường, không nhất thiết đóng đại số. Mình có hai câu hỏi, mình chứng minh được một nhưng vẫn hơi phân vân; ai có thể viết rõ toàn bộ ra thì tốt
$i)$ $(x,y)$ là điểm duy nhất trong $X$ mà stalk tại đó là không rút gọn (có nilradical không tầm thường).
$ii)$ Với mọi $s$ là lát cắt toàn cục thì $\text{supp}s$ chỉ là ba trường hợp, tập rỗng, $(x,y)$ hoặc toàn bộ không gian.

Chiều của vành đa thức

27-05-2019 - 23:14

Với một vành giao hoán có đơn vị $R$ cho trước, kí hiệu $\dim R$ là chiều Krull của $R$. Mình muốn chứng minh rằng khi $R$ là Noether thì $\dim R[x] = 1 + \dim R$ $(*)$

 

Nói chung với bài này mà sử dụng các kĩ thuật của đại số giao hoán (như trong sách Atiyah-McDonald) thì sẽ rất mệt mỏi nên mình lên hỏi vì mong có một cách luồn lách qua đại số đồng điều. Sau đây là hai trường hợp mình biết:

 

+ Khi chiều đồng điều toàn cục $\text{gl.}\dim R < \infty$ và $R$ là vành địa phương khi đó theo một kết quả của Serre thì $R$ là vành địa phương chính quy (regular) hơn nữa khi đó $\dim R =  \text{gl.}\dim R$, khi này theo Hilbert's syzygy (bước sử dụng Hilbert syzygy làm yếu bài toán rất nhiều vì nó không cần điều kiện Noether) thì bài toán được xử lý.

 

+ Lấy giả dụ nữa, khi vành $R$ là chính quy, vành mà địa phương hóa tại mọi ideal nguyên tố là địa phương chính quy, khi đó chiều Krull với chiều đồng điều vẫn trùng nhau và dạng mạnh của Hilbert syzygy vẫn cho ta đpcm. 

 

(Lớp vành chính quy thì mình cũng không biết nhiều, điển hình là trường và miền Dedekind và vành đa thức của vành chính quy thì vẫn chính quy)

 

Vậy nên mình thử đề xuất một câu hỏi:

 

Giả sử $R$ có chiều đồng điều toàn cục là hữu hạn (TH vô hạn cứ xem sau) nhưng "chưa chắc" địa phương liêu có suy ra được $(*)$ bằng một liên hệ nào đó giữa chiều Krull và chiều đồng điều không?