Đến nội dung


bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Chủ đề của tôi gửi

Phạm trù motive hình học effective, đối đồng điều motivic và K-lý thuyết đại số

15-01-2022 - 03:28

Lý thuyết motives xuất hiện để đưa ra lời giải cho việc hợp nhất hai loại lý thuyết đối đồng điều: đối đồng điều thuộc kiểu bất biến hình học-đại số và đối đồng điều thuộc kiểu bất biến siêu việt. Lớp thứ nhất có thể kể tới nhóm Chow và Quillen K-lý thuyết trong khi đó nhóm thứ hai có thể kể tới đối đồng điều Betti và đối đồng điều $l$-adic. Đối đồng điều thuộc loại thứ nhất thường abel và không thể tính toán, Deligne và Beillinson là những người đầu tiên tin rằng nếu đi theo các đối đồng kiểu bất biến hình học-đại số thì sẽ dễ hơn loại thứ hai. Có ba lý thuyết motives tương đương xây dựng bởi Hanamura, Levine và Voevodsky nhưng xây dựng của Voevodsky được cho là đẹp nhất. Những xây dựng đầu tiên của Grothendieck của các Chow motives được cải thiện và trình bày trong một cuốn sách của Levine, ở đây họ xây dựng các phạm trù effective Chow motives theo kiểu đồng điều $M^{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ và theo kiểu đồng điều $M_{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ chủ yếu dựa vào chu trình đại số và tương đương hữu tỷ nhưng tương đương hữu tỷ làm mất nhiều thông tin và xây dựng này gặp nhiều trục trặc kĩ thuật. Trong bài viết này mình sẽ trình bày xây dựng của Voevodsky vốn được xem là một cải thiện xây dựng cho $M^{eff}$ và phiên bản cải thiện của chính Voevodsky dựa trên lý thuyết $\mathbb{A}^1$-đồng luân, điều đáng kể của phiên bản đơn giản hóa của xây dựng của Voevodsky là nó làm việc được trên mọi lược đồ nền.

 

Mình sẽ trình bày phiên bản đơn giản của phiên bản đầu của Voevodsky trước. Sau đó mình sẽ định nghĩa đối đồng điều motivic dựa trên đồng điều Suslin và trình bày một số tính chất của nó.

 

Ý tưởng của lý thuyết $\mathbb{A}^1$-đồng luân là thay thế đoạn đơn vị $[0,1]$ trong topo bởi đường thẳng affine $\mathbb{A}^1 = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t])$. Trong lý thuyết đối đồng điều kì dị và một số loại đối đồng điều cho đa tạp đại số ta biết có tính chất $H^{*}(X) \cong H^*(X \times \mathbb{A}^1)$, đây gọi tính $\mathbb{A}^1$--đồng luân và nó luôn đóng vai trò chủ chốt trong mọi xây dựn, một lý thuyết đối đồng điều thường được biểu diễn bởi hàm tử hom trong một phạm trù tam giác hợp lý (hãy nghĩ điều này trong phiên bản topo với định lý biểu diễn Brown). Lấy ví dụ nếu $T$ là một không gian topo, khi đó đối đồng điều bó với hệ số trong một nhóm abel $A$ có thể biểu diễn theo hai cách

$$H^n(T,A) = \mathrm{Ext}^n_{\mathbf{Sh}(T,\mathbf{Ab}) }(\mathbb{Z}_T,A_T) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{D}(\mathbf{Sh}(T,\mathbf{Ab}))}(\mathbb{Z}_T,A_T[n]),$$

trong đó $G_T$ là bó hằng với giá trị tại một nhóm abel $G$ và $\mathbf{D}$ là phạm trù dẫn suất.

 

$\mathbb{A}^1$-địa phương hóa. Cho $R$ là một vành giao hoán có đơn vị, với mỗi tập $E$ ta kí hiệu $R \otimes E$ bởi $R$-module tự do với một cơ sở là $E$. Cho $S$ là một lược đồ bất kì, ta kí hiệu $Sm/S$ bởi phạm trù các lược đồ trơn trên $S$ và trang bị cho $Sm/S$ topo étale. Kí hiệu $\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)$ bởi phạm trù các bó étale trên small étale site $Sm/S$ với giá trị trong $\mathrm{Mod}_R$-phạm trù các $R$-module. Với mỗi $X \in \mathrm{obj}(Sm/S)$ ta có một hàm tử

$$\begin{align*} R_{ét}: Sm/S & \to \mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \\ X & \mapsto \left \{ U \mapsto R \otimes \mathrm{Hom}_S(U,X) \right \} \end{align*}$$

Phạm trù $\mathbf{Sh}(Sm/S;R)$ được trang bị một cấu trúc tensor: nếu $\mathcal{F},\mathcal{G}$ là hai bó etale thì $\mathcal{F} \otimes_R \mathcal{G}$ là bó hóa của tiền bó $U \mapsto \mathcal{F}(U) \otimes_R \mathcal{G}(U)$. Giờ để làm đối đồng điều ta xét phạm trù dẫn xuất $\mathbf{D}(\mathbf{Sh}(Sm/S;R))$ và sau đó để "áp đặt" tính $\mathbb{A}^1$-đồng luân ta ký hiệu $\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$ bởi phạm trù tam giác con nhỏ nhất đóng bởi tổng trực tiếp và chứa tất cả các phức dạng

$$[... \to R_{ét}(\mathbb{A}^1 \times U) \to R_{ét}(U) \to 0 \to ...],$$

trong đó $U$ là một $S$-lược đồ trơn. Lưu ý với mỗi $U$ ta có vô hạn phức như trên tùy vào cách đặt bậc, lý do là ta "nên" có $H^*(X) \cong H^*(X \times [0,1])$ tại mọi bậc.

 

Định nghĩa. Ta định nghĩa các $S$-motive effective $\mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)$ là phạm trù $\mathbf{D}(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))/\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$, ở đây ta lấy thương Verdie, về mặt các vật thì nó có cùng các vật với $\mathbf{D}(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))$ nhưng khi chuyển vào phạm trù thương thì mọi vật của $\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$ đẳng cấu với $0$. Với mỗi $S$-lược đồ trơn $X$, ký hiệu $M^{eff}(X)$ bởi ảnh của $X$ qua hợp thành

$$Sm/S \overset{R_{ét}}{\rightarrow} \mathbf{Sh}(Sm/S;R) \to \mathbf{D}( \mathbf{Sh}(Sm/S;R  ) ) \to \mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R),$$

và ta gọi $M^{eff}(X)$ là motive đối đồng điều effective của $X$.

 

Lấy động lực từ đối đồng điều $l$-adic (đoạn này mình cũng không rõ vì từ trước tới giờ chỉ mới đụng tới đối đồng điều étale) ta sẽ địa phương hóa phạm trù $\mathbf{DA}^{eff,ét}$ theo motive Lefschetz $L = R_{ét}(\mathbb{P}^1_S,\infty_S)$. Ta định nghĩa ổn định hóa naive (naive stabilization) $\mathbf{DA}^{naive,ét}$ bởi

$$\mathbf{DA}^{naive,ét}(S;R) = \mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)[L^{-1}],$$

trong đó một vật là một cặp $(M,m)$ với $M \in \mathrm{obj}(\mathbf{DA}^{eff,ét})$ và $m \in \mathbb{Z}$. Cấu xạ được cho bởi

$$\mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{naive,ét}(S;R)}((M,m),(N,n)) = \underset{\underset{r \geq -\mathrm{min}(m,n)}{\longrightarrow}}{\lim} \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)}(M \otimes L^{r+m}, N \otimes L^{r+n}).$$

(ta sẽ gặp lại xây dựng này trong phiên bản đầu tiên của Voevodsky). Phạm trù $\mathbf{DA}^{naive,ét}$ được tin là đủ tốt để trở thành định nghĩa của phạm trù $S$-motive, tuy nhiên nó gặp nhiều vấn đề kĩ thuật; ví dụ đơn giản nhất là nó không phải phạm trù tam giác.

 

$L$-phổ và đối đồng điều étale motivic. Ta vẫn giữ nguyên ký hiệu $L = R_{ét}(\mathbb{P}^1_S;\infty_S)$, một $L$-phổ của các bó é tale trên $Sm/S$ là một dãy các bó étale $\mathcal{E}=(\mathcal{E}_n)$ ($n \in \mathbb{N})$ và một dãy các đẳng cấu mà ta gọi là các assembly map, $\gamma_n: L \otimes \mathcal{E}_n \to \mathcal{E}_{n+1}$. Ta định nghĩa cấu xạ giữa hai $L$-phổ theo cách hiển nhiên tương thích với các assembly map và ký hiệu $\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))$ bởi phạm trù các $L$-phổ.

 

Hàm tử

$$\begin{align*} \mathrm{Ev}_p: \mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)) & \to \mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \\ ((\mathcal{E}_n),(\gamma_n)) & \mapsto \mathcal{E}_n \end{align*}$$ gửi mỗi phổ $((\mathcal{E}_n),(\gamma_n))$ tới bậc thứ $p$ của nó có một hàm tử liên hợp được ký hiệu bởi

$$\mathrm{Sus}^p_L: \mathrm{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \to \mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)).$$

Ta ký hiệu $\mathrm{Sus}^0_L$ bởi $\Sigma^{\infty}_L$. Như thường lệ, ta xét $\mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))$ là phạm trù dẫn xuất của phạm trù các $L$-phổ, ký hiệu $\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1-st}$ bởi phạm trù tam giác con nhỏ nhất của $\mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))$ mà đóng với phép lấy tổng trực tiếp tùy ý đồng thời chứa tất cả các phức dạng

$$[... \to 0 \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(\mathbb{A}^1 \times U) \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(U) \to 0 \to ... ],$$

$$[... \to 0 \to \mathrm{Sus}^{p+1}_L R_{ét}(L \otimes U) \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(U) \to 0 \to ...].$$

Định nghĩa. Ta định nghĩa phạm trù các bó motivic trên $S$ (hoặc đơn giản, các $S$-motive), ký hiệu $\mathbf{DA}^{ét}(S;R)$, bởi công thức

$$\mathbf{DA}^{ét}(S;R) = \mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))/\mathbf{T}_{\mathbb{A}^1-st}.$$

Với mỗi $S$-lược đồ trơn $S$, thì $\Sigma_L^{\infty}R_{ét}(X)$ xem như một vật của $\mathbf{DA}^{ét}(S;R)$ được gọi là motive đồng điều của $X$ và sẽ được ký hiệu bởi $M(X)$.

 

Định nghĩa. (đối đồng điều étale motivic) Ta định nghia các Tate motive $R_S(p)$ bởi công thức $R_S(p) = \mathrm{Sus}^0_L(L^{\otimes p})[-2p]$ và định nghĩa

$$H^p_{\mathcal{L}}(S;R(p)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{ét}(S;R)}(R(0), R(q)[p]),$$

với mọi $p,q \in \mathbb{Z}$. Các nhóm này được gọi là đối đồng điều étale motivic của lược đồ $S$.

 

Định nghĩa. (nhóm Chow étale) Cho $k$ là một trường, $X$ là một đa tạp trơn trên $k$. Ta định nghĩa nhóm Chow étale của $X$ bởi

$$\mathrm{CH}^{2n}_{ét}(X) = H^{2n}_{\mathcal{L}}(X;\mathbb{Z}(n)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{ét}(k;\mathbb{Z})}(M(X),\mathbb{Z}(n)[2]).$$

Rosenschon và Srinivas xây dựng một cấu xạ chu trình khi $k = \mathbb{C}$, $\mathrm{CH}_{ét}^{2n}(X) \to H^{2n}(X(\mathbb{C});\mathbb{Z})$ và chứng minh rằng nếu giả thuyết Hodge đúng cho nhóm Chow hữu tỷ $\mathrm{Ch}^*(X) \otimes \mathbb{Q}$ thì nó đúng cho nhóm Chow étale với hệ số trên $\mathbb{Z}$.


Vấn đề Hilbert thứ 21

17-12-2021 - 06:40

Vấn đề Hilbert thứ 21 dự đoán sự tồn tại của một hệ phương trình vi phân với nhóm monodromy cho trước. Bài viết này giới thiệu sơ lược về vấn đề Hilbert thứ 21 và các khái niệm liên quan. Setting của chúng ta trong bài toán này là lấy một đường cong $X$ xạ ảnh, không suy biến, liên thông trên $\mathbb{C}$. Gọi $U$ là một tập mở trong $X$ sao cho phần bù của $U$ là một số hữu hạn các điểm đóng. Ký hiệu $U^{an}$ là đa tạp phức ứng với $U$ trong nguyên lý GAGA. Trước tiên chúng ta xem xét một định nghĩa hợp lý của phương trình vi phân.

 

Ví dụ $X = \mathbb{P}^1$ và $U \subset \mathbb{P}^1 - \left \{\infty \right \}$, khi đó một hệ phương trình vi phân được mô tả bởi

$$\frac{d}{dz}\mathbf{f} = P(z) \cdot \mathbf{f},$$

trong đó $P$ là một ma trận các hàm hệ số. Hệ này bao gồm lớp các phương trình vi phân tuyến tính cấp $n$

$$f^{(n)}= p_{n-1}f^{(n-1)}+\cdots +  p_1f' + p_0f,$$

bằng cách lấy $P$ là ma trận

$$  P(z)=  \begin{pmatrix}
0 & 1 & ... & 0 &0 \\
0 & . & 1 & 0 & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 &  & 0 & 1\\
p_0 & p_1 & \cdots &  p_{n-2} & p_{n-1}
\end{pmatrix}$$

Trong trường hợp đường cong có giống cao hơn, do không có một hệ tọa độ toàn cục nên ta sẽ định nghĩa một hệ phương trình vi phân trên $U$ là một cặp $(M,\nabla)$ trong đó $M$ là một bó nhất quán tự do địa phương $M$ và một liên thông $\nabla: M \to M \otimes \Omega^{1}_{U/\mathbb{C}}$ thỏa mãn luật Leibniz giống như trường hợp trên đa tạp. Khi đó một phương trình vi phân sẽ được định nghĩa là hạt nhân của liên thông $\nabla$. Để giải thích cho định nghĩa này ta xét một ví dụ giải tích

 

Ví dụ. Ký hiệu $\pi: \mathbb{C}^2 \times \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ là phân thớ tầm thường hạng $2$ trên $\mathbb{C}$. Khi đó mọi liên thông trên $\pi$ có dạng

$$\nabla = d+ \begin{pmatrix}
 -f_{11}(z)& -f_{12}(z)\\
 -f_{21}(z)& -f_{22}(z)
\end{pmatrix}dz$$

trong đó $d$ là đạo hàm ngoài và $f_{ij}$ là các hàm chỉnh hình. Một lát cắt $a \in \Gamma(s)$ có thể xem như một cặp $(a_1(z),a_2(z))$ gồm hai hàm chỉnh hình. Khi đó

$$ \nabla(a) = \nabla \begin{pmatrix}
a_1(z)\\
a_2(z)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_1'(z) -f_{11}(z)a_1(z) - f_{12}(z)a_2(z)\\
a'_2(z) - f_{21}(z)a_1(z) - f_{22}(z)a_2(z)
\end{pmatrix}dz.$$

Do đó ta thấy hạt nhân của $\nabla$ cho ta một hệ phương trình cấp $2$.

 

Cố định một điểm $z_0 \in U$, khi đó mầm $S$ của các nghiệm chỉnh hình địa phương gần $z_0$ là một không gian vector có chiều là $\mathrm{rank}(M)$ theo định lý giải được địa phương của hệ phương trình vi phân bậc nhất. Cho $\gamma$ là một đường cong đóng tại $z_0$ trong $U^{an}$, khi đó thác triển giải tích dọc theo $\gamma$ cho định nghĩa cho ta một tự đẳng cấu của $S$. Như vậy ta có một tác động $\pi_1(U^{an},z_0)$ lên $S$, ta gọi đây là biểu diễn monodromy của phương trình vi phân $(M,\nabla)$.

 

Ví dụ. Xét phương trình vi phân

$$ z\frac{df}{dz} = \alpha f, \ \alpha \in \mathbb{C}$$

trên mặt phẳng thủng $\mathbb{C} - \left \{0 \right \}$. Cố định một điểm và chọn một branch cut xuất phát từ điểm này, khi đó nghiệm toàn cục có dạng $z^{\alpha}=\mathrm{exp}(\alpha\log(z))$. Nếu ta xét thác triển giải tích của lớp đồng luân của đường cong $\gamma$ quay ngược chiều kim đồng hồ một góc $2\pi$ thì nghiệm sẽ trở thành $e^{2\pi \mathbf{i} \alpha}z^{\alpha}$. Ta thấy $\pi_1(\mathbb{C} - \left \{0 \right \}) \cong \mathbb{Z}$ với phần tử sinh $[\gamma]$, khi đó biểu diễn monodromy tương ứng là $\gamma \mapsto e^{2\pi \mathbf{i}\alpha} \in \mathbb{C}^{\times} = \mathrm{GL}(1,\mathbb{C})$.

 

Để có thể phát biểu hoàn toàn bài toán Hilbert, ta cần khái niệm điểm kỳ dị chính quy, nó giống như một điều kiện đầu của bài toán Cauchy để phương trình có nghiệm duy nhất. Ban đầu, khái niệm kỳ dị chính quy đến từ ODE, sau đó Fuchs định nghĩa nó bằng một số đánh giá giải tích nhưng cuối cùng ông chứng minh rằng khái niệm này là thuần túy đại số, ta sẽ dùng cách định nghĩa này ở đây.

 

Xét một phương trình vi phân thường biến $z \in \mathbb{C}$

$$ f^{(n)} =p_{n-1}f^{(n-1)}+\cdots +  p_1f' + p_0f,$$

trong đó $p_i$ là các hàm phân hình, Ta nói $a \in \mathbb{C}$ là một điểm kỳ dị chính quy nếu $p_{n-i}$ có một cực bậc không quá $i$ tại $a$. Trong trường hợp đó phương trình của chúng ta có thể chuyển về dạng

$$D^{(n)}f = b_{n-1}D^{(n-1)}f + ... + b_0 f,$$

trong đó $D = (z-a)\frac{d}{dz}$ là uniformizer tại $a$. Phương trình ban đầu có kỳ dị chính quy tại $a$ khi và chỉ khi $b_i$ đều là hàm chỉnh hình.

 

Ví dụ. Nếu $p,q$ là hai hàm chỉnh hình, khi đó phương trình $f^{"}(z) =\frac{p(z)}{z}f'(z)+\frac{q(z)}{z^2}f(z)$ tương đương với $D^2f = (p+1)Df + qf$ và do đó nó có điểm kỳ dị chính quy tại $z=0$.

 

Lưu ý. Một khi biết phương trình có điểm kỳ dị chính quy tại $a$, phương pháp Frobenius có thể được sử dụng để giải ra $n$ nghiệm địa phương dưới dạng chuỗi.

 

Bài toán Hilbert thứ 21. Cho $X$ là một đường cong không suy biến trên $\mathbb{C}$, $U$ là một tập mở với topo Zariski sao cho phần bù của $U$ là một số hữu hạn các điểm đóng. Hỏi rằng có phải mọi biểu diễn hữu hạn chiều của $\pi_1(U^{an})$ đều là một biểu diễn monodromy của một hệ phương trình vi phân có kỳ dị chính quy mọi nơi không?

 

Nếu ta bỏ điều kiện điểm kỳ dị chính quy, biểu diễn của ta có thể không đến từ một hệ phương trình duy nhất.

 

Ví dụ. Với $U = \mathbb{A}^1, U^{an} = \mathbb{C}$ và $\pi_1(U^{an}) = 0 \to \mathbb{C}^{\times}$ là biểu diễn tầm thường. Khi đó với mọi $P \in \mathbb{C}[z]$ thì phương trình

$$\frac{df}{dz} = P(z)f$$

có nghiệm

$$f(z) = \mathrm{exp}\left(\int_0^z f(t)dt \right)$$

là một nghiệm toàn cục, và do đó không có monodromy. Nhưng xem như các phương trình vi phân trên đa tạp đại số $\mathbb{A}^1$, các phương trình này đôi một không đẳng cấu. Hơn nữa nếu ta dùng uniformizer $D=(z-a)\frac{d}{dz}$ thì phương trình trở thành $Df = (z-a)P(z)f$, nếu ta yêu cầu nó có kỳ dị chính quy tại $a$ thì $(z-a)P(z)$ phải có cực bậc dương tại $a$, điều này chỉ xảy ra nếu $P \equiv 0$.

 

Để kiểm tra một hệ có kỳ dị chính quy không, Katz đã chứng minh nó tương đương với việc tìm các cyclic vector, tức là các vector "biểu hiện" như một nghiệm địa phương của phương trình vi phân. Bài toán tìm cyclic đã được giải quyết gần như trọn vẹn.


Lý thuyết đồng luân đơn hình

27-05-2021 - 19:08

Bài viết giới thiệu về lý thuyết đơn hình (simplicial theory), một lý thuyết "tổ hợp" của tôpô đại số. Kí hiệu $\mathbf{Top},\mathbf{Sets},\mathbf{Ab}$ lần lượt là phạm trù các không gian tôpô, phạm trù các tâp hợp, phạm trù các nhóm abel.

 

Giới thiệu

H. Poincaré lần đầu định nghĩa đồng điều theo nghĩa tam giác phân một không gian và thực hiện các tính toán tổ hợp với định nghĩa này. Tuy nhiên cách định nghĩa này không hiệu quả ở điểm nó cần chứng minh các cách tam giác phân đều cho ta một nhóm đồng điều.


File gửi kèm  simplex.png   69.18K   51 Số lần tải

Tiếp đó, không phải mọi không gian đều có thể tam giác phân. Sau này, các định nghĩa trừu tượng cho phép ta hiểu một tam giác là một ánh xạ liên tục $\left |\Delta^n \right| \to X$, trong đó $\left |\Delta^n \right|^n$ định nghĩa bởi

\begin{equation} \left|\Delta^n \right|=\left \{ (x_0,...,x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_i \in [0,1], x_0 + \cdots + x_n = 1 \right \}.\end{equation}

Các ánh xạ này cho ta một họ
\begin{equation} \mathrm{Sing}(X)_n = \left \{ \sigma: \left|\Delta^n \right| \to X \mid \sigma \ \text{liên tục} \ \right\}. \end{equation}
Tuy nhiên các tập $\mathrm{Sing}(X)_n$ không đứng riêng lẻ do bản thân các đơn hình hình học $\left|\Delta^n \right|$ có liên hệ với nhau, ví dụ một tam giác sẽ có ba đỉnh. Ngoài ra, do tính affine ta hoàn toàn có thể đồng nhất các đơn hình hình học với các đỉnh của nó. Ví dụ $\left|\Delta^n \right|$ có $(n+1)$-đỉnh $v_0,...,v_n$ ($v_i$ có tất cả các vị trí là $0$ ngoài $1$ ở vị trí $i$) có thể đồng nhất với tập $\left \{0,1,...,n \right \}$. Như vậy một tam giác có thể xem là "tập" $\left \{0,1,2\right \}$ với ba đỉnh $\left \{0 \right \}, \left \{1\right \}, \left \{2 \right \}$ và ba cạnh $\left \{0,1\right \}, \left \{1,2\right \}, \left \{0,2\right \}$. Đây là sự xuất hiện của phạm trù $\Delta$ với vật là các tập $[n]=\left \{0,1,...,n \right \}$, nó được gọi là phạm trù số. Trong khi $\mathrm{Sing}(X)$ là một tập đơn hình theo nghĩa nó gửi mỗi $[n]$ đến $\mathrm{Sing}(X)_n$ (nó cũng là một $\infty$-phạm trù). Như vậy, tóm gọn lại ta có một quy trình
\begin{equation} X  \rightarrow (\text{phức kì dị}) \ \mathrm{Sing}(X) \rightarrow (\text{hàm tử tự do}) \ \mathbb{Z}\mathrm{Sing}(X) \rightarrow (\text{phức+ đồng điều}) \  H_{\bullet}(X).\end{equation}
Thực chất đây là một loạt các hàm tử giữa các phạm trù
\begin{equation} \mathbf{Top} \to s\mathbf{Sets} \to s\mathbf{Ab} \to \mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab}),\end{equation}
trong đó $s\mathbf{Sets},s\mathbf{Ab}$ lần lượt là phạm trù các tập đơn hình và phạm trù các nhóm abel đơn hình. Như vậy thực chất ta đang làm đại số đồng điều trong $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$. Sau này ta sẽ biết rằng  $\mathrm{Sing}: \mathbf{Top} \to s\mathbf{Sets}$ có liên hợp là hàm tử hình học hóa trong khi đó định lý tương ứng Dold-Kan nói rằng $s\mathbf{Ab}$ tương đương với $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$, như vậy bước khó khăn có lẽ nằm ở phép lấy hàm tử nhóm abel tự do.

 

Định lý tương ứng Dold-Kan là một tương đương giữa hai phạm trù các phức không âm và các vật đơn hình. Để hiểu định lý Dold-Kan do đó ta bắt buộc phải hiểu các vật đơn hình, và để hiểu các vật đơn hình ta phải hiểu phạm trù $\Delta$. Để định nghĩa phạm trù số ta sẽ định nghĩa các đối mặtđối suy biến (ta gọi như vậy để thuận tiện thay vì gọi là phép đối mặt và phép đối suy biến). Sau đó chúng ta chứng minh các đẳng thức đối đơn hình và chứng minh mọi cấu xạ trong phạm trù số có một phân tích rất đặc biệt gọi là phân tích đơn-toàn cấu.


Lịch sử của giả thuyết Weil - J. A. Dieudonné

28-04-2021 - 12:13

Câu chuyện về "các giả thuyết Weil" là một ví dụ tuyệt vời của toán học, và là một trong các ví dụ kinh điển thể hiện sự thống nhất của toán học. Ý tưởng cốt lõi cho chứng minh của nó đến từ sáu người: E. Artin, F. K. Schmidt, H. Hasse, A. Weil, A. Grothendieck và P. Deligne, trong khoảng năm mươi năm $(1923-1973)$.

 

I. Số nghiệm của phương trình đồng dư

 

Như mọi vấn đề trong lý thuyết số, câu chuyện bắt đầu từ Gauss. Trong công trình về luật thuận nghịch bình phương của mình, Gauss đưa ra công thức tổng Gauss $\sum_{s=0}^p \mathrm{exp}\left({\frac{2\pi i x^2}{p}}\right)$ với $p$ nguyên tố; để tính các tổng này, bằng một số lập luận sơ cấp, ông suy ra cần tính số nghiệm của các phương trình đồng dư

$$(1) \ \ \ ax^3 - by^3 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p), \ ax^4 - by^4 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p), \ y^2 \equiv ax^4 - 1 \ (\mathrm{mod} \ p),$$

trong đó $a,b$ là các số nguyên cố định không chia hết cho $p$, nghiệm $(x,y)$ được xét theo đồng như modulo $p$, như vậy thực chất ta đi đếm số nghiệm trong $\mathbb{F}_p$ - trường $p$ phần tử; chúng ta đi tìm một biểu diễn asymptotic (dưới dạng một hàm đơn giản của $p$) với $p$ chạy trên một tập vô hạn các số nguyên tố. Một thời gian ngắn sau, Jacobi nhận xét rằng, ngược lại, bằng các tính chất cơ bản của tổng Gauss, ta có thể thu được một đánh giá tốt về số nghiệm trong các trường hợp tổng quát hơn, ở đó các phương pháp sơ cấp khó khả thi. Jacobi sau này gần như không có nhiều tiến triển trong vấn đề này cho tới khi Hardy và Littlewood, trong khi nghiên cứu bài toán Warning, với mong muốn tìm ra các tính chất của "chuỗi kì dị", thấy rằng cần phải đưa ra một đánh giá tiệm cận cho số nghiệm cho phương trình đồng dư

$$(2) \ \ \ x_1^k + ... + x_r^k \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p),$$

trong đó $p$ là một số nguyên tố chạy tới $+\infty$. Hai ông đã sử dụng phương pháp của Jacobi; tổng quát hơn, năm $1949$, cả Hua-Vandier và A. Weil đã độc lập chứng minh rằng phương pháp này có thể đánh giá số nghiệm $N$ của phương trình

$$(3) \ \ \ a_0x_0^{k_0} + ... + a_r x_r^{k_r} = 0 \ (a_0,...,a_r \neq 0)$$

trong mọi trường $\mathbb{F}_{q}$ với $q = p^m$; kết quả được đưa ra

$$(4) \ \ \ N = q^r + O(q^{(r+1)/2})$$.

Kết quả tương tự được đưa ra bởi Danvenport $(1931)$ và Mordell $(1933)$ cho các phương trình dạng $y^m = P_n(x)$ trong $\mathbb{F}_p$ với một số $m,n$ nhỏ; trong đó $P_n$ là một đa thức bậc $n$. Kết quả thu được là $N  = p + O(p^{\phi(m,n)})$ trong đó $1/2 < \phi(m,n) < 1$.

 

 

Nguồn: E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures.

Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm $4$ đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội.


$\text{supp}s$ trong lược đồ $\text{Spec}...

30-07-2019 - 19:35

Với một không gian định vành (ringed space) $(X,\mathscr{O}_X)$ và môt lát cắt toàn cục (global section) $s \in \mathscr{O}_X$ ta luôn xét được giá (support) của nó được định nghĩa là
$$\text{supp}s = \left \{\mathfrak{p} \in X: [s,X] \neq 0 \in \mathscr{O}_{X,\mathfrak{p}} = \underrightarrow{\lim}_{\mathfrak{p} \in U}\mathscr{O}_X(U) \right \}$$
có thể chứng minh giá là một tập đóng. Ở đây ta xét:
$$(X,\mathscr{O}_X) = (\text{Spec} \ k[x,y]/(y^2,xy), \mathscr{O}_{\text{Spec } \ (k[x,y]/(y^2,xy)}))$$
trong đó $k$ là trường, không nhất thiết đóng đại số. Mình có hai câu hỏi, mình chứng minh được một nhưng vẫn hơi phân vân; ai có thể viết rõ toàn bộ ra thì tốt
$i)$ $(x,y)$ là điểm duy nhất trong $X$ mà stalk tại đó là không rút gọn (có nilradical không tầm thường).
$ii)$ Với mọi $s$ là lát cắt toàn cục thì $\text{supp}s$ chỉ là ba trường hợp, tập rỗng, $(x,y)$ hoặc toàn bộ không gian.