 # bangbang1412

Đăng ký: 18-02-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư     ### Motivic integration: an introduction

13-04-2022 - 18:10

In this topic, I introduce the notion of the so-called motivic integration, which is an upgrade version of the old version, namely, the p-adic integration. The word motivic literally means the values of this integration is essentially geometric. It was introduced by M. Kontsevich in his lecture in Orsay in 1995 to solve a theorem of Bartyrev stating that two birational Calabi-Yau varieties have the same Betti numbers.

Let $S$ be a scheme. By a $S$-algebraic variety, we mean a $S$-scheme of finite presentation. We denote by $\mathrm{Var}_S$ the isomorphism classes of finite presentation $S$-schemes. When $S = \mathrm{Spec}(k)$ with $k$ a field, we simply write $\mathrm{Var}_k$ instead of $\mathrm{Var}_{\mathrm{Spec}(k)}$.

Jet scheme and arc space

Let $X$ be a $k$-variety.

Proposition 1. For $m \in \mathbb{N}$, there exists an algebraic $k$-variety $J_m(X)$ such that:
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}_k(Z \times \mathrm{Spec}(k[t]/(t^{m+1})), X) \simeq \mathrm{Hom}_k(Z,J_m(X))
\end{equation*} for any $k$-scheme $Z$.

Proof. It is sufficient to deal with the case $X, Z$ are affine, i.e., $X = \mathrm{Spec}(R)$ and $Z = \mathrm{Spec}(A)$ for some $k$-algebra $R$ and some finitely generated $k$-algebra $R = k[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_r)$.
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}_k(\mathrm{Spec}(A) \times_k \mathrm{Spec}(k[t]/(t^{m+1})), \mathrm{Spec}(R))  \simeq \mathrm{Hom}_k(\mathrm{Spec}(A \otimes k[t]/(t^{m+1})), \mathrm{Spec}(R))
\end{equation*} which is nothing but $\left \{\varphi: k[x_1,...,x_n] \longrightarrow A[t]/(t^{m+1}) \mid \varphi(f_i) = 0 \ \forall \ i = \overline{1,r} \right \}$. For such a $\varphi$, set:
\begin{equation*}
\varphi(x_i) = a_i^0 + a_i^1 t + \cdots + a_i^m t^m \ \forall \ i =\overline{1,n}
\end{equation*} and,
\begin{equation*}
\varphi(f_i) = F^0_i(a^u_v) + F^1_i(a^u_v)t + \cdots + F^m_i(a^u_v) t^m
\end{equation*} where $u = \overline{0,m}, v = \overline{1,n}$ and $F^t_i$'s are polynomials in $a^{u}_v$. Consequently, we see that $\varphi(f_i)=0$ if and only if all $F^t_i(a^u_v) = 0$; and hence
\begin{align*}
\left \{\varphi: k[x_1,...,x_n] \longrightarrow A[t]/(t^{m+1}) \mid \varphi(f_i) = 0 \ \forall \ i = \overline{1,r} \right \} &  = \mathrm{Hom}(k[x_j,x^0_j,...,x^m_j]_{j=\overline{1,n}}/(F_i^l(x^u_j)), A) \\
& = \mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}(A),\mathrm{Spec}(R_m))
\end{align*}
where $R_m = k[x_j,x^0_j,...,x^m_j]_{j=\overline{1,n}}/(F_i^l(x^u_j))$; and finally we can define $J_m(X) = \mathrm{Spec}(R_m)$.

Definition 2. For $m \geq n$, the natural surjections:
\begin{equation*}
\end{equation*} induced transition morphisms $\pi_{m,n}: J_m(X) \longrightarrow J_n(X)$, make $(J_m(X), \pi_{m,n})$ a projective system. Define $J_{\infty}(X) = \underset{m \longrightarrow \infty}{\lim} J_m(X)$ and denote by $\pi_m$ the $m^{th}$-canonical projection $\pi_m:J_m(X) \longrightarrow J(X)$.

Remark. It is not trivial that the limit $\underset{m \longrightarrow \infty}{\lim} J_m(X)$ exists in the category of schemes. We must prove that the transition morphisms $\pi_{m,n}$'s are affine.

Proposition 3. For any $k$-scheme $Z$, we have:
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}_k(Z \hat{\times_k}  \mathrm{Spec}(k[[t]]), X) \simeq \mathrm{Hom}_k(Z,J_{\infty}(X))
\end{equation*} where $Z \hat{\times} \mathrm{Spec}(k[[t]])$ means the formal completion of $Z \hat{\times} \mathrm{Spec}(k[[t]])$ along the subscheme $Z \times_k \left \{0 \right \}$.

Definition 4. For $m \in \mathbb{N}$, the scheme $J_m(X)$ is called the $m^th$ jet scheme of $X$ and $J_{\infty}(X)$ is called the arc space of $X$. For any $k$-scheme $Z$, elements in $\mathrm{Hom}_k(Z,J_m(X))$ are called $Z$-valued $m$-jets of $X$ and elements in $\mathrm{Hom}_k(Z,J_{\infty}(X))$ are called $Z$-valued arcs of $X$. If $Z = \mathrm{Spec}(k)$, we just say $m$-jets or arcs.

Example 5. Let $X = V(x^3 + y^2) \subset \mathbb{A}^2_k$. View $x,y$ as formal power series in $t$ and consider the equation:
\begin{equation*}
(a_0+a_1t+\cdots)^3 + (b_0+b_1t+\cdots)^2 = 0.
\end{equation*} By truncating the above equation at degree $m+1$, it gives us the defining equations of $J_m(X)$. For instance, $J_0(X)$ is given by $a_0^3+b_0^2=0$; $J_1(X)$ is given by $a_0^3+b_0^2=0$ and $3a_0^2 a_1 + 2b_0 b_1=0$.

Proposition 6. Let $X \longrightarrow Y$ be an étale morphism of $k$-varieties, then $J_m(X) \cong J_m(Y) \times_Y X$ for any $m \in \mathbb{N} \cup \left \{\infty \right \}$.

Proof. We prove that equality on the level of functors of points. We have:
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}(-.J_m(X)) \simeq \mathrm{Hom}(- \times_k \mathrm{Spec}(k[[t]]/(t^{m+1})), X)
\end{equation*} and
\begin{equation*}
\mathrm{Hom}(-,J_m(Y) \times_Y X) \simeq\mathrm{Hom}(-,J_m(Y)) \times\mathrm{Hom}(-,X) \simeq \mathrm{Hom}(- \times_k \mathrm{Spec}(k[[t]]/(t^{m+1})), Y) \times \mathrm{Hom}(-,X)
\end{equation*} For a $k$-scheme $Z$ we consider the diagram:

We have to show that  for a $Z$-valued $m$-jet of $Y$ and $Z$-valued $0$-jet of $X$ induce a $Z$-valued $m$-jet of $X$ (the other direction is obvious). Since $X \longrightarrow Y$ is étale, it is formally étale so such a dashed arrow exists.

Corollary 7. Let $U \hookrightarrow X$ be an open immersion, then $J_m(U) \hookrightarrow J_m(X)$ is also an open immersion for any $m \in \mathbb{N} \cup \left \{\infty \right \}$.

By an analogous method, we deduce the following important result:

Proposition 8. Let $X$ be a smooth $k$-scheme of dimension $d$. Then $J_m(X)$ is locally a $\mathbb{A}^{md}$-bundle over $X$. In particular, $J_m(X)$ is smooth of dimension $(m+1)d$. In the same way, $J_{m+1}(X)$ is locally a $\mathbb{A}^d$-bundle over $J_m(X)$.

### Học và học lại ngành của bạn

04-03-2022 - 04:14

Gần đây mình làm thesis M2, khối lượng kiến thức chuẩn bị khá là nhiều, may là mình cũng mang trong túi một ít nhưng vẫn gặp không ít khó khăn như: chứng minh định lý này có cần thiết không, tại sao định nghĩa này lại có hình thức như vậy hoặc chỉ đơn giản là không thể nhìn thấy các khái niệm kết nối như thế nào. Thế nên mình mở topic này vừa là một bài dịch của mình trên blog của giáo sư Terry Tao và cũng là một topic thảo luận phương pháp học toán chủ yếu ở level research, topic sẽ không giới hạn các ngành học hay chủ đề, phương pháp và bất cứ ai có câu hỏi hay đóng góp về cách học có thể post vào đây.

Bài dịch dưới đây lấy nguồn từ, learn and relearn your field, mình sẽ chỉ tập hợp một số bình luận mình thấy có ích.

Học và học lại ngành của bạn

Terence Tao:

"Ngay cả những sinh viên khá tốt, khi họ tìm được lời giải của bài toán và trình bày lại nó một cách gọn gàng, họ gập sách lại và làm một điều gì khác. Làm như vậy, họ đã bỏ lỡ một giai đoạn quan trọng và có tính định hướng của công việc... Một người thầy giỏi nên hiểu và gây ấn tượng để sinh viên của ông ấy hiểu rằng không có bài toán nào có thể bị vét cạn hoàn toàn. Một trong những nhiệm vụ đầu tiên và quan trọng nhất của người thầy là không được làm cho sinh viên có ấn tượng rằng các vấn đề toán học không có mấy kết nối với nhau, và hoàn toàn không có kết nối gì với những thứ khác. Chúng ta có một cơ hội tự nhiên để khảo sát lại bài toán khi ta xem lại lời giải của nó."

George Polýa, Làm thế nào để giải nó.

Học là không bao giờ có điểm dừng, kể cả trong chuyên ngành mà bạn đã chọn; ví dụ thì tôi vẫn học những điều gây bất ngờ về giải tích điều hòa cơ bản, hơn mười năm sau khi tôi viết xong luận án của mình về chủ đề này.

Chỉ vì bạn biết phát biểu và chứng minh của một Bổ Đề Cơ Bản X không có nghĩa rằng bạn nên bỏ qua nó; thay vào đó, bạn nên đào sâu hơn tới chừng nào bạn thật sự hiểu về bổ đề đó:
• Bạn có thể tìm các chứng minh khác không?
• Nếu bạn biết hai chứng minh, bạn có biết hai chứng minh này tương đương tới mức nào không? Chúng có mở rộng theo các hướng khác nhau không? Có những điểm chung gì ở hai chứng minh? Điểm mạnh và yếu của từng chứng minh là gì?
• Bạn có hiểu tại sao từng chi tiết trong giả thiết lại cần thiết không?
• Những mở rộng nào đã được biết/ phỏng đoán/ heuristic?
• Có phiên bản nào yếu và đơn giản hơn nhưng vừa đủ cho ứng dụng không?
• Có những ví dụ cụ thể nào về bổ đề này để thực hành?
• Khi nào thì dùng bổ đề này, khi nào không?
• Kiểu bài toán nào bổ đề này có thể giải và kiểu bài toán nào mà nó không đóng góp gì?
• Có phiên bản tương tự nào của bổ đề này trong các lĩnh vực khác của toán học hay không?
• Bổ đề này có nằm trong một mô hình hay một chương trình nào lớn hơn không?
Sẽ rất hữu ích nếu bạn thuyết trình về lĩnh vực của mình hoặc viết ghi chú, tài liệu lưu trữ, ngay cả khi nó chỉ được dùng bởi mỗi bạn. Sau cùng bạn sẽ nội bộ hóa được những kết quả rất khó chỉ bằng những tốc ký tinh thần hiệu quả; điều này không chỉ cho phép bạn sử dụng những kết quả này một cách dễ dàng hay cải thiện khả năng của bạn trong ngành học mà nó còn giải phóng khoảng không tinh thần để học những thứ khác.

Một cách hiệu quả khác để học nhiều hơn về một ngành là nhặt lấy một bài báo cốt lõi, nền tảng của ngành này, sau đó tìm theo các trích dẫn trong bài báo (i.e. tìm các bài báo trích dẫn bài báo cốt lõi). Ngày nay có rất nhiều công cụ để tìm trích dẫn nghiên cứu; ví dụ, MathsciNet có chức năng này, và thậm chỉ chỉ một tìm kiếm thông thường cũng có thể tìm được một số thứ mà trước đó ta không ngờ tới.

Anonymous:

Thưa giáo sư Tao,

Đầu tiên, tôi xin cảm ơn vì những lời khuyên và những hướng dẫn hữu ích của giáo sư. Theo đó, tôi muốn hỏi giáo sư về một vấn đề nghiêm trọng mà tôi đang đối mặt và hy vọng giáo sư có thể giúp tôi: tôi là một sinh viên PhD và ngành của tôi là hình học đại số số học (arithmetic algebraic geometry). Như giáo sư biết, ngành này rất rộng. Nên nếu tôi muốn học nó và cày cuốc qua tất cả các chi tiết trong các chứng minh thì tôi đoán, tôi sẽ không bao giờ (i.e. trong một khoảng thời gian giới hạn) có thời gian để làm việc với bài toán mình đang nghiên cứu và sẽ không có bất cứ một kết quả nào đạt được. Nhưng, không học và đọc luôn cho tôi cảm giác tôi bỏ lỡ và tôi sẽ mất tự tin vì điều đó.

Tôi sẽ rất cảm kích nếu giáo sư có thể cho tôi vài lời khuyên. Xin cảm ơn trước.

Matthew Emerton:

Gửi Anonymous,

Tôi hy vọng bạn sẽ ok với việc có người khác trả lời câu hỏi của bạn thay vì giáo sư Tao.

Hầu hết những người làm việc trong ngành hình học đại số số học (không chỉ sinh viên) chịu đựng vấn đề mà bạn mô tả tới một mức độ nào đó. Ngành học là thực sự rộng, và để đọc hết mọi thứ với tư cách là một sinh viên, ngay cả chỉ những thứ mà bạn cần để giải bài toán của mình, là vô cùng bất khả thi.

Tôi sẽ gợi ý vài điều sau: một nền tảng tốt trong hình học đại số là bắt buộc. Hầu hết sinh viên trong ngành hình học đại số, tất cả mọi cấp độ, phải trải qua cái nghi thức thông hành tên là "Hartshorne": tức là đọc cuốn sách của Hartshorne, chủ yếu là chương 2 và 3, và giải rất nhiều bài tập trong đó. Nếu trốn tránh làm điều này thì ít nhiều là không thể, và trong nhiều trường hợp là không khôn ngoan. Và một khi bạn đã giải nhiều/hầu hết bài tập trong Hartshorne, bạn sẽ có thêm chút tự tin trong hình học đại số, lý thuyết lược đồ (scheme theory) và đối đồng điều (cohomology).

Cùng lúc đó, có những cuốn sách khác cũng nên được ngó qua vì chúng nhấn mạnh vào một số khía cạnh cụ thể hơn là Hartshorne, những khía cạnh đặc biệt quan trọng trong hình học đại số số học - ví dụ như red book của Mumford. Bạn nên đọc song song Hartshorne cùng một số cuốn như vậy.

Một cuốn sách chuẩn mực khác để đọc là Cornell-Silverman (ngày nay, phụ thuộc vào hướng đi yêu thích của bạn, có thể là Cornell-Silverman-Stevens - nhưng cái này mang tính số học hơn trong khi Cornell-Silverman có tính hình học). Đây không phải là một cuốn sách dài, và nó chứa rất nhiều thông tin. Hơn nữa, nó được viết ra để giải trình chứng minh của Faltings và giả thuyết Mordell & Tate, bạn sẽ thấy cách cỗ máy hình học hoạt động để giải một bài toán cụ thể. Như đã nói hơn một lần, điều này là quan trọng. (và tôi nên bổ sung rằng không cần thiết để đọc hết cả cuốn - ví dụ, bên dưới tôi sẽ nói rằng nên bỏ qua chương về mô hình Neron, trừ khi bạn thực sự không muốn vậy)

Một điều mà tôi sẽ khuyên là *không* nên làm với hầu hết sinh viên, là đọc quá nhiều EGA và SGA. Nó sẽ ngốn rất nhiều thời gian, và nó thực sự nguy hiểm nếu mọi sự không đi đến đâu. Cụ thể, để an toàn, khi bắt đầu sự nghiệp, bạn nên học về đối đồng điều etale nhưng chỉ như một hộp đen. (về sau, nếu bạn cần những chi tiết cụ thể rằng nó được xây dựng như thế nào, bạn có thể quay lại và học chúng.)

Điều đáng giá *là*, hiểu rõ về đối đồng điều bó (sheaf cohomology) trong ngôn ngữ cổ điển. (Phần bắt đầu cuốn sách của Borel về đồng điều giao (intersection homology), mà sao cùng là về các bó perverse, và vân vân, nhưng nó bắt đầu với bó constructible và sáu toán tử của Grothendieck là một chỗ để làm điều này.) Điều nhấn mạnh là *hầu hết* ứng dụng của đối đồng điều etale chỉ sử dụng hình thức luận lý thuyết bó (sheaf theoritic formalism) như người ta làm trong ngôn ngữ cổ điển (i.e. các đa tạp trên trường phức, với topo phức của chúng), và các định lý mang tính kĩ thuật chính ở đây (đổi cơ sở riêng (proper base-change), tính acyclic trơn (smooth acyclicity), chu trình triệt tiêu và nearby (vanishing and nearby cycles)) chính xác được định hướng để chứng minh đối đồng điều etale, bó etale constructible, và sáu toán tử của Grothendieck trong ngôn ngữ etale hoạt động giống hệt như trong ngôn ngữ cổ điển. Do đó nếu một người hiểu ngôn ngữ cổ điển tốt, anh ta sẽ đủ tự tin rằng trực giác của mình có thể áp dụng trong ngôn ngữ etale.

Một điều rất đáng học là bài báo đầu tiên của Deligne về các giả thuyết Weil. Bạn sẽ thấy cách ông ấy dùng đối đồng điều etale để chứng minh một định lý khủng khiếp, và bạn sẽ thấy hầu như những gì ông ấy dùng là những tính chất có một phiên bản giống hệt (và không quá khó để chứng minh) trong ngôn ngữ cổ điển. Do đó có một trực giác tốt về lý thuyết bó cổ điển sẽ giúp bạn hiểu được rất nhiều chứng minh.

Ở khía cạnh tiếp theo, tôi muốn quay lại điểm tôi đã nói ở trên: một cách để học một lĩnh vực là, thay vì học các chi tiết kí thuật và nền tảng, thì ta học xem cách chúng được dùng để giải các vấn đề như thế nào. Ví dụ, lý thuyết Hodge p-adic là một công cụ khác đóng vai trò rất quan trọng trong hình học đại số số học, và nó đòi hỏi một nền tảng kĩ thuật đáng gờm. Nhưng, cũng giống như đối đồng điều etale, nó có một hình thức luận đẹp đẽ để người ta có thể sử dụng mà không cần quá lo ngại về các chứng minh và toàn bộ nền tảng lý thuyết.

Các mô hình Neron của các đa tạp abel cũng tương tự: người ta hầu như không bao giờ dùng gì liên quan đến xây dựng của chúng (người ta chỉ cần biết chúng tồn tại) khi sử dụng chúng. Nên hoàn toàn an toàn khi ta xem các xây dựng của chúng như một cái hộp đen. (và nếu bạn thật sự cần các xây dựng này, có một bài báo về nó trong Cornell-Silverman.) Điều quan trọng là hiểu rằng sự tồn tại của chúng được dùng như một công cụ trong các lập luận khác. Vì nền tảng toán học của riêng tôi, chỗ tự nhiên nhất để tôi chỉ ra là nhánh học về đường cong modular, và dạng modular bởi Mazur, Ribet, và Wiles. Nói riêng, một vài tiết đầu tiên trong Inventiones 100 article của Ribet đưa ra một ví dụ rất tốt về cách mà cả trăm trang lý thuyết (rất nhiều về mô hình Neron, a một chút SGA 7) được tóm tắt trong 10 trang "kiến thức để làm việc".

Nếu bạn hỏi những người khác, họ có thể đưa ra những tham khảo khác tương tự cho những chủ đề mà bạn cần, tóm gọn "tất cả những thứ bạn cần" chỉ trong một số ít trang giấy, hơn là cả trăm trang giấy của các nguồn gốc.

Cuối cùng, bạn làm gì để xây dựng sự tự tin của mình sau khi bạn đã bỏ hững cả trăm trang giấy như vậy?

Về điều này, nên nhớ rằng dù trong trường hợp nào thì các nhà nghiên cứu toán học không bao giờ có mục đích tối hậu và đọc và học toán (dù cho phải làm vậy), nhưng là làm toán. Nên theo một nghĩa nào đó sự tự tin của bạn như một nhà toán học (ít nhất trên lý thuyết) là một cái gì đó hơi trực giao với những chứng minh cơ bản mà bạn đã tích lũy được.

Điều bạn cần, (như tôi đã nói bên trên) đó là hiểu cách một số kĩ thuật quan trọng được sử dụng để giải các vấn đề thú vị.

Một cách để làm điều này là bắt đầu càng sớm càng tốt nhảy vào lãnh địa nghiên cứu.

Người hướng dẫn của bạn có thể gợi ý các bài báo, và (phụ thuộc vào điều bạn thích) bạn có thể chọn một số "kinh điển" cho riêng bạn: bài báo đầu tiên của Deligne về các giải thuyết Weil, bài báo Inventiones 100 của Ribet, bài báo của Faltings trong Cornell-Silverman, bài báo của Serre ở Duke 54 về các giả thuyết của ông cho dạng modular, biểu diễn Galois, hoặc bất kì cái nào khác. Cố gắng tìm bài báo hấp dẫn với bạn, dĩ nhiên đảm bảo nó được viết tốt, và bạn cảm giác có thể thu được chút hiểu biết nào từ đó (ít nhất là phát biểu của định lý chính) - nhưng đừng hy vọng hiểu hầu hết các kĩ thuật cốt lõi của bài báo ngay từ ban đầu. Mục tiêu của bạn là lấy được chút cảm giác rằng làm thế nào có thể điều phối mọi nguồn lực của lý thuyết trừu tượng để giải các vấn đề cụ thể, bằng cách xem người ta làm nó. Nó sẽ cần nhiều thời gian và kiên nhẫn, và nghiên cứu cẩn thận để làm vậy - nhưng nói cho cùng thì điều đó đáng để làm.

Một điều đáng chú ý khác là trích dẫn - nó có thể dẫn bạn tới các nguồn khác chứa các kiến thức nền tảng cần thiết. Đeo bám kiến thức nền cần thiết bằng cách đi từ trên xuống thì thường hiệu quả hơn xây mọi thứ từ dưới lên. (điển hình thì nếu các nhà toán học cần học một cái gì đó mới - họ bắt đầu với một bài báo mà họ thích, và sau đó đi ngược về nền tảng một cách vừa đủ để lấp đầy những chi tiết mà họ không hiểu chỉ bằng việc đọc bài báo gốc.)

Một cách quan trọng khác để tự tin hơn (hiệu quả hơn học lý thuyết mới nhiều!) là tự tay bạn giải bài toán. Bạn có thể bắt đầu với đống bài tập trong Hartshorne, cũng như bất cứ bài tập nào mà bạn thấy xung quanh. Nhưng một số lúc bạn sẽ cần những vấn đề chuyên môn hơn để làm. Bạn có thể hỏi người hướng dẫn của mình một bài toán để tự giải. (một số người hứng dẫn làm điều này: thay vì bắt đầu với một bài toán mang tính nghiên cứu để viết luận án, họ giúp sinh viên của mình giải những bài toán nhỏ, dễ kiểm soát hơn.)

Nhưng nói cho cùng, một khi bạn bước vào nghiên cứu, bạn sẽ không bao giờ hết nguồn cung bài toán: lấy bất kì bài báo nào và xem nó, tìm một bổ đề kĩ thuật mà bạn có thể hiểu giả thiết, và xem xem bạn có tự chứng minh được bổ đề này không. Cố gắng không "ăn gian" bằng cách đọc chứng minh có sẵn (nhưng bạn cũng có thể liếc xem bên dưới có gì, chỉ để đảm bảo chứng minh của cái bổ đề không tới tận 5 trang). Nhưng, nếu bạn không thể chứng minh nó sau những nỗ lực nghiêm túc thì bạn vẫn ở một vị trí tốt hơn ban đầu, bạn có thể thực sự cảm nhận lập luận của tác giả - và bạn sẽ ghi nhớ bất cứ thủ thuật hay kĩ thuật nào mà họ dùng!

Luyện tập kiểu này một cách mà các nhà toán học phát triển kĩ năng nhìn lướt qua một bài báo trong ngành của họ và vẫn nắm được toàn bộ các chi tiết trong bài báo đó. (Một kĩ năng mà tôi thấy vô cùng ấn tượng khi tôi còn là sinh viên!)

Và tất nhiên bạn có thể cố tạo ra và giải những vấn đề của riêng mình (thêm một kĩ năng quan trọng để phát triển.) Do tôi đã viết quá dài, tôi sẽ không nói thêm nữa ở đây.

Tôi hy vọng điều này sẽ có ích.

Trân trọng,

Matthew.

________________________________

Khi nào rảnh sẽ dịch thêm nếu không anh em nào rảnh vào dịch giúp, có rất nhiều topic ntn trên MSE, MO.

Người dịch: Phạm Khoa Bằng, Université de Rennes 1.

### Dẫn nhập vào lý thuyết giao

20-01-2022 - 03:39

Trong bài viết này, cho $K$ là một trường. Một đa tạp $X$ là một $K$-lược đồ nguyên tách được, kiểu hữu hạn (finite type), một đa tạp con $Z$ của $X$ là một nhúng đóng sao cho nó cũng là một đa tạp. Từ giả thiết $Z$ là bất khả quy do đó nó có một điểm generic ký hiệu bởi $\eta_Z$, ta ký hiệu $\mathcal{O}_{Z,X}$ để hiểu $\mathcal{O}_{\eta_Z,X}$. Ký hiệu $K(X)$ là trường hàm của $X$.

[Har] để chỉ R. Hartshorne, Algebraic Geometry.

[Ful] để chỉ W. Fulton, Intersection Theory, 1984.

Bài viết này chủ yếu theo chương $1,2$ của [Ful] trong đó mình collect các ý chính và chú giải ở một số chỗ. Mục đích để mang một dẫn nhập ngắn và nguồn tham khảo cho diễn đàn. Trong bài thứ hai của topic này mình sẽ giới thiệu về các correspondences (có khá nhiều loại correspondence), nó xuất hiện trong mọi xây dựng các phạm trù motive và bài viết cuối sẽ giải thích tại sao ta lại quan tâm đến các correspondence.

Chu trình đại số

Định nghĩa Ta định nghĩa bậc triệt tiêu dọc theo $Z$ của một hàm hữu tỷ $r \in K(X)$ là $\mathrm{ord}_{Z}(r)=\mathrm{length}_{\mathcal{O}_{Z,X}}(\mathcal{O}_{Z,X}/(a)) - \mathrm{length}_{\mathcal{O}_{Z,X}}(\mathcal{O}_{Z,W}/(b))$ nếu $r = a/b$ trong đó $a,b \in \mathcal{O}_{Z,X}$.

Ví dụ. Khi $Z$ có đối chiều một trong $X$ thì $\mathcal{O}_{Z,X}$ là một DVR ta do đó ta có thể định nghĩa $\mathrm{ord}_Z(r) = v_{\eta_Z}(a)-v_{\eta_Z}(b)$ trong đó $v_{\eta_Z}$ là định giá của $\mathcal{O}_{Z,X}$.

Định nghĩa Cho $X$ là một đa tạp, một $k$-chu trình trên $X$ là một tổng hình thức có giá hữu hạn $\sum n_i Z_i$ trong đó $n_i \mathbb{Z}$ và $Z_i$ là các đa tạp con $k$ chiều. Ký hiệu $Z_k(X)$ cho nhóm các $k$-chu trình. Ký hiệu $Z_*(X)= \bigoplus_{i=0}^{\mathrm{dim}(X)}Z_i(X)$.

Với $W$ là một đa tạp con của $X$ chiều $(k+1)$, lấy $r \in K(W)^*$ ta định nghĩa được một $k$-chu trình $\mathrm{div}(r)$ bởi

$$\mathrm{div}(r) = \sum \mathrm{ord}_{Z,W}(r)Z,$$

trong đó tổng chạy trên tất cả các đa tạp con đối chiều $1$ của $W$. Xem [Har], II, lemma 6.1 để thấy tổng trên hữu hạn.

Định nghĩa. Hai $k$-chu trình được gọi là tương đương hữu tỷ nếu hiệu của chúng là một chu trình dạng $\mathrm{div}(r)$. Nhóm Chow thứ $k$, ký hiệu $\mathrm{CH}_k(X)$ được định nghĩa bởi $$\mathrm{CH}_k(X) = Z_k(X)/\left \{\text{Tương đương hưu tỷ} \right \}.$$

Bổ đề. Nếu $X$ là hợp rời của các lược đồ $X_1,...,X_n$ thì $Z_k(X) = \bigoplus_{i=1}^n Z_k(X_i)$ và tổng trực tiếp này descend xuống $\mathrm{CH}_k(X) = \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{CH}_k(X_i)$.

Bổ đề. Nếu $X_1,X_2$ là các lược đồ con đóng của $X$ thì ta có một dãy khớp

$$\mathrm{CH}_k(X_1 \cap X_2) \to \mathrm{CH}_k(X_1) \oplus \mathrm{CH}_k(X_2) \to \mathrm{CH}_k(X_1 \cup X_2) \to 0.$$

Bây giờ cho $X$ là một lược đồ bất kỳ (không nhất thiết of finite type), khi đó với mọi thành phần bất khả quy $X_i$ của $X$ thì $\mathcal{O}_{X_i,X}$ là vành Artin địa phương. Ta định nghĩa chu trình cơ bản của $X$ là (lạm dụng ký hiệu) $X = \sum_{$X_i \subset X \ \text{bkq}$} \mathrm{length}_{O_{X_i,X}}(\mathcal{O}_{X_i,X})X_i$.

Đây xuôi của chu trình

Cho $f: X \to Y$ là một cấu xạ riêng. Khi đó vì $f$ liên tục nên nếu $Z$ là một đa tạp con của $X$ thì $f(Z)=W$ là một đa tạp con của $Y$; nó đóng do $f là riêng. Nói riêng$K(Z)/K(W)$là một mở rộng trường. Định nghĩa. Ta định nghĩa đẩy xuôi$f_*(Z) = \mathrm{deg}(Z/W)Z$trong đó$\mathrm{deg}(Z/W) = [K(Z):K(W)]$nếu$\mathrm{dim}(Z) = \mathrm{dim}(W)$và$0$trong trường hợp khác. Lưu ý 1. Định nghĩa bậc này tốt vì khi$\mathrm{dim}(Z)  = \mathrm{dim}(W)$thì$K(Z)/K(W)$là một mở rộng hữu hạn. Thật vậy ta quy bài toán về trường hợp affine, giả sử$A \hookrightarrow B$là một nhúng (nhúng do hạn chế$f: Z \to W$là áp đảo) của hai$K$-đại số hữu hạn sinh đồng thời là hai miền nguyên. Khi đó$\mathrm{Frac}(A) \hookrightarrow \mathrm{Frac}(B)$. Điều kiện$\mathrm{dim}(A) = \mathrm{dim}(B)$nói rằng$\mathrm{tr.deg}_K(\mathrm{Frac}(A)) = \mathrm{tr.deg}_K(\mathrm{Frac}(B))$hay mở rộng$\mathrm{Frac}(B)/\mathrm{Frac}(A)$là mở rộng đại số, tuy nhiên$B=A[a_1,...,a_n]/A$hữu hạn sinh nên$\mathrm{Frac}(B)/\mathrm{Frac}(A)$hữu hạn sinh. Thật vậy viết mọi phần tử của$\mathrm{Frac}(B)$dạng$b/b'$, khi đó$b=f(a_1,...,a_n)$,$b'=g(a_1,...,a_n)$và$b'h(b')=1$với$f,g \in A[x_1,...,x_n],h \in \mathrm{Frac}(A)[x]$nên$b/b'=P(a_1,...,a_n)$. Theo Hilbert's Nullstellensatz thì nó là mở rộng hữu hạn. Lưu ý 2. Theo công thức tháp trường, ta thấy đẩy xuôi trên chu trình có tính hàm tử. Mệnh đề. Cho$f: X \to Y$là một cấu xạ riêng, khi đó nếu$\alpha$là một$k$-chu trình tương đương hữu tỷ với$0$trên$X$thì$f_*\alpha$tương đương hữu tỷ với$0$trên$Y$. Nói riêng,$f_*: \mathrm{CH}_*(X) \to \mathrm{CH}_*(Y)$là một hàm tử. Lưu ý 3. Điều kiện riêng không thể bỏ đi được. Kéo ngược phẳng Định nghĩa. Cho$f : X \to Y$là một cấu xạ phẳng, ta nói$f$có chiều tương đối$n$nếu với mọi$X' \subset X, Y' \subset Y$là các thành phần phất khả quy sao cho$f(X') \subset Y'$thì ta có$\mathrm{dim}(X) = \mathrm{dim}(Y) + n$. Lưu ý. Theo [Har], III, corollary 9.6 thì điều kiện trên tương đương với việc mọi thành phần bất khả quy của$X_y  = X \times_{Y} \mathrm{Spec}(k(y))$có chiều$n$với$y \in Y$. Lớp cấu xạ này hiển nhiên bao gồm các cấu xạ smooth. ### Phạm trù motive hình học effective, đối đồng điều motivic và K-lý thuyết đại số 15-01-2022 - 03:28 Lý thuyết motives xuất hiện để đưa ra lời giải cho việc hợp nhất hai loại lý thuyết đối đồng điều: đối đồng điều thuộc kiểu bất biến hình học-đại số và đối đồng điều thuộc kiểu bất biến siêu việt. Lớp thứ nhất có thể kể tới nhóm Chow và Quillen K-lý thuyết trong khi đó nhóm thứ hai có thể kể tới đối đồng điều Betti và đối đồng điều$l$-adic. Đối đồng điều thuộc loại thứ nhất thường abel và không thể tính toán, Deligne và Beillinson là những người đầu tiên tin rằng nếu đi theo các đối đồng kiểu bất biến hình học-đại số thì sẽ dễ hơn loại thứ hai. Có ba lý thuyết motives tương đương xây dựng bởi Hanamura, Levine và Voevodsky nhưng xây dựng của Voevodsky được cho là đẹp nhất. Những xây dựng đầu tiên của Grothendieck của các Chow motives được cải thiện và trình bày trong một cuốn sách của Levine, ở đây họ xây dựng các phạm trù effective Chow motives theo kiểu đồng điều$M^{eff}(\mathrm{Spec}(k))$và theo kiểu đồng điều$M_{eff}(\mathrm{Spec}(k))$chủ yếu dựa vào chu trình đại số và tương đương hữu tỷ nhưng tương đương hữu tỷ làm mất nhiều thông tin và xây dựng này gặp nhiều trục trặc kĩ thuật. Trong bài viết này mình sẽ trình bày xây dựng của Voevodsky vốn được xem là một cải thiện xây dựng cho$M^{eff}$và phiên bản cải thiện của chính Voevodsky dựa trên lý thuyết$\mathbb{A}^1$-đồng luân, điều đáng kể của phiên bản đơn giản hóa của xây dựng của Voevodsky là nó làm việc được trên mọi lược đồ nền. Mình sẽ trình bày phiên bản đơn giản của phiên bản đầu của Voevodsky trước. Sau đó mình sẽ định nghĩa đối đồng điều motivic dựa trên đồng điều Suslin và trình bày một số tính chất của nó. Ý tưởng của lý thuyết$\mathbb{A}^1$-đồng luân là thay thế đoạn đơn vị$[0,1]$trong topo bởi đường thẳng affine$\mathbb{A}^1 = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t])$. Trong lý thuyết đối đồng điều kì dị và một số loại đối đồng điều cho đa tạp đại số ta biết có tính chất$H^{*}(X) \cong H^*(X \times \mathbb{A}^1)$, đây gọi tính$\mathbb{A}^1$--đồng luân và nó luôn đóng vai trò chủ chốt trong mọi xây dựn, một lý thuyết đối đồng điều thường được biểu diễn bởi hàm tử hom trong một phạm trù tam giác hợp lý (hãy nghĩ điều này trong phiên bản topo với định lý biểu diễn Brown). Lấy ví dụ nếu$T$là một không gian topo, khi đó đối đồng điều bó với hệ số trong một nhóm abel$A$có thể biểu diễn theo hai cách $$H^n(T,A) = \mathrm{Ext}^n_{\mathbf{Sh}(T,\mathbf{Ab}) }(\mathbb{Z}_T,A_T) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{D}(\mathbf{Sh}(T,\mathbf{Ab}))}(\mathbb{Z}_T,A_T[n]),$$ trong đó$G_T$là bó hằng với giá trị tại một nhóm abel$G$và$\mathbf{D}$là phạm trù dẫn suất.$\mathbb{A}^1$-địa phương hóa. Cho$R$là một vành giao hoán có đơn vị, với mỗi tập$E$ta kí hiệu$R \otimes E$bởi$R$-module tự do với một cơ sở là$E$. Cho$S$là một lược đồ bất kì, ta kí hiệu$Sm/S$bởi phạm trù các lược đồ trơn trên$S$và trang bị cho$Sm/S$topo étale. Kí hiệu$\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)$bởi phạm trù các bó étale trên small étale site$Sm/S$với giá trị trong$\mathrm{Mod}_R$-phạm trù các$R$-module. Với mỗi$X \in \mathrm{obj}(Sm/S)ta có một hàm tử \begin{align*} R_{ét}: Sm/S & \to \mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \\ X & \mapsto \left \{ U \mapsto R \otimes \mathrm{Hom}_S(U,X) \right \} \end{align*} Phạm trù\mathbf{Sh}(Sm/S;R)$được trang bị một cấu trúc tensor: nếu$\mathcal{F},\mathcal{G}$là hai bó etale thì$\mathcal{F} \otimes_R \mathcal{G}$là bó hóa của tiền bó$U \mapsto \mathcal{F}(U) \otimes_R \mathcal{G}(U)$. Giờ để làm đối đồng điều ta xét phạm trù dẫn xuất$\mathbf{D}(\mathbf{Sh}(Sm/S;R))$và sau đó để "áp đặt" tính$\mathbb{A}^1$-đồng luân ta ký hiệu$\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$bởi phạm trù tam giác con nhỏ nhất đóng bởi tổng trực tiếp và chứa tất cả các phức dạng $$[... \to R_{ét}(\mathbb{A}^1 \times U) \to R_{ét}(U) \to 0 \to ...],$$ trong đó$U$là một$S$-lược đồ trơn. Lưu ý với mỗi$U$ta có vô hạn phức như trên tùy vào cách đặt bậc, lý do là ta "nên" có$H^*(X) \cong H^*(X \times [0,1])$tại mọi bậc. Định nghĩa. Ta định nghĩa các$S$-motive effective$\mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)$là phạm trù$\mathbf{D}(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))/\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$, ở đây ta lấy thương Verdie, về mặt các vật thì nó có cùng các vật với$\mathbf{D}(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))$nhưng khi chuyển vào phạm trù thương thì mọi vật của$\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$đẳng cấu với$0$. Với mỗi$S$-lược đồ trơn$X$, ký hiệu$M^{eff}(X)$bởi ảnh của$X$qua hợp thành $$Sm/S \overset{R_{ét}}{\rightarrow} \mathbf{Sh}(Sm/S;R) \to \mathbf{D}( \mathbf{Sh}(Sm/S;R ) ) \to \mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R),$$ và ta gọi$M^{eff}(X)$là motive đối đồng điều effective của$X$. Lấy động lực từ đối đồng điều$l$-adic (đoạn này mình cũng không rõ vì từ trước tới giờ chỉ mới đụng tới đối đồng điều étale) ta sẽ địa phương hóa phạm trù$\mathbf{DA}^{eff,ét}$theo motive Lefschetz$L = R_{ét}(\mathbb{P}^1_S,\infty_S)$. Ta định nghĩa ổn định hóa naive (naive stabilization)$\mathbf{DA}^{naive,ét}$bởi $$\mathbf{DA}^{naive,ét}(S;R) = \mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)[L^{-1}],$$ trong đó một vật là một cặp$(M,m)$với$M \in \mathrm{obj}(\mathbf{DA}^{eff,ét})$và$m \in \mathbb{Z}$. Cấu xạ được cho bởi $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{naive,ét}(S;R)}((M,m),(N,n)) = \underset{\underset{r \geq -\mathrm{min}(m,n)}{\longrightarrow}}{\lim} \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)}(M \otimes L^{r+m}, N \otimes L^{r+n}).$$ (ta sẽ gặp lại xây dựng này trong phiên bản đầu tiên của Voevodsky). Phạm trù$\mathbf{DA}^{naive,ét}$được tin là đủ tốt để trở thành định nghĩa của phạm trù$S$-motive, tuy nhiên nó gặp nhiều vấn đề kĩ thuật; ví dụ đơn giản nhất là nó không phải phạm trù tam giác.$L$-phổ và đối đồng điều étale motivic. Ta vẫn giữ nguyên ký hiệu$L = R_{ét}(\mathbb{P}^1_S;\infty_S)$, một$L$-phổ của các bó é tale trên$Sm/S$là một dãy các bó étale$\mathcal{E}=(\mathcal{E}_n)$($n \in \mathbb{N})$và một dãy các đẳng cấu mà ta gọi là các assembly map,$\gamma_n: L \otimes \mathcal{E}_n \to \mathcal{E}_{n+1}$. Ta định nghĩa cấu xạ giữa hai$L$-phổ theo cách hiển nhiên tương thích với các assembly map và ký hiệu$\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))$bởi phạm trù các$L-phổ. Hàm tử \begin{align*} \mathrm{Ev}_p: \mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)) & \to \mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \\ ((\mathcal{E}_n),(\gamma_n)) & \mapsto \mathcal{E}_n \end{align*} gửi mỗi phổ((\mathcal{E}_n),(\gamma_n))$tới bậc thứ$p$của nó có một hàm tử liên hợp được ký hiệu bởi $$\mathrm{Sus}^p_L: \mathrm{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \to \mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)).$$ Ta ký hiệu$\mathrm{Sus}^0_L$bởi$\Sigma^{\infty}_L$. Như thường lệ, ta xét$\mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))$là phạm trù dẫn xuất của phạm trù các$L$-phổ, ký hiệu$\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1-st}$bởi phạm trù tam giác con nhỏ nhất của$\mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))$mà đóng với phép lấy tổng trực tiếp tùy ý đồng thời chứa tất cả các phức dạng $$[... \to 0 \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(\mathbb{A}^1 \times U) \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(U) \to 0 \to ... ],$$ $$[... \to 0 \to \mathrm{Sus}^{p+1}_L R_{ét}(L \otimes U) \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(U) \to 0 \to ...].$$ Định nghĩa. Ta định nghĩa phạm trù các bó motivic trên$S$(hoặc đơn giản, các$S$-motive), ký hiệu$\mathbf{DA}^{ét}(S;R)$, bởi công thức $$\mathbf{DA}^{ét}(S;R) = \mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))/\mathbf{T}_{\mathbb{A}^1-st}.$$ Với mỗi$S$-lược đồ trơn$S$, thì$\Sigma_L^{\infty}R_{ét}(X)$xem như một vật của$\mathbf{DA}^{ét}(S;R)$được gọi là motive đồng điều của$X$và sẽ được ký hiệu bởi$M(X)$. Định nghĩa. (đối đồng điều étale motivic) Ta định nghia các Tate motive$R_S(p)$bởi công thức$R_S(p) = \mathrm{Sus}^0_L(L^{\otimes p})[-2p]$và định nghĩa $$H^p_{\mathcal{L}}(S;R(p)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{ét}(S;R)}(R(0), R(q)[p]),$$ với mọi$p,q \in \mathbb{Z}$. Các nhóm này được gọi là đối đồng điều étale motivic của lược đồ$S$. Định nghĩa. (nhóm Chow étale) Cho$k$là một trường,$X$là một đa tạp trơn trên$k$. Ta định nghĩa nhóm Chow étale của$X$bởi $$\mathrm{CH}^{2n}_{ét}(X) = H^{2n}_{\mathcal{L}}(X;\mathbb{Z}(n)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{ét}(k;\mathbb{Z})}(M(X),\mathbb{Z}(n)).$$ Rosenschon và Srinivas xây dựng một cấu xạ chu trình khi$k = \mathbb{C}$,$\mathrm{CH}_{ét}^{2n}(X) \to H^{2n}(X(\mathbb{C});\mathbb{Z})$và chứng minh rằng nếu giả thuyết Hodge đúng cho nhóm Chow hữu tỷ$\mathrm{Ch}^*(X) \otimes \mathbb{Q}$thì nó đúng cho nhóm Chow étale với hệ số trên$\mathbb{Z}$. ### Vấn đề Hilbert thứ 21 17-12-2021 - 06:40 Vấn đề Hilbert thứ 21 dự đoán sự tồn tại của một hệ phương trình vi phân với nhóm monodromy cho trước. Bài viết này giới thiệu sơ lược về vấn đề Hilbert thứ 21 và các khái niệm liên quan. Setting của chúng ta trong bài toán này là lấy một đường cong$X$xạ ảnh, không suy biến, liên thông trên$\mathbb{C}$. Gọi$U$là một tập mở trong$X$sao cho phần bù của$U$là một số hữu hạn các điểm đóng. Ký hiệu$U^{an}$là đa tạp phức ứng với$U$trong nguyên lý GAGA. Trước tiên chúng ta xem xét một định nghĩa hợp lý của phương trình vi phân. Ví dụ$X = \mathbb{P}^1$và$U \subset \mathbb{P}^1 - \left \{\infty \right \}$, khi đó một hệ phương trình vi phân được mô tả bởi $$\frac{d}{dz}\mathbf{f} = P(z) \cdot \mathbf{f},$$ trong đó$P$là một ma trận các hàm hệ số. Hệ này bao gồm lớp các phương trình vi phân tuyến tính cấp$n$$$f^{(n)}= p_{n-1}f^{(n-1)}+\cdots + p_1f' + p_0f,$$ bằng cách lấy$P$là ma trận $$P(z)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & ... & 0 &0 \\ 0 & . & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & & 0 & 1\\ p_0 & p_1 & \cdots & p_{n-2} & p_{n-1} \end{pmatrix}$$ Trong trường hợp đường cong có giống cao hơn, do không có một hệ tọa độ toàn cục nên ta sẽ định nghĩa một hệ phương trình vi phân trên$U$là một cặp$(M,\nabla)$trong đó$M$là một bó nhất quán tự do địa phương$M$và một liên thông$\nabla: M \to M \otimes \Omega^{1}_{U/\mathbb{C}}$thỏa mãn luật Leibniz giống như trường hợp trên đa tạp. Khi đó một phương trình vi phân sẽ được định nghĩa là hạt nhân của liên thông$\nabla$. Để giải thích cho định nghĩa này ta xét một ví dụ giải tích Ví dụ. Ký hiệu$\pi: \mathbb{C}^2 \times \mathbb{C} \to \mathbb{C}$là phân thớ tầm thường hạng$2$trên$\mathbb{C}$. Khi đó mọi liên thông trên$\pi$có dạng $$\nabla = d+ \begin{pmatrix} -f_{11}(z)& -f_{12}(z)\\ -f_{21}(z)& -f_{22}(z) \end{pmatrix}dz$$ trong đó$d$là đạo hàm ngoài và$f_{ij}$là các hàm chỉnh hình. Một lát cắt$a \in \Gamma(s)$có thể xem như một cặp$(a_1(z),a_2(z))$gồm hai hàm chỉnh hình. Khi đó $$\nabla(a) = \nabla \begin{pmatrix} a_1(z)\\ a_2(z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1'(z) -f_{11}(z)a_1(z) - f_{12}(z)a_2(z)\\ a'_2(z) - f_{21}(z)a_1(z) - f_{22}(z)a_2(z) \end{pmatrix}dz.$$ Do đó ta thấy hạt nhân của$\nabla$cho ta một hệ phương trình cấp$2$. Cố định một điểm$z_0 \in U$, khi đó mầm$S$của các nghiệm chỉnh hình địa phương gần$z_0$là một không gian vector có chiều là$\mathrm{rank}(M)$theo định lý giải được địa phương của hệ phương trình vi phân bậc nhất. Cho$\gamma$là một đường cong đóng tại$z_0$trong$U^{an}$, khi đó thác triển giải tích dọc theo$\gamma$cho định nghĩa cho ta một tự đẳng cấu của$S$. Như vậy ta có một tác động$\pi_1(U^{an},z_0)$lên$S$, ta gọi đây là biểu diễn monodromy của phương trình vi phân$(M,\nabla)$. Ví dụ. Xét phương trình vi phân $$z\frac{df}{dz} = \alpha f, \ \alpha \in \mathbb{C}$$ trên mặt phẳng thủng$\mathbb{C} - \left \{0 \right \}$. Cố định một điểm và chọn một branch cut xuất phát từ điểm này, khi đó nghiệm toàn cục có dạng$z^{\alpha}=\mathrm{exp}(\alpha\log(z))$. Nếu ta xét thác triển giải tích của lớp đồng luân của đường cong$\gamma$quay ngược chiều kim đồng hồ một góc$2\pi$thì nghiệm sẽ trở thành$e^{2\pi \mathbf{i} \alpha}z^{\alpha}$. Ta thấy$\pi_1(\mathbb{C} - \left \{0 \right \}) \cong \mathbb{Z}$với phần tử sinh$[\gamma]$, khi đó biểu diễn monodromy tương ứng là$\gamma \mapsto e^{2\pi \mathbf{i}\alpha} \in \mathbb{C}^{\times} = \mathrm{GL}(1,\mathbb{C})$. Để có thể phát biểu hoàn toàn bài toán Hilbert, ta cần khái niệm điểm kỳ dị chính quy, nó giống như một điều kiện đầu của bài toán Cauchy để phương trình có nghiệm duy nhất. Ban đầu, khái niệm kỳ dị chính quy đến từ ODE, sau đó Fuchs định nghĩa nó bằng một số đánh giá giải tích nhưng cuối cùng ông chứng minh rằng khái niệm này là thuần túy đại số, ta sẽ dùng cách định nghĩa này ở đây. Xét một phương trình vi phân thường biến$z \in \mathbb{C}$$$f^{(n)} =p_{n-1}f^{(n-1)}+\cdots + p_1f' + p_0f,$$ trong đó$p_i$là các hàm phân hình, Ta nói$a \in \mathbb{C}$là một điểm kỳ dị chính quy nếu$p_{n-i}$có một cực bậc không quá$i$tại$a$. Trong trường hợp đó phương trình của chúng ta có thể chuyển về dạng $$D^{(n)}f = b_{n-1}D^{(n-1)}f + ... + b_0 f,$$ trong đó$D = (z-a)\frac{d}{dz}$là uniformizer tại$a$. Phương trình ban đầu có kỳ dị chính quy tại$a$khi và chỉ khi$b_i$đều là hàm chỉnh hình. Ví dụ. Nếu$p,q$là hai hàm chỉnh hình, khi đó phương trình$f^{"}(z) =\frac{p(z)}{z}f'(z)+\frac{q(z)}{z^2}f(z)$tương đương với$D^2f = (p+1)Df + qf$và do đó nó có điểm kỳ dị chính quy tại$z=0$. Lưu ý. Một khi biết phương trình có điểm kỳ dị chính quy tại$a$, phương pháp Frobenius có thể được sử dụng để giải ra$n$nghiệm địa phương dưới dạng chuỗi. Bài toán Hilbert thứ 21. Cho$X$là một đường cong không suy biến trên$\mathbb{C}$,$U$là một tập mở với topo Zariski sao cho phần bù của$U$là một số hữu hạn các điểm đóng. Hỏi rằng có phải mọi biểu diễn hữu hạn chiều của$\pi_1(U^{an})$đều là một biểu diễn monodromy của một hệ phương trình vi phân có kỳ dị chính quy mọi nơi không? Nếu ta bỏ điều kiện điểm kỳ dị chính quy, biểu diễn của ta có thể không đến từ một hệ phương trình duy nhất. Ví dụ. Với$U = \mathbb{A}^1, U^{an} = \mathbb{C}$và$\pi_1(U^{an}) = 0 \to \mathbb{C}^{\times}$là biểu diễn tầm thường. Khi đó với mọi$P \in \mathbb{C}[z]$thì phương trình $$\frac{df}{dz} = P(z)f$$ có nghiệm $$f(z) = \mathrm{exp}\left(\int_0^z f(t)dt \right)$$ là một nghiệm toàn cục, và do đó không có monodromy. Nhưng xem như các phương trình vi phân trên đa tạp đại số$\mathbb{A}^1$, các phương trình này đôi một không đẳng cấu. Hơn nữa nếu ta dùng uniformizer$D=(z-a)\frac{d}{dz}$thì phương trình trở thành$Df = (z-a)P(z)f$, nếu ta yêu cầu nó có kỳ dị chính quy tại$a$thì$(z-a)P(z)$phải có cực bậc dương tại$a$, điều này chỉ xảy ra nếu$P \equiv 0\$.

Để kiểm tra một hệ có kỳ dị chính quy không, Katz đã chứng minh nó tương đương với việc tìm các cyclic vector, tức là các vector "biểu hiện" như một nghiệm địa phương của phương trình vi phân. Bài toán tìm cyclic đã được giải quyết gần như trọn vẹn.