bangbang1412

Đã rất lâu kể từ khi Grothendieck giới thiệu lý thuyết lược đồ (scheme theory) trong bộ "Éléments de géométrie algébrique" thì tới nay lược đồ đã trở thành một ngôn ngữ cơ bản của hình học đại số và có ứng dụng sâu rộng trong những ngành liên quan như lý thuyết số.

 

The very notion of a scheme has a childlike simplicity - so simple, so humble in fact that no one before me had the audacity to take it seriously.

 

Nó đã một lần và mãi mãi thay đổi hình học đại số thành một ngôn ngữ quá sức trừu tượng với bất cứ ai, nhất là những ai không có khả năng về đại số (David Mumford từng viết một bài "Có thể giải thích lý thuyết lược đồ cho một nhà sinh học không?") vì một lý do đơn giản, nó dựa rất nặng trên ngôn ngữ đại số giao hoán. Ngày nay không ai có thể học hình học đại số mà không học ngày càng nhiều đại số giao hoán. Vào thời kỳ mà lý thuyết lược đồ mới bắt đầu, nó đã làm "sấp ngửa" các nhà toán học. David Mumford từng viết

 

Then Grothendieck came along and turned a confused world of researchers upside down, overwhelming them with the new terminology of schemes as well as with a huge production of new and very exciting results. These notes attempted to show something that was still very controversial at that time: that schemes really were the most natural language for algebraic geometry and that you did not need to sacrifice geometric intuition when you spoke "scheme".

 

Thậm chí ngay cả P. Cartier, một người mà Grothendieck đặc biệt ngưỡng bộ về tốc độ học những thứ mới cũng phải kêu lên rằng hình học đại số có ba cuộc lột xác và ông phải học kiến thức mới qua cả ba lần đó: đầu tiên bắt từ trường phái Ý, sau đó đến Serre và cuối cùng nó hoàn toàn thay đổi sau Grothendieck.

 

Ngày nay, có vô vàn sách về hình học đại số được viết dưới các ngôn ngữ rất trừu tượng và thông thường sinh viên đại học phải có một lượng kiến thức chuẩn bị cực kỳ lớn để thực sự hiểu được cái đẹp của hình học đại số, rằng nó thực sự là hình học chứ không phải chỉ là một loạt các định nghĩa vô cùng trừu tượng từ trên trời rơi xuống. Nhưng đó là cản trở đầu tiên của bất cứ sinh viên nào muốn tiếp cận hình học đại số: người ta phải sẵn sàng lao thân vào một vũng bùn trước khi sang được bờ bên kia.

 

Bài viết này của mình là một dẫn nhập không chính thức (informal) cho các bạn sinh viên nào muốn tiếp cận hình học đại số mà vẫn loay hoay với lý thuyết lược đồ. Do đó không thực sự có định nghĩa, không thực sự có chứng minh, chỉ là các bàn luận và chỉ ra rằng rất nhiều thứ trong hình học đại số có động lực từ hình học và tô-pô. Nó cũng không phải một bài viết mang tính lịch sử, tức là thảo luận tiến trình phát triển hình học đại số và lý thuyết số mà mình sẽ viết, theo cách nào đó để người mới tiếp cận cảm thấy lý thuyết này tự nhiên nhất và xây dựng cho bản thân một trực giác để có thể học dễ dàng hơn; do đó không tránh khỏi việc có những thứ mang tính "đoán". Khi hỏi bất cứ ai làm hình học đại số câu hỏi "hình học đại số là gì?" nhiều khả năng bạn sẽ nhận được câu trả lời "là một ngành nghiên cứu nghiệm của các phương trình" nhưng nếu bạn mở các sách hình học đại số ra thì nhận được toàn là "vành địa phương chính quy", "bó tựa nhất quán", "đối đồng điều",... Vậy chúng ta hãy quay lại câu hỏi về việc giải phương trình, một trong các nguồn gốc đầu tiên cho hình học đại số hiện đại đến từ lý thuyết số: bài toán giải các phương trình nghiệm nguyên.

 

Phương trình nghiệm nguyên tới số nguyên p-adic

 

Giả sử ta có một phương trình

$$F(x_1,...,x_n) = 0$$

trong đó $F \in \mathbf{Z}[x_1,...,x_n]$ là một đa thức với hệ số nguyên và ta được yêu cầu tìm các nghiệm nguyên (tương đương, hữu tỷ) của nó. Câu hỏi này thông thường là quá khó để giải và nó chính là bài toán thứ $10$ của Hilbert. Câu trả lời khá dễ đoán: không tồn tại một cách giải tổng quát một phương trình cho trước. Do đó chúng ta có thể thử làm yếu bài toán, giải một phương trình như trên trong modulo $m$ nào đó, tức là

$$F(x_1,...,x_n) = 0 \ \mathrm{mod} \ m$$ liệu có nghiệm modulo $m$ không. Bằng định lý thặng dư Trung Hoa, ta quy về giải các phương trình

$$F(x_1,...,x_n) = 0 \ \mathrm{mod} \ p^v$$ trong đó $p$ là một số nguyên tố. Đây là chỗ các số $p$-adic nhảy vào cuộc chơi (các bạn có thể xem lại bài này của anh @nmlinh16).

 

 Screenshot 2023-03-12 at 01-17-09 Viu-Sos - p-adic and motivic integration.pdf.png   116.96K   1 Số lần tải

 

Trong bài viết đó anh nmlinh16 đã thử giải phương trình $x^2+1$ modulo $5$ và nói rằng cách giải này là địa phương. Trước tiên nhắc lại một số nguyên $p$-adic là một tổng hình thức (tức là chưa nói đến việc nó hội tụ theo nghĩa nào)

$$a_0 + a_1p + \cdots + a_n p^n + \cdots$$ với $0 \leq a_i <p$ là các số nguyên. Ký hiệu tập số nguyên $p$-adic bởi $\mathbf{Z}_p$. Tương tự, các số hữu tỷ $p$-adic có dạng hình thức

$$a_{-m}p^{-m} + \cdots + a_{-1}p^{-1} + a_0 + a_1p + a_2p^2 +\cdots$$ với $0\leq a_i < p$ là các số nguyên; viết khác đi $a_i \in \mathbf{Z}/p$. Tập này được ký hiệu bởi $\mathbf{Q}_p$. Cả hai tập này đều là các vành. Điều này gợi nhớ các bạn đã học giải tích phức về khái niệm chuỗi và chuỗi Laurent

$$a_{-m}(x-a)^{-m} + ...+ a_{-1}(x-a)^{-1} + a_0 + a_1(x-a) + \cdots + a_n(x-a)^n + \cdots$$

Ta có thể nói gọn rằng một số nguyên $p$-adic là một xấp xỉ bởi các đa thức tổng riêng

$$S_n=a_0 + a_1p + \cdots a_n p^n$$

Nhưng như thế chưa thực sự đủ, ta hãy nhớ rằng mỗi $S_n$ xác định một lớp dư $\overline{S_n}$ trong $\mathbf{Z}/p^n$. Do đó một số nguyên $p$-adic xác định một dãy

$$(S_0,S_1,...,S_n,...) \in \prod_{i=0}^{\infty}(\mathbf{Z}/p^n).$$

Tuy nhiên hãy nhớ ta đang nói về tính xấp xỉ, mỗi một $S_n$ còn "thừa" ra một hệ số $a_n$ so với $S_{n-1}$. Tuy nhiên rất may ta có thể lưu hệ số này bằng phương trình $S_n = S_{n-1} \ \mathrm{mod} \ p^{n-1}$. Bằng cách này, ta viết rằng

$$\mathbf{Z}_p = \lim \mathbf{Z}/p^n = \left \{(x_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \prod_{n=0}^{\infty}(\mathbf{Z}/p^n) \mid x_{n+1}=x_n \ \mathrm{mod} \ \mathbf{Z}/p^n \right \}.$$

Ta sẽ gặp lại biểu diễn này ở bài dưới. Trước tiên ta có mệnh đề sau.

 

Mệnh đề. Phương trình $F(x_1,...,x_n)=0 \ \mathrm{mod} \ p^v$ có nghiệm với $v\geq 1$ bất kỳ khi và chỉ khi $F(x_1,...,x_n)=0$ có nghiệm trong $\mathbf{Z}_p$.

 

Người ta bảo đây là tìm nghiệm "địa phương", nhưng thế nào là địa phương (local). Địa phương là một khái niệm rất có tính hình học và tô-pô. Để nói về địa phương thì bạn phải có điểm, và lân cận. Và quan trọng hơn tất cả các thứ đó, bạn phải có một không gian. Cái không gian mà chúng ta nói đến đây, chính là các lược đồ.

 

Hãy quay lại với các phương trình vi phân. Việc giải một phương trình vi phân $Df=0$ trên một đa tạp $M$ (với những bạn chưa biết về đa tạp, có thể giả sử đang giải trên toàn trục $\mathbf{R}$) có thể được thực hiện một cách ngây thơ như sau:

• (Bước 1) Cố gắng thu nhỏ khoảng xác định, tìm nghiệm quanh các lân cận đủ nhỏ. Các nghiệm này gọi là nghiệm địa phương.
• (Bước 2) Cố gắng dán các nghiệm địa phương thành một nghiệm toàn cục.

Như vậy khi nói việc giải nghiệm $p$-adic là giải địa phương, một cách hình thức, ta đã tiền giả định các điều sau:

• Tồn tại một không gian tô-pô $X$ mà số nguyên tố $p$ là một "điểm" của $X$.
• Quá trình giải nghiệm $p$-adic thực chất đang làm việc trên một lân cận của $p$ trong $X$.

Các không gian $X$ này được ký hiệu bởi $\mathrm{Spec}(\mathbf{Z})$, là một ví dụ của lược đồ affine. Tổng quát hơn, ta muốn hỏi rằng với mỗi vành giao hoán có đơn vị $R$, làm thế nào để xây dựng một lược đồ $\mathrm{Spec}(R)$?

 

Nghiệm nguyên - một góc nhìn khác

 

Trong phần này, mình giả sử các bạn đã biết về định nghĩa vành và đồng cấu vành. Toàn bộ các vành được giả sử là giao hoán và có đơn vị. Cho $R$ là một vành, khi đó một $R$-đại số là một đồng cấu vành $R \longrightarrow A$. Điều này có nghĩa:

• Bản thân $A$ là một vành: có phép cộng và nhân.
• Có thể nhân vô hướng $R$ với $A$: mỗi cặp $(r,a) \in R \times A$ xác định một phần tử $ra \in A$.

Một đồng cấu $\phi: A \longrightarrow B$ của hai $R$-đại số là một đồng cấu vành sao cho $\phi(ra)=r\phi(a)$ (điều này giống với định nghĩa của không gian vector). Ta gọi $A$ là có kiểu hữu hạn trên $R$ tồn tại một tập hữu hạn các phần tử $a_1,...,a_n \in A$ sao cho mọi phần tử trong $A$ có dạng

$$\sum r_{i_1,...,i_k} a_1^{i_1}\cdots a_n^{i_n}$$ với $i_1,...,i_n$ là các số nguyên không âm và $r_{i_1,...,i_k}$ là phần tử trong $R$. Nói cách khác, mọi phần tử của $A$ là "một đa thức". Điều này khác với việc nếu bạn xét một không gian vector hữu hạn sinh $V$ (do đó hữu hạn chiều) trên một trường $k$ (bạn có thể lấy $k = \mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$), khi đó mọi vector $v$ có dạng

$$v = k_1v_1 + \cdots k_n v_n,$$ trong đó $k_i$ là các vô hướng và $v_i$ là các vector lập thành một hệ sinh. Khác biệt này đến từ việc không gian vector chỉ có phép nhân vô hướng, nó không có phép nhân trong (cái cấu thành các phần tử dạng $a_1^{i_1}$). Hệ $\left \{a_1,...,a_n \right \}$ đóng vai trò một hệ sinh cho đại số như cái cách mà một hệ sinh của không gian vector làm. Nói tương đương, tồn tại một toàn cấu của các $R$ -đại số

$$R[x_1,...,x_n] \longrightarrow A$$

và nói cách khác nữa $A$ có dạng $R[x_1,...,x_n]/I$ với $I$ là một ideal của $R[x_1,...,x_n]$. Không giảm tổng quát, ta giả sử $I$ là hữu hạn sinh, tức là $I$ sinh ra bởi hữu hạn đa thức $f_1,...,f_r$ và do đó

$$A = R[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_r).$$ Trong đại số tuyến tính, ta biết rằng một đồng cấu tuyến tính xác định duy nhất bởi ảnh trên các phần tử của một cơ sở. Tương tự ở đây ta có một đồng cấu các $R$-đại số xác định duy nhất bởi tập ảnh của các phần tử sinh và tuân theo quan hệ mà các phần tử sinh tuân theo.

 

Bổ đề. Các đồng cấu giữa hai $R$-đại số $R[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_r) \longrightarrow B$ song ánh với tập $$\left \{(b_1,...,b_n) \in B^n \mid f_i(b_1,...,b_n) \right \}.$$ Hay nói cách khác, nó tương đương với tập nghiệm của hệ phương trình $\left \{f_1=...=f_r =0 \right \}.$

 

Thế thì ví dụ việc bạn muốn giải một phương trình nghiệm nguyên kiểu $y^2 = x^3 + x + 1$ thì tương đương với việc bạn muốn tìm các đồng cấu của các $\mathbf{Z}$-đại số

$$\mathbf{Z}[x,y]/(y^2-x^3-x-1) \longrightarrow \mathbf{Z}.$$ Lưu ý rằng hợp thành của một đồng cấu như vậy với đồng cấu hiển nhiên $\mathbf{Z} \longrightarrow \mathbf{Z}[x,y]/(y^2-x^3-x-1)$ là đồng nhất. Điều này cộng với phần trước gợi ý cho ta một hình dung đầu tiên về một lược đồ affine:

• Một lược đồ affine của một vành $R$ là một không gian tô-pô $\mathrm{Spec}(R)$ và ta không mất gì khi nghiên cứu $\mathrm{Spec}(R)$ thay vì $R$. Tức là tồn tại một xây dựng ngược $\mathrm{Spec}(R) \mapsto R$ và quan trọng hơn xây dựng này có tính hàm tử như dưới đây.
• Mỗi đồng cấu vành $R \longrightarrow R'$ cho ta một ánh xạ liên tục $\mathrm{Spec}(R') \longrightarrow \mathrm{Spec}(R)$ (well, ở bước này bạn có thể hỏi rằng tại sao nó không đi theo chiều ngược lại).
• Nếu $R'$ là một $R$-đại số hữu hạn sinh dạng $R[x_1,...,x_n]/(f_1,...,f_r)$ thì việc nghiên cứu hệ phương trình $\left \{f_1=...=f_r \right \}$ tương được với việc tìm các "ánh xạ liên tục" $\mathrm{Spec}(R) \longrightarrow \mathrm{Spec}(R[x_1,...,x_r]/(f_1,...,f_r))$ sao cho hợp thành với $\mathrm{Spec}(R[x_1,...,x_r]/(f_1,...,f_r))$ là đồng nhất. Hay ta còn gọi một bộ nghiệm là một nhát cắt (section). Thuật ngữ này mang tính hình học. Một nhát cắt của một ánh xạ liên tục $f: X \longrightarrow Y$ là một cách "đi ngược lại" từ $Y$ vào $X$. Cụ thể hơn là tồn tại $s: Y \longrightarrow X$ liên tục mà $f \circ s = \mathrm{id}_Y$. Xem hình dưới

 1200px-Bundle_section.svg.png   22.33K   1 Số lần tải

 

Cái mà mình vừa trình bày đây, gọi là khái niệm hàm tử điểm (functor of points) của Grothendieck.

 

 

Lược đồ - một gợi ý từ định lý biểu diễn Gelfand

 

Cho $X$ là một không gian tô-pô (với các bạn sinh viên năm nhất có thể lấy $X$ là không gian metric). Khi đó không gian các hàm liên tục

$$C(X,\mathbf{R}) = \left \{f: X \longrightarrow \mathbf{R} \mid f \ \text{liên tục} \ \right \}$$

là một vành giao hoán có đơn vị là hàm hằng $1$. Tức là có phép cộng và phép nhân theo từng điểm

$$(f+g)(x) = f(x) + g(x) \ \ \ \ \text{và} \ \ \ \ (f.g)(x) = f(x)g(x)$$

và thậm chí nó còn có một phép nhân vô hướng (tuy nhiên ta không cần tới như vậy). Một bài toán cơ bản trong tô-pô là phân loại các không gian chính xác tới một đồng phôi. Một trong các cách làm thông thường mà ta hay làm là gán một không gian $X$ với một bất biến đại số $X$ được bảo toàn bởi phép đồng phôi. Phép gán $X \mapsto C(X,\mathbf{R})$ là phép gán có thể nói là ngây thơ nhất.

 

Bây giờ ta hãy lấy slogan sau làm định hướng cho các thảo luận tiếp
 

 

Slogan. Một không gian đủ tốt "nên" được nghiên cứu bằng cách "nghiên cứu" tất cả các hàm trên nó.

 

 

Vành $C(X,\mathbf{R})$ có tính chất gì đặc biệt và nó liên hệ thế nào với $X$? Ít nhất nó thỏa mãn các tính chất sau:

• Với mỗi tập mở $U \subset X$ ta có một vành $C(U,\mathbf{R})$. Với hai tập mở $V \subset U$ ta có một phép hạn chế $C(U,\mathbf{R}) \longrightarrow C(V,\mathbf{R})$ đi từ tập to hơn xuống tập nhỏ hơn. Do một hàm xác định trên tập to thì cũng xác định trên tập nhỏ.
• Với mọi $f \in C(X,\mathbf{R})$ thì tập $U_f=\left \{x \in X \mid f(x) \neq 0 \right \}$ là một tập mở trong $X$ và $f$ hạn chế xuống tập này là một phần tử khả nghịch của $C(U_f,\mathbf{R})$. Nói cách khác, ảnh của $f$ thông qua ánh xạ hạn chế $C(X,\mathbf{R}) \longrightarrow C(U_f,\mathbf{R})$ là một phần tử khả nghịch.
• Ngược lại thì tập $X \setminus U_f = \left \{x \in X \mid f(x) = 0 \right \}$ là tập đóng. Các tập đóng này sinh ra tô-pô trên $X$ nếu $X$ là compact và Hausdorff (bổ đề Uryson).
• Với mọi $x \in X$ thì tập $\mathfrak{m}_x=\left \{f \in C(X,\mathbf{R}) \mid f(x) = 0 \right \}$ là một ideal của $X$. Hơn nữa nó còn là ideal cực đại do $C(X,\mathbf{R})/\mathfrak{m}_x \simeq \mathbf{R}$ là một trường.
• Tập $\mathrm{Max}(C(X,\mathbf{R})) = \left \{\mathfrak{m}_x \mid x \in X \right \}$ được trang bị một tô-pô gọi là tô-pô Zariski. Ta định nghĩa nó thông qua các tập đóng $$V(I) = \left \{\mathfrak{m} \in \mathrm{Max}(C(X,\mathbf{R})) \mid I \subset \mathfrak{m} \right \}.$$ Tập này còn gọi là phổ cực đại (chứa các ideal cực đại) của $C(X,\mathbf{R})$. Tương tự, mọi vành $R$ cho ta một không gian tô-pô $\mathrm{Max}(R)$.

Định lý sau, được biết tới tên định lý biểu diễn Gelfand (xem chứng minh ở đây) là minh chứng cho slogan trên.

 

Định lý. Nếu $X$ là một không gian tô-pô compact và tách được thì phép gán $X \mapsto \mathrm{Max}(C(X,\mathbf{R})), x \longmapsto \mathfrak{m}_x$ là một đồng phôi.

 

Như vậy khi ta có một phép gán

$$\text{không gian tô-pô} \longmapsto \text{vành} \longmapsto \text{không gian tô-pô}$$ và ta chứng minh rằng với không gian đủ tốt thì ta không mất gì cả, vẫn luôn thu được không gian ban đầu. Như vậy, nó dẫn ta tới một câu hỏi ngược lại: cho một vành $R$ (kể từ nay luôn luôn giao hoán và có đơn vị), làm thế nào mà mỗi phần tử $r \in R$ có thể xem như một hàm trên một không gian tô-pô $\mathrm{Spec}(R)$ nào đó mà nó có tất cả các tính chất tương tự như những gì $C(X,\mathbf{R})$ có? Tuy nhiên bất kể nó là cái gì, ta không nên sử dụng xây dựng phổ cực đại $\mathrm{Max}(R)$ vì rất nhiều lý do:

• Có những vành rất thú vị mà lại có quá ít ideal cực đại (một vành chỉ có một ideal cực đại gọi là vành địa phương).
• Tô-pô Zariski quá xấu để nói về tính liên tục.
• Xây dựng $\mathrm{Max}(R)$ không có tính "hàm tử", một đồng cấu vành $\phi:R \longrightarrow R'$ không cho ta một ánh xạ $\mathrm{Max}(R') \longrightarrow \mathrm{Max}(R)$ bằng phép nghịch đảo $I \mapsto \phi^{-1}(I)$ vì nghịch đảo một ideal cực đại không nhất thiết là ideal cực đại.
• Xây dựng $\mathrm{Max}(R)$ không nhìn được "bội". Ví dụ nghiên cứu hai vành $\mathbf{C}[x]/(x)$ và $\mathbf{C}[x]/(x^2)$ như đã nói trong phần trước tương đương với việc ta giải hai phương trình $\left \{x=0 \right \}$ và $\left \{x^2=0 \right \}$. Về mặt tập nghiệm, chúng trùng nhau. Tuy nhiên về mặt bội thì không. Nghiệm đầu tiên $x=0$ là nghiệm đơn nằm trên một đường thẳng $y=x$. Nghiệm sau đó $x=0$ là nghiệm kép nằm trên một parabol $y=x^2$.

Tuy nhiên, dù thế nào ta cũng đã đến gần với lời giải. Giờ ta nhớ rằng để nói về hàm số, ta phải nói về cái là điểm. Một hàm sinh ra là để tính giá trị trên các điểm. Nếu không có điểm thì không có hàm. Nói cách khác, ta phải xem tập nền (nếu có) của $\mathrm{Spec}(R)$ là gì? Các phần tử của nó (các điểm) được tính giá trị như thế nào.

 

Slogan. Để có hàm thì phải có điểm. Một khi có điểm, hàm được xác định duy nhất bằng các giá trị.

 

 

Ở đây, "không biết bằng cách nào" mà André Martineau lại xúi Jean Pierre Serre rằng nên lấy các ideal nguyên tố làm tập nền cho $\mathrm{Spec}(R)$.

 

Định nghĩa. Với mỗi vành $R$, lược đồ affine $\mathrm{Spec}(R)$ có tập hợp nền là tập các ideal nguyên tố $\mathfrak{p}$ của $R$.

 

Như vậy với mỗi $f \in R$ có thể xem như một hàm trên $\mathrm{Spec}(R)$ và với mỗi ideal nguyên tố $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)$ thì ta có một giá trị $f(\mathfrak{p})$ (mà ta chưa biết tập giá trị là gì). Hơn nữa, việc gán

$$f \longmapsto \left \{f(\mathfrak{p}) \mid \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) \right \}$$

xác định duy nhất $f$. Vậy vấn đề bây giờ còn lại là xác định miền giá trị của $f(\mathfrak{p})$.

 

Ta hãy quay lại với các ví dụ cụ thể hơn:

• Khi $R = \mathbf{C}[x]$ là vành đa thức. Do $\mathbf{C}$ là đóng đại số nên các ideal nguyên tố khác $0$ của $\mathbf{C}[x]$ cũng cực đại và có dạng $(x-a)$ với $a \in \mathbf{C}$. Ta mong muốn có một phép gán mỗi đa thức $f$ thành $$f:\mathrm{Spec}(\mathbf{C}[x]) = \left \{(0) \right \} \cup \bigcup_{a \in \mathbf{C}} (x-a).$$ Tuy nhiên phải nói thế nào về việc tính $f((x-a))$? Hiển nhiên mỗi đa thức là một hàm (theo nghĩa giải tích) $f: \mathbf{C} \longrightarrow \mathbf{C}$ và do đó nên có $f((x-a))=f(a)$. Nhưng có cách nào khác nhìn $f(a)$ không? Rất may mắn ta có $f = f(a) \mathrm{mod} \ (x-a)$. Nói cách khác, mỗi hàm $f$ xác định các giá trị trong các vành thương $\mathbf{C}[x]/(x-a)$, chúng là các trường. Vấn đề còn lại là làm sao xác định $f((0))$? Vành thương $\mathbf{C}[x]/(0) = \mathbf{C}[x]$ không là một trường, làm thế nào để tạo ra một trường, xem như trường giá trị. Rất đơn giản và thần kỳ, ta lấy trường các hàm hữu tỷ $C(x)$ (phần tử là thương hai đa thức) và xem $f$ như một phần tử trong trường này.
• Khi $R = \mathbf{Z}$ là vành số nguyên. Các ideal nguyên tố của $R$ hoặc là các số nguyên tố $p$ hoặc là ideal tầm thường $0$. Tương tự như trên một số nguyên $n$ tính giá trị tại một ideal nguyên tố bằng cách tính modulo $p$, tức là $(n \ \mathrm{mod} \ p)$, giá trị này nằm trong trường $\mathbf{Z}/p$. Còn $n$ tính giá trị tại ideal $0$ là việc ta xem $n$ như một phần tử trong $\mathbf{Q}$ (thương của hai số nguyên).

Điều này cho ta một gợi ý về mặt tổng quát: ta nên lấy giá trị $f(\mathfrak{p})$ nằm trong trường các thương $\mathrm{Frac}(R/\mathfrak{p})$. Do đó công thức hoàn chỉnh của ta là

$$f : \mathrm{Spec}(R) \longrightarrow \bigsqcup f(\mathfrak{p}) \in \bigsqcup \mathrm{Frac}(R/\mathfrak{p}).$$

 

Tô-pô của $\mathrm{Spec}(R)$ trông như thế nào?

 

Nhắc lại rằng khi nói về $C(X,\mathbf{R})$, ta thấy các tập

$$\left \{x \in X \mid f(x) \neq 0 \right \}$$

là các tập mở trong $X$ chừng nào $f$ khác $0$ (nếu không tập này rỗng, vẫn mở, nhưng tầm thường). Tương tự như vậy ta muốn các tập

$$D(f) = \left \{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) \mid f(\mathfrak{p}) \neq 0 \right \}$$

là các tập mở trong $\mathrm{Spec}(R)$ với mỗi $f$ cố định. Hơn nữa, ta còn muốn nó là một cơ sở tạo nên tô-pô của $\mathrm{Spec}(R)$. Trước tiên ta nhắc lại rằng trong trường hợp $C(X,\mathbf{R})$ (tức là $R$) trong trường hợp đại số này) với mỗi tập mở $U$ của $X$ (các tập mở $D(f)$ của $\mathrm{Spec}(R)$) ta có một vành $C(U,\mathbf{R})$ và vành này lại lần nữa xác định duy nhất $U$ (nếu $U$ đủ tốt). Vậy ta có thể tự hỏi, nếu có thể thì cái gì sẽ đóng vai trò của $C(U,\mathbf{R})$ trong trường hợp này?

$$U \longmapsto C(U,\mathbf{R}) \Longrightarrow D(f) \longmapsto ???.$$

Tức là có vành $R_f$ nào mà $\mathrm{Spec}(R_f) = D(f)$ không?

 

Câu trả lời là có, đây là khái niệm địa phương hóa. Ý tưởng của nó như sau: nếu $f \in R$ là một hàm, thì trên tập $D(f)$ hàm $f$ phải khả nghịch. Nói cách khác, phải có một đồng cấu vành $R \longrightarrow R_f$ mà ảnh của $f$ khả nghịch (giống như trường hợp $C(X,\mathbf{R}) \longrightarrow C(U,\mathbf{R})$). Như ở đây ta còn chưa khai thác hết, tập $\left \{x \in X \mid f(x) \neq 0 \right \}$ thực sự là tập lớn nhất mà $f$ khả nghịch nên theo nghĩa nào đó đồng cấu $C(X,\mathbf{R}) \longrightarrow C(U,\mathbf{R})$ là đồng cấu nhỏ nhất làm $f$ khả nghịch. Như vậy ta phải tạo ra một vành $R_f$ càng nhỏ càng tốt mà $f$ khả nghịch.

 

Thế nào là nhỏ nhất? Nó có nghĩa là nếu $R \longrightarrow S$ là một đồng cấu vành mà $f$ khả nghịch thì nó tách qua $R \longrightarrow R_f$. Ở dạng biểu đồ giao hoán:

\begin{xy}
\xymatrix {
 R  \ar[r] \ar[dr]& R_f \ar[d] \\
& S
}
\end{xy}

 

Đây là định nghĩa có thể "làm sợ" các bạn lần đầu học đại số giao hoán. Nó gọi là khái niệm địa phương hóa. Tại sao lại là địa phương? (lưu ý rằng địa phương này của hàm, nó hơi khác với lời hứa ở đầu bài của mình, đó là địa phương hóa điểm) Vì ta đang hạn chế làm việc ở lân cận mà hàm $f$ khả nghịch (lưu ý ta đang giả sử $f$ khác $0$).

 

Xây dựng $R_f$: Ta xét tập hợp $\left \{(r,f^n) \mid r \in R, n \in \mathbf{Z} \right \}$ và ta định nghĩa một quan hệ tương đương $(r,f^n) = (r',f^m)$ nếu tồn tại $k \in \mathbf{Z}$ mà $f^{k-m}r = f^{k-n}r'$. Ai tinh ý sẽ nhận ra đang giả vờ rằng $(r,f^n)$ chính là một phân số $\frac{r}{f^n}$. Điều này giống như ta định nghĩa số hữu tỷ $\mathbf{Q}$. Ta nói $(a,b)=(c,d)$ (ngầm hiểu $a/b = c/d$) nếu $ad=cb$. Tuy nhiên ở đây ta phải nhân thêm $f^k$ vì nếu không nó không là quan hệ tương đương. Còn trên $\mathbf{Q}$ là miền nguyên thì ta có thể khử phần tử khác $0$ trong phép nhân nên mọi chuyện tầm thường. Vì lý do này mà ta còn viết $R_f$ dưới dạng vành đa thức $R[\frac{1}{f}]$.

 

Tới đây ta đã hoàn thành kha khá về bức tranh của $\mathrm{Spec}(R)$: tô-pô của nó có một cơ sở sinh bởi các tập $D(f)$ và các hàm trên $D(f)$ là $R_f$ (lưu ý rằng $R = R_1$ với $1 \in R$ là hàm hằng). Ta lại quay lại với $C(X,\mathbf{R})$. Như đã nói ban đầu, ta đã gian lận, ta đã xem xét tô-pô Zariski (với phổ cực đại) trên vành này ngay từ đầu. Bây giờ ta cần kiểm tra xem hai tô-pô sau có trùng nhau không:

• Tô-pô sinh bởi các tập $D(f)$.
• Tô-pô Zariski của $\mathrm{Spec}(R)$, tức là các tập đóng có dạng $V(I) = \left \{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) \mid f(\mathfrak{p}) = 0 \right \}$ với $I$ là một tập con bất kỳ của $R$.

Không nghi ngờ gì là có dù ta đang dùng hai ngôn ngữ khác nhau: tập mở và tập đóng, lần lượt. Lưu ý rằng

$$D(f) = \left \{f \neq 0 \right \} = X \setminus V(f) = X \setminus \left \{f = 0 \right \} \ \ \ \ \text{và} \ \ \ \ V(I) = \bigcup_{f \in I} V(f).$$

Như vậy ta có điều phải chứng minh (hai tô-pô trùng nhau nhưng góc nhìn thì thêm nhiều điểm mới).

Phỏng vấn với Jean-Pierre Serre

 

 Serre.jpg   138.45K   3 Số lần tải

 

While other sciences search for the rules that God has chosen for the Universe, we mathematicians search for the rules that even God has to obey.

 

Trong khi các ngành khoa học khác tìm kiếm các quy luật mà Chúa đã chọn cho vũ trụ, chúng tôi những nhà toán học tìm kiếm các quy luật mà ngay cả Chúa cũng phải tuân theo.

 

Jean-Pierre Serre sinh năm 1926 tại Pháp. Ông từng theo học toán tại đại học sư phạm Paris. Vào năm 1954, ở tuổi 28, ông đã được giải Fields bởi Hiệp hội Toán học Quốc tế, chứng nhận cao nhất cho một thành tựu trong toán học. Hai năm sau ông được bổ nhiệm chức Giáo sư về Đại số và Hình học tại College de France, nơi mà ông là giáo sư trẻ nhất trong khoảng 15 năm. Ông thăm khoa toán Đại học Quốc Gia Singapore từ ngày 2 tới 15 tháng Hai năm 1985. Chuyến thăm của ông được tài trợ chương trình trao đổi học thuật Pháp-Sing. Khi ở Singapore, giáo sư Serre đã trình bày hai bài giảng về đường cong đại số trên trường hữu hạn và một bài giảng về hàm Ramanujan. Ông cũng góp một bài nói seminar hai tiếng về chứng minh của Falting cho giả thuyết Mordell, và một bài giảng hội đàm với tiêu đề "Biệt thức = $b^2-4ac$" về class numbers của các trường toàn phương ảo (imaginary quadratic fields). Vào ngày 14 tháng hai năm 1985, ông có một cuộc phỏng vấn trong đó ông thảo luận nhiều khía cạnh sự nghiệp toán học của mình và cách nhìn của ông về toán học. Những gì sau đây là ghi chép từ cuộc phỏng vấn đó, chỉnh sửa bởi C. T. Chong và Y. K. Leong, và đã được kiểm tra lại bởi J. P. Serre.

 

Q: Điều gì khiến ông chọn toán học làm sự nghiệp của mình?

 

A: Tôi nhớ rằng tôi bắt đầu thích toán vào khoảng năm 7 hoặc 8 tuổi. Hồi còn trung học tôi thường giải các bài toán của các lớp lớn hơn. Hồi ấy tôi ở một khu nhà trọ ở Nimes cùng với lũ trẻ lớn hơn và chúng thường bắt nạt tôi. Để làm hoà với chúng, tôi thường làm hộ bài tập về nhà môn toán cho chúng. Dù sao đó cũng là một bài luyện tập tốt.

 

Mẹ tôi là một dược sĩ (cũng như bố tôi), và bà yêu toán học. Khi bà ấy vẫn còn là một sinh viên dược tại đại học Montpellier, bà ấy đã đăng ký học một khoá học năm đầu tiên môn giải tích, chỉ để cho vui, và bà đã vượt qua bài kiểm tra. Và bà ấy đã giữ cẩn thận những quyển sách giải tích của mình (viết bởi Fabry và Vogt, nếu tôi nhớ không nhầm). Khi tôi 14 hoặc 15, tôi thường xem những quyển sách này và nghiên cứu chúng. Đó là cách tôi học về đạo hàm, tích phân, chuỗi và các thứ kiểu thế (tôi học theo một cung cách hình thức thuần tuý - phong cách của Euler với tôi mà nói thì tôi không thích, và không hiểu ngôn ngữ epsilon delta.) Vào thời điểm đó, tôi không biết rằng người ta có thể kiếm sống bằng cách trở thành một nhà toán học. Chỉ sau này tôi mới khám phá ra rằng người ta được trả tiền để làm toán! Đầu tiên tôi nghĩ tôi sẽ trở thành một giáo viên trung học, điều đó dường như là tự nhiên với tôi. Nhưng khi tôi 19, tôi đã đăng ký kì thi vào trường Đại học Sư phạm Paris và thành công. Khi tôi đã ở trong "Trường", tôi thấy rõ hơn rằng không phải giáo viên trung học là cái tôi muốn trở thành, mà tôi muốn trở thành một nhà toán học.

 

Q: Những lĩnh vực khác có từng thu hút ông không, như vật lý hoặc hoá học?

 

A: Vật lý thì không nhiều lắm, nhưng hoá học thì có đấy. Như tôi đã nói, bố mẹ tôi đều là dược sĩ, nên họ có cả đống hoá chất và ống nghiệm. Tôi nghịch chúng khi tôi mới 15 16 ngoài việc làm toán. Và tôi đọc những quyển sách hoá học của bố tôi (tôi vẫn giữ một trong số chúng, một quyển sách lôi cuốn, "Les Colloides" của Jacques Duclaux). Tuy nhiên, khi học hoá, tôi thất vọng vì cái khía cạnh toán học nửa vời của nó: có một chuỗi các hợp chất hữu cơ như $CH_4,C_2H_6,...$, tất cả đều trông na ná nhau. Tôi nghĩ, nếu mà phải có chuỗi thì thà tôi đi làm toán! Do đó tôi từ bỏ hoá học - nhưng không hoàn toàn: cuối cùng tôi cưới một nhà hoá học.

 

Q: Ông có từng bị ảnh hưởng bởi giáo viên nào trong việc làm toán không?

 

A: Tôi chỉ từng có đúng một giáo viên tốt. Đó là năm đầu tiên trung học của tôi (1943-1944) ở Nimes. Ông ấy có biệt danh "Le Barbu": để râu rất hiếm vào thời đó. Ông ấy luôn rất rõ ràng và chặt chẽ; ông ấy yêu cầu mọi công thức và chứng minh phải được trình bày gọn gàng. Và ông ấy đã dành cho tôi một bài luyện tập tận tâm cho kỳ thi toán học quốc gia có tên "Concours General", nơi mà tôi dành giải nhất.

 

Nói về Concours General, tôi cũng thử với tay mình sang kỳ thi đó bên vật lý vào cùng năm (1944). Vấn đề chúng tôi được hỏi hoàn toàn dựa vào một định luật vật lý mà tôi nên biết, nhưng tôi lại không biết nó. May mắn thay, chỉ có một công thức dường như có thể áp dụng cho định luật đó. Tôi đã giả sử nó đúng, và triển khai làm việc với một vấn đề-6-tiếng dựa trên giả sử đó. Tôi thậm chí còn nghĩ mình sẽ đạt giải. Không may mắn lắm, công thức của tôi sai, và tôi không đạt được gì - điều tôi xứng đáng!

 

Q: Cảm hứng có vai trò quan trọng như thế nào trong việc tìm ra các định lý?

 

A: Tôi không biết "cảm hứng" thực sự có nghĩa gì. Các định lý và các lý thuyết đến theo những cách buồn cười. Thỉnh thoảng, anh chỉ không hài lòng với các chứng minh đã có, và anh tìm những chứng minh tốt hơn để có thể áp dụng cho các tình huống khác. Một ví dụ điển hình với tôi là khi tôi làm việc với định lý Riemann-Roch (khoảng năm 1953), mà tôi xem nó như một công thức "Euler-Poincare" (tôi đã không biết rằng Kodaira-Spencer đã có cùng ý tưởng.) Mục tiêu đầu tiên của tôi là chứng minh nó cho các đường cong đại số - một trường hợp đã biết từ cả thế kỷ trước! Nhưng tôi muốn một chứng minh theo một phong cách đặc biệt, và khi tôi thành công trong việc tìm ra nó, tôi nhớ rằng tôi mất không quá một hoặc hai phút để đi từ đó lên trường hợp 2 chiều (điều được chứng minh bởi Kodaira). Sáu tháng sau, kết quả hoàn chỉnh được đưa ra bởi Hirzebruch, và công bố trong bài Habilitationsschrift nổi tiếng của ông ấy.

 

Thông thường, anh không giải quyết một vấn đề bằng cách tấn công trực diện nó. Thay vào đó anh có vài ý tưởng trong đầu mà anh cảm giác sẽ có ích, nhưng anh không thật sự biết chúng có ích cho việc gì. Do đó, anh tìm kiếm xung quanh, và cố gắng áp dụng chúng. Giống như việc có cả chùm chìa khoá, và cố gắng thử chúng vào những cái cửa.

 

Q: Ông có từng có trải nghiệm nào mà ông ấy một vấn đề là không thể giải quyết, nhưng sau khi bỏ nó sang một bên một thời gian thì một ý tưởng đột nhiên xuất hiện dẫn tới lời giải không?

 

A: Có, điều này vẫn thường diễn ra. Ví dụ, khi tôi làm việc với các nhóm đồng luân (khoảng 1950), tôi tự thuyết phục mình rằng, với một không gian $X$, nên tồn tại một không gian phân thớ $E$ với nền $X$ mà có thể co rút về một điểm; một không gian như thế có thể cho phép tôi (sử dụng các phương pháp của Leray) làm rất nhiều các tính toán về nhóm đồng luân và đối đồng điều của không gian Eilenberg-MacLane. Nhưng làm thế nào để tìm ra nó? Tốn vài tuần (một thời gian rất dài, vào cái tuổi tôi lúc đó...) để tôi nhận ra không gian các đường trên $X$ có đủ các tính chất cần thiết - chỉ khi tôi dám gọi nó là không gian phân thớ, và tôi đã làm vậy. Đây là điểm bắt đầu của phương pháp không gian cung trong tôpô đại số, rất nhiều kết quả sau đó nhanh chóng được chứng minh.

 

Q: Ông thường làm việc với chỉ một vấn đề hay nhiều vấn đề cùng lúc?

 

A: Hầu như chỉ một vấn đề từng thời điểm, nhưng không phải luôn luôn. Và tôi thường làm việc buổi đêm (giấc ngủ chập chờn), khi mà anh không phải viết thứ gì ra sẽ làm cho đầu óc có độ tập trung cao hơn, và thay đổi các chủ đề dễ dàng hơn.

 

Q: Trong vật lý, có rất nhiều khám phá là do tình cờ, ví dụ như tia X, bức xạ nền vũ trụ, vân vân. Điều đó có xảy ra với ông trong toán học?

 

A: Một sự tình cờ thật sự là rất hiếm. Nhưng thi thoảng anh vẫn ngạc nhiên vì một lập luận của anh cho một mục đích lại có thể giải quyết một câu hỏi trong một hướng nghiên cứu khác; tuy nhiên, người ta khó có thể gọi nó là "tình cờ".

 

Q: Đâu là những vấn đề cốt lõi trong hình học đại số và lý thuyết số?

 

A: Tôi không thể trả lời chính xác. Anh thấy đấy, vài nhà toán học có những chương trình rõ ràng và dài hơi. Ví dụ, Grothendieck có một chương trình như thế cho hình học đại số; bây giờ Langlands có một cái như vậy cho lý thuyết biểu diễn, trong mối quan hệ với dạng modular và số học. Tôi chưa từng có một chương trình như vậy, kể cả một cái cỡ nhỏ. Tôi chỉ làm việc với những thứ hấp dẫn tôi tại một thời điểm. (hiện tại, vấn đề hấp dẫn tôi nhất là đếm số điểm trên các đường cong đại số trên những trường hữu hạn. Nó là một kiểu toán ứng dụng: anh cố sử dụng bất kỳ công cụ nào trong hình học đại số và lý thuyết số mà anh biết... và anh không thành công lắm!)

 

 jeanpierreserre.jpg   19.06K   3 Số lần tải

 

...comme Grothendieck nous l'a appris, les objets d'une catégorie ne jouent pas un grand rôle, ce sont les morphismes qui sont essentiels.

 

Like Grothendieck has taught us, objects of a category do not play a great role, it is the morphisms between them that are essential.

 

Q: Ông cho rằng đâu là những tiến bộ vượt bậc nhất trong hình học đại số và lý thuyết số năm năm trở lại đây?

 

A: Câu này dễ trả lời hơn. Chứng minh của Falting cho giả thuyết Mordell và giả thuyết Tate là điều đầu tiên tôi nghĩ đến. Tôi cũng xin nhắc đến công trình của Gross-Zagier về vấn đề số lớp (class number problem) cho các trường toàn phương (dựa trên một định lý trước đó của Goldfeld), và định lý Mazur-Wiles về lý thuyết Iwasawa, sử dụng đường cong modular. (Ứng dụng của đường cong modular và hàm modular vào lý thuyết số là cực kỳ thú vị: anh sử dụng $\mathrm{GL}_2$ để nghiên cứu $\mathrm{GL}_1$, có thể nói như vậy! Hiển nhiên là còn rất nhiều thứ sẽ tới theo hướng đó… thậm chí có thể là chứng minh giả thuyết Riemann vào một ngày nào đó!) 

 

Q: Vài nhà khoa học đã làm được một số công trình nền tảng trong một lĩnh vực và nhanh chóng chuyển sang lĩnh vực khác. Ông đã làm việc ba năm với tôpô, và sau đó làm thứ khác. Điều đó đã xảy ra như thế nào?

 

A: Nó là một con đường liền, không phải một thay đổi rời rạc. Năm 1952, sau luận án của tôi về các nhóm đồng luân, tôi đến Princeton nơi mà tôi có bài giảng về luận án của mình (và phần tiếp theo của nó “lý thuyết C”), và tham dự seminar nổi tiếng Artin-Tate về lý thuyết trường các lớp. 

 

Sau đó tôi trở về Paris, nơi mà seminar Cartan đang thảo luận về các hàm phức nhiều biến, và các đa tạp Stein. Hoá ra các kết quả của Cartan-Oka có thể được biểu diễn hiệu quả hơn (và được chứng minh theo cách đơn giản hơn) nhờ sử dụng đối đồng điều và bó. Điều đó khá phấn khích, và tôi đã làm việc một thời gian ngắn về chủ đề này, áp dụng lý thuyết Cartan vào các đa tạp Stein. Tuy nhiên, một mảng thú vị của lý thuyết hàm phức nhiều biến là nghiên cứu các đa tạp xạ ảnh (đối lập với các đa tạp affine - được xem là khá bệnh hoạn với một nhà hình học); bởi vậy tôi bắt đầu làm việc với các đa tạp xạ ảnh phức, sử dụng lý thuyết bó: đó là cách tôi đến với cái vòng các ý tưởng xung quanh Riemann-Roch vào năm 1953. Nhưng các đa tạp xạ ảnh thì đại số (định lý Chow), và nó hơi không tự nhiên nếu muốn nghiên cứu những đối tượng đại số này bằng các hàm giải tích, vốn có thể có rất nhiều kỳ dị. Rõ ràng, chỉ nên làm với các hàm hữu tỷ là đủ - và đúng là như vậy. Điều đó đưa tôi (vào năm 1954) đến với hình học đại số trừu tượng trên bất kỳ trường đóng đại số nào. Nhưng cần gì  tính đóng đại số? Các trường hữu hạn thú vị hơn, như giả thuyết Weil và những thứ tương tự. Và từ đó đến với những trường số, đó là một bước chuyển tiếp tự nhiên… Đây ít nhiều là con đường tôi đã theo đuổi. 

 

Một hướng nghiên cứu khác đến tự sự hợp tác (và tình bạn) của tôi với Armand Borel. Ông ấy nói về tôi về nhóm Lie, thứ mà ông ấy biết như không ai khác. Mối liên hệ giữa chúng với tôpô, hình học đại số, lý thuyết số,... rất lôi cuốn. Để tôi cho anh một ví dụ (mà tôi để ý vào khoảng năm 1968): 

 

Hãy xem xét nhóm con rời rạc hiển nhiên nhất của $\mathrm{SL}_2(\mathbf{R})$, tức là $G = \mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$. Anh có thể tính “đặc trưng Euler-Poincare” $X(G)$ của nó và nó bằng $-1/12$ (nó không phải là số nguyên, vì $G$ có xoắn). Giờ anh thấy $-1/12$ là giá trị $\zeta(-1)$ của hàm Riemann-zeta tại $s=-1$ (một kết quả biết từ thời Euler). Và đây không phải là sự trùng hợp! Nó mở rộng lên bất kỳ trường số $K$ hoàn toàn thực nào (totally real number field), và có thể sử dụng để nghiên cứu mẫu số của $\zeta_k(-1)$. (Các kết quả tốt hơn thu được bằng cách sử dụng dạng modular, như sau này được tìm ra.) Những câu hỏi như thế không phải lý thuyết nhóm, không phải tôpô, cũng chẳng phải lý thuyết số: chúng chỉ là toán học.

 

Q: Đâu là những triển vọng trong việc đạt được vài sự thống nhất các lĩnh vực toán học đa dạng?

 

A: Tôi có thể nói điều này đã đạt được rồi. Tôi đã đưa ra trong câu hỏi trước một ví dụ điển hình về nhóm Lie, lý thuyết số, vân vân, đến cùng nhau và không thể bị tách rời. Để tôi cho anh một ví dụ khác (và không khó để đưa ra thêm nhiều ví dụ như vậy): 

 

Có một định lý được chứng minh gần đây bởi S. Donaldson về các đa tạp khả vi compact 4 chiều. Nó nói rằng một dạng toàn phương (trên $H^2$) của một đa tạp như thế bị hạn chế nghiêm trọng: nếu nó xác định dương, nó phải là tổng các bình phương. Và mấu chốt của chứng minh là xây dựng một đa tạp phụ trợ (một “đồng biên”) như một tập nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng (phi tuyến tính, hiển nhiên)! Đây là một ứng dụng hoàn toàn mới của giải tích vào tôpô vi phân. Và điều còn làm nó đáng chú ý hơn là, nếu tính khả vi bị bỏ đi, thì tình huống trở nên khá khác: bằng một định lý của M. Freedman, dạng $H^2$-toàn phương có thể là hầu như bất cứ thứ gì. 

 

Q: Làm thế nào để một người bắt kịp sự bùng nổ của kiến thức toán học? 

A: Anh không nhất thiết phải bắt kịp. Khi anh hứng thú với một câu hỏi cụ thể, anh sẽ thấy rất ít thứ đã được làm có liên quan gì đến anh, và nếu nó có liên quan gì đến anh, thì anh sẽ học nó nhanh hơn rất nhiều, vì anh có sẵn một ứng dụng trong đầu. Một thói quen tốt là thường kiểm tra Math. Reviews (đặc biệt là những ấn bản về lý thuyết số, lý thuyết nhóm, vân vân). Và anh cũng học rất nhiều từ các bạn của mình: sẽ dễ dàng khi xem một chứng minh được giải thích trên bảng đen hơn là khi đọc nó. 

Một vấn đề nghiêm trọng hơn là vấn đề với các “bài toán lớn”, những bài toán rất có ít nhưng chứng minh lại quá dài để kiểm tra (trừ khi anh dành ra một phần lớn thời gian đời mình…). Một ví dụ điển hình là định lý Feit-Thompson: các nhóm cấp lẻ thì giải được. (Chevalley có lần đã muốn lấy nó làm chủ đề cho một seminar với ý định tìm hiểu hoàn chỉnh chứng minh của nó. Sau hai năm, ông ấy bỏ cuộc.) Người ta nên làm gì với các bài toán như thế nếu họ buộc phải dùng tới nó? Chấp nhận chúng bằng niềm tin? Có thể. Cơ mà nó không phải là cái gì thoải mái lắm.

Bản thân tôi khá bứt rứt với vài chủ đề, chủ yếu là tôpô vi phân, nơi người ta vẽ một bức hình phức tạp (2 chiều) và bắt anh chấp nhận nó như chứng minh cho một cái gì đó trong 5 chiều hoặc hơn nữa. Chỉ có các chuyên gia có thể “thấy” một chứng minh như thế là đúng hay sai - nếu anh gọi đó là một chứng minh. 

Q: Ông nghĩ rằng máy tính sẽ ảnh hưởng gì đến sự phát triển của toán học?

A: Máy tính vốn đã làm rất tốt phần của nó trong vài nhánh toán học. Lấy ví dụ trong lý thuyết số thì chúng được dùng theo rất nhiều cách. Đầu tiên, để đề xuất các giả thuyết hoặc câu hỏi. Nhưng cũng để kiểm tra các định lý tổng quát trên các ví dụ tính toán - vốn giúp rất nhiều trong việc tìm ra các lỗi có thể có. 

Máy tính cũng rất có ích khi phải tìm kiếm diện rộng (ví dụ, khi anh có $10^6$ hoặc $10^7$ trường hợp). Một ví dụ khét tiếng là định lý bốn màu: Tuy nhiên có một vấn đề ở đây, hầu như tương tự như định lý Feit-Thompson: một chứng minh như thế không thể kiểm tra bằng tay; anh cần một cái máy tính (và một chương trình rất phức tạp). Điều đó cũng không thực sự thoải mái. 

Q: Làm thế nào để chúng ta khuyến khích những người trẻ theo đuổi toán học, đặc biệt là trong trường học?

A: Tôi có một lý thuyết thế này, điều đầu tiên người ta nên làm là không khuyến khích mọi người làm toán, chẳng có lý do gì để có nhiều nhà toán học. Nhưng nếu sau đó, họ vẫn khăng khăng đòi làm toán, thì anh nên khuyến khích họ, và giúp họ.

Với các học sinh trung học, điểm mấu chốt là phải làm cho các em hiểu rằng toán học tồn tại, rằng nó không chết (học sinh có xu hướng tin rằng chỉ có vật lý, hoặc sinh học mới có các bài toán mở). Khuyết điểm trong cách dạy toán truyền thống là giáo viên không bao giờ đề cập đến các bài toán như thế. Xót xa thay cho điều đó. Có rất nhiều bài toán như vậy, ví dụ trong lý thuyết số, mà các bạn trẻ vị thành niên có thể hiểu: của Fermat dĩ nhiên, hoặc Goldbach chẳng hạn, hoặc sự tồn tại của vô hạn số nguyên tố dạng $n^2+1$. Và người ta nên thoải mái phát biểu chúng mà không cần chứng minh (ví dụ định lý Dirichlet về các số nguyên tố trên các cấp số cộng). 

Q: Liệu ông có nghĩ rằng sự phát triển của toán học trong vòng ba mươi năm vừa rồi nhanh hơn năm mươi năm trước đó không?

 

A: Tôi không chắc liệu điều đó đúng không. Hoàn cảnh khác nhau mà. Trong những năm 50 60, điểm nhấn thường là về các phương pháp tổng quát: distributions, đối đồng điều, và kiểu thế. Những phương pháp như thế đã rất thành công, nhưng ngày nay người ta làm việc với những câu hỏi rất cụ thể (ví dụ, những câu hỏi rất cũ như phân loại đường cong đại số trong không gian xạ ảnh 3 chiều!). Họ áp dụng những công cụ đã có trước đó; điều này khá tốt. (Và họ cũng tạo ra những công cụ mới: microlocal analysis, supervarieties, intersection cohomology,...). (xin phép không dịch ba thuật ngữ này, ai biết có thể bổ sung)

Q: Trong sự bùng nổ của toán học, ông có nghĩ rằng một nghiên cứu sinh mới có thể tiếp thu một lượng lớn toán học trong bốn, năm năm hoặc sáu năm và ngay sau đó bắt đầu làm các công trình lớn không?

A: Tại sao không? Với một vấn đề anh thường không cần biết nhiều đến thế - và bên cạnh đó, những ý tưởng rất đơn giản đã làm được rồi. 

Vài lý thuyết được đơn giản hoá. Vài cái khác thì tuột khỏi tầm nhìn. Ví dụ, vào năm 1949, tôi nhớ rằng tôi đã trầm cảm vì mọi vấn đề trên Annals of Mathematics đều chứa một bài báo khác về tôpô mà khó đọc hơn bài báo trước đó. Nhưng không ai đọc những bài báo đó nữa; chúng đã bị lãng quên (và đáng bị như vậy: tôi không nghĩ rằng chúng có gì sâu sắc…). Quên là một hoạt động rất lành mạnh.

Nói gì thì nói, vài chủ đề cần luyện tập nhiều hơn một số chủ đề khác, bởi vì những kỹ thuật nặng nề được sử dụng. Hình học đại số là một ca như vậy; và lý thuyết biểu diễn cũng thế.

Dù sao thì một người không nên bảo là “tôi sẽ đi làm hình học đại số”. Với hầu hết mọi người, tốt hơn là nên bám theo các seminar, đọc, tự hỏi những câu hỏi; và học lượng kiến thức cần cho những câu hỏi đó. 

Q: Nói cách khác, một người nên nhắm tới một bài toán trước rồi sau đó học bất cứ công cụ nào cần thiết cho nó?

A: Kiểu vậy đấy. Nhưng vì tôi biết rằng tôi không có lời khuyên tốt cho chính bản thân, tôi sẽ không đưa ra lời khuyên cho những người khác. Tôi không có một kỹ thuật nội tại cho việc nghiên cứu.

Q: Ông có nhắc đến các bài báo đã bị quên lãng. Ông nghĩ có bao nhiêu phần trăm các bài báo được công bố sẽ còn tiếp tục tồn tại?

A: Một phần trăm khác không, tôi tin là vậy. Sau cùng, chúng ta vẫn đọc những bài báo thú vị của Hurwitz, hoặc Eisenstein, hay thậm chí Gauss.

Q: Ông có bao giờ nghĩ rằng mình sẽ hứng thú với lịch sử toán học?

 

A: Tôi vốn đã hứng thú rồi. Nhưng nó không thật sự dễ dàng; tôi không có khả năng ngôn ngữ trong việc học tiếng Latin hay Hy Lạp chẳng hạn. Và tôi thấy rằng việc viết một bài báo về lịch sử toán học còn tốn thời gian hơn viết một bài báo về chính toán. Dù sao thì lịch sử cũng rất thú vị; nó gom mọi thứ vào một góc nhìn ngay ngắn.

Q: Ông có tin người ta sẽ giải quyết được bài toán phân loại nhóm đơn? 

A: Ít nhiều - nhưng nhiều hơn ít. Tôi sẽ rất thích thú nếu một nhóm sporadic mới được tìm ra, nhưng tôi e rằng điều đó sẽ không xảy ra.

Quan trọng hơn, định lý phân loại là một cái gì đó lộng lẫy. Anh có thể kiểm tra rất nhiều tính chất chỉ bằng việc kiểm qua một loạt các nhóm (ví dụ điển hình: phân loại các nhóm $n$-truyền dẫn, với $n$ lớn hoặc hoặc bằng $4$).

 

Q: Ông nghĩ rằng mọi thứ sẽ thay đổi thế nào sau bài toán phân loại nhóm đơn?

A: Anh đang ám chỉ rằng một số nhà lý thuyết nhóm hữu hạn sẽ bị mất tinh thần bởi bài toán phân loại; họ nói rằng (và tôi được nói rằng) “chẳng có gì mà làm sau đó nữa”. Tôi nghĩ điều này thật nực cười. Chắc chắn rằng vẫn còn nhiều thứ để làm! Đầu tiên là đơn giản hoá chứng minh (cái mà Gorenstein gọi là “tái tầm nhìn luận” (revisionism)). Nhưng cũng còn phải tìm ứng dụng trong các phần khác của toán học; ví dụ, đã có rất nhiều khám phá gây tò mò liên hệ nhóm quỷ Griess-Fischer với các dạng modular (cái được gọi là “Moonshine”). 

Hỏi thế không khác gì hỏi rằng liệu chứng minh của Falting cho giả thuyết Mordell có làm lý thuyết điểm hữu tỷ trên đường cong chết đi không. Không! Nó chỉ đơn thuần là điểm bắt đầu. Rất nhiều câu hỏi vẫn bỏ ngỏ.

(nhưng cũng cần phải nói rằng có những lý thuyết có thể bị giết. Một ví dụ nổi tiếng là vấn đề thứ mười lăm của Hilbert: mọi nhóm tôpô Euclid địa phương là một nhóm Lie. Khi tôi vẫn còn là một nhà tôpô trẻ, đó là vấn đề mà tôi rất muốn giải quyết - nhưng tôi đã chẳng đi đến đâu. Gleason, và Montgomery-Zippin là những người giải quyết nó, và lời giải của họ tất cả không là gì ngoài việc giết chết vấn đề. Còn gì để khám phá trong hướng này? Tôi có thể nghĩ tới một câu hỏi: liệu nhóm các số nguyên p-adic có tác động effective lên một đa tạp? Câu hỏi này dường như khá khó - nhưng ngay cả thế lời giải của nó sẽ còn không có chút ứng dụng nào theo tôi thấy.) 

Q: Nhưng người ta có thể nói rằng hầu hết các vấn đề trong toán học đều như vậy, tức là vấn đề tự chúng có thể khó và thách thức nhưng sau khi có lời giải thì chúng trở nên vô dụng. Thực tế có rất ít vấn đề như giả thuyết Riemann khi mà thậm chí trước cả lời giải của nó, người ta đã biết tới rất nhiều hệ quả. 

A: Đúng, giả thuyết Riemann là một trường hợp rất tốt: nó suy ra rất nhiều điều (bao gồm các bất đẳng thức thuần dữ liệu số, ví dụ về biệt thức của các trường số). Nhưng vẫn còn các ví dụ khác: định lý giải kỳ dị của Hironaka chẳng hạn; hay bài toán phân loại nhóm đơn mà chúng ta vừa bàn tới.

Đôi khi phương pháp sử dụng trong chứng minh là thứ có nhiều ứng dụng: tôi tự tin mà nói rằng điều này đúng với Falting. Và đôi khi, đúng là vấn đề tự nó không có ứng dụng; chúng là một dạng bài kiểm tra có những lý thuyết đang tồn tại; chúng ép chúng ta đi xa hơn nữa.

Q: Ông có còn quay lại với các vấn đề trong tôpô không?

A: Không. Tôi đã không dõi theo các kỹ thuật gần đây, và tôi không biết những tính toán cuối cùng của nhóm đồng luân của mặt cầu $\pi_{k+n}(S^n)$ (tôi đoán người ta đã chạm tới mức $k=40$ hoặc $50$. Tôi từng biết chúng tới khoảng $k=10$.)

Nhưng tôi vẫn sử dụng các ý tưởng từ tôpô theo nghĩa rộng, ví dụ đối đồng điều, cản trở, lớp đặc trưng Stiefel-Whitney, vân vân.

Q: Bourbaki đã ảnh hưởng gì lên toán học?

A: Một ảnh hưởng tốt. Tôi biết rằng trách mắng Bourbaki vì mọi thứ là một thứ mốt thời thượng (ví dụ “New Math”), nhưng điều đó không công bằng. Người ta đã lạm dụng những quyển sách của Bourbaki; chúng vốn không được dùng cho giảng dạy đại học, thậm chí còn ít hơn trong việc giảng dạy trung học. 

Q: Liệu có nên có một dấu hiệu cảnh báo?

A: Một dấu hiệu cảnh báo thực tế đã được đưa ra bởi Bourbaki: đó là seminar Bourbaki. Seminar đó không hình thức như những gì trong sách: nó bao gồm tất cả các thể loại toán học, thậm chí một chút vật lý. Nếu anh gộp cả seminar và sách thì anh sẽ có một góc nhìn cân bằng hơn rất nhiều.

Q: Ông có thấy ảnh hưởng của Bourbaki lên toán học đang đi xuống?

A: Ảnh hưởng là khác so với nó đã từng. Bốn mươi năm trước, Bourbaki có một nhiệm vụ để làm; đó là chứng minh rằng một thứ toán học hệ thống và trình bày tốt là khả thi. Và bây giờ nhiệm vụ hoàn thành rồi, Bourbaki chiến thắng. Như một hệ quả, những quyển sách của anh ta chỉ còn dùng cho sở thích kỹ thuật; câu hỏi chỉ là liệu chúng có trình bày tốt về chủ đề người ta quan tâm hay không. Đôi khi là có (quyển về “root systems” đã trở thành tham khảo chính quy cho ngành) (   hồi thi môn lý thuyết nhóm Lie mình đã phải tham khảo ở đây); đôi khi là không (tôi sẽ không đưa ra ví dụ: nó là vấn đề thị hiếu).

Q: Nói về thị hiếu, phong cách nào (cho sách, báo) mà ông thích nhất?

A: Sự chính xác kết hợp với tính không hình thức! Cái đó là lý tưởng, như cho các bài giảng. Anh có thể tìm thấy sự hoà quyện niềm vui ở các tác giả như Atiyah hay Milnor, và một số ít khác. Nhưng rất khó để đạt tới mức này. Ví dụ, tôi thấy rất nhiều nhà toán học Pháp (bao gồm cả tôi) làm mọi thứ hơi hình thức, và một số nhà toán học Nga lại quá thiếu chính xác…

Một điểm nữa tôi muốn đề cập các bài báo nên bao gồm nhiều hơn những lưu ý, câu hỏi mở, vân vân. Rất thường xuyên, có những thứ thú vị hơn những định lý thực sự được chúng minh. Than ôi, hầu hết mọi người sợ thừa nhận rằng họ không biết câu trả lời cho một câu hỏi, và như một hệ quả họ tránh luôn việc nói tới câu hỏi, ngay cả khi nó là một câu hỏi rất tự nhiên. Thương xót làm sao! Như tôi vẫn hay làm, tôi thích nói “tôi không biết”.

 

Dịch bởi: Phạm Khoa Bằng, Đại học Rennes 1, Pháp.

Nguồn: xem tại đây.

 

Bài giảng Grothendieck

bởi Frédéric Jaëck và các tác giả khác.

Lời giới thiệu bởi Peter Scholze.

Làm thế nào để viết một lời giới thiệu cho một quyển sách về công trình và tầm ảnh hưởng của Grothendieck? Những ý tưởng của ông đã định hình cách suy nghĩ của tôi về toán học, và chắc chắn nó cũng đúng với các nhà toán học xung quanh tôi tới mức không thể hình dung được. (1)

(1): Có lần ai đó hỏi tôi rằng tôi có nghiên cứu các công trình của những con người kinh điển như Poincaré, Riemann, Siegel,... không, câu trả lời của tôi là "Với tôi, toán học bắt đầu với Grothendieck."

Nhưng tôi được sinh sau khi Grothendieck đã rời khỏi toán học từ lâu, và chẳng phải một nhà sử học hay đã đọc rất nhiều công trình gốc, tôi không thể nói chính xác Grothendieck đã đóng góp những gì.

Mặt khác, khi tôi nhận được yêu cầu tôi đã bắt đầu làm quen dần với lý thuyết không gian Banach cơ bản. Với tôi, thật ngạc nhiên khi thấy những đóng góp nổi bật của Grothendieck trong ngành này. Trước đó tôi đã mù mờ biết rằng Grothendieck làm gì đó với những công trình đầu tiên về không gian tô-pô véc-tơ, nhưng không biết những kết quả đó có ảnh hưởng thế nào. Điều này giống như một cuộc hội ngộ với một người bạn cũ sống ở một đất nước xa xôi - Này, dạo này anh đang làm gì? Thật tuyệt khi thấy anh lần nữa!

 

 alexandre-grothendieck-le-genie-des-maths-qui-accoucha-de-l-ecologie.jpg   47.5K   3 Số lần tải

 

Nên tôi muốn nhân dịp này để làm nổi bật mối liên kết giữa các công trình ban đầu của Grothendieck và các công trình sau này của ông về topos, những thứ xuất hiện trong công trình của tôi. Một trong các ý tưởng rất sâu sắc của Grothendieck, và một trong những ý tưởng tinh tuý nhất theo ông nhận định, là khái niệm của một topos; nói cách tương đương, những phạm trù các bó trên một site. Rất nổi tiếng, cùng với Artin, ông định nghĩa site étale $X_{\text{ét}}$ của một lược đồ, và dùng lý thuyết đối đồng điều thu được $H^i(X_{\text{ét}},\mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z})$ để tấn công các giả thuyết Weil, mà cuối cùng là chứng minh của Deligne. Luôn luôn có một điểm kỹ thuật không ổn trong lý thuyết: người ta mong rằng đối đồng điều có thể lấy hệ số trong $\mathbb{Q}_l$ có đặc số $0$, nhưng đối đồng điều étale chỉ hoạt động tốt với hệ số xoắn, nên ta định nghĩa ad hoc

$$H^i(X_{\text{ét}},\mathbb{Q}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} \ H^i(X_{\text{ét}},\mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}_l} \mathbb{Q}_l.$$

Trong thực hành, bất cứ kết quả nào về đối đồng điều l-adic cũng có thể chứng minh cho hệ số xoắn, và chuyển qua $\mathbb{Q}_l$ một cách hình thức bằng tensor. Đây vẫn là một phiền toái kỹ thuật nhưng thường bị bỏ qua.

Tuy nhiên, một số công trình tôi làm trong lý thuyết Hodge p-adic khiến tôi nghĩ rằng cần thiết phải cải thiện những nền tảng như vậy. Nói riêng, cùng với Bhatt, chúng tôi định nghĩa site hầu-étale $X_{\text{proét}}$ của một lược đồ. Với mọi vành, ví dụ $\mathbb{Q}_l$, ta có thể gán nó với một bó (của các vành trừu tượng) trên $X_{\text{proét}}$, mà ta vẫn kí hiệu là $\mathbb{Q}_l$. Với định nghĩa này,

$$H^i(X_{\text{proét}},\mathbb{Q}_l)$$ trùng với đối đồng điều l-adic đã định nghĩa bên trên, và vấn đề nền tảng đã biến mất.

Nhưng bây giờ vài thứ sâu sắc lại xuất hiện. Đó là khi $X$ chỉ là một điểm $\bullet$ (điểm hình học), các bó trên $\bullet_{\text{proét}}$ không tương đương với các tập hợp, giống như trong mọi hoàn cảnh thông thường khác. Thực tế, bất kỳ không gian tô-pô $T$ nào cũng xác định một bó trên $\bullet_{\text{proét}}$. Ở đây $\bullet_{\text{proét}}$ có thể định nghĩa như site của các tập hầu hữu hạn $S$, với các phủ là các họ hữu hạn các toàn ánh; và một không gian tô-pô $T$ được gửi tới bó mà gửi $S$ tới tập các ánh xạ liên tục từ $S$ vào $T$. Hàm tử thu được từ phạm trù các không gian tô-pô vào bó trên $\bullet_{\text{proét}}$ là trung thành, đầy đủ khi ta hạn chế xuống các không gian tô-pô sinh compact.

Tôi có xu hướng xem thuộc tính này của site hầu-étale - cái mà ta không thể hiểu các bó trên một điểm - là một căn bệnh. Clausen đã thuyết phục tôi rằng nó thực sự là một thuộc tính, và thực tế là người ta nên thay thế các không gian tô-pô bằng các bó trên $\bullet_{\text{proét}}$, và dùng điều này như một nền tảng mới cho tô-pô, nói riêng cũng như cho các không gian tô-pô véc-tơ, các không gian tô-pô vành,... Chúng tôi gọi đây là toán học đọng (condensed mathematics): một tập đọng là một bó trên $\bullet_{\text{proét}}$, cho ta các nhóm đọng, các bó đọng,...

Lưu ý rằng trong tô-pô đại số, đã từ lâu người ta biết rằng phạm trù các không gian tô-pô không thật sự tốt, nói riêng nó thiếu hàm tử Hom trong (internal hom). Điều này vẫn tới vô vàn "các phạm trù tô-pô ổn" như phạm trù các không gian Hausdorff yếu sinh compact, nhưng cũng những công trình của Johnstone trong việc tìm kiếm một phạm trù như thế mà làm thành một topos, và công trình của Spanier sử dụng định nghĩa rất gần với các tập đọng. Theo một nghĩa nào đó, các tập đọng cuối cùng là "phạm trù ổn của các không gian tô-pô", và bonus thêm là chúng còn tạo thành một topos.

Như một bài kiểm tra quan trọng xem toán học đọng có hoạt động tốt không, Clausen và tôi cố gắng hình dung xem liệu các $\mathbb{R}$-không gian véc-tơ đọng có thể dùng trong giải tích hàm không. Nói riêng, chúng tôi muốn tìm một phạm trù abelian đủ tốt, hoặc thậm trí một phạm trù dẫn xuất của các $\mathbb{R}$-không gian véc-tơ đọng "lồi địa phương hoàn toàn", được trang bị thêm một tích tensor. Khi viết những câu này - đây là một ví dụ chung chung về một câu mà tôi sẽ viết - tôi nhận ra rằng ảnh hưởng của Grothendieck đã tự hiển lộ nó ít nhất năm lần: "phạm trù abel" (trong bài báo Tohoku nổi tiếng của ông ấy), "phạm trù dẫn xuất" (trong công trình của ông cùng học trò Verdier), "tính lồi địa phương" (được nghiên cứu trong các công trình ban đầu); "đọng" (thông qua khái niệm topos và site hầu-étale), "tích tensor" (một trong các đóng góp chính của ông trong giải tích hàm).

Hoá ra với vài ngạc nhiên trên hành trình, nói riêng là làm yếu tính lồi địa phương thành $p$-lồi với $p<1$, người ta có thể định nghĩa một phạm trù abel như vậy. Điều này khá không tầm thường, vì các tập đọng định nghĩa dựa vào các tập hầu hữu hạn, trong khi các không gian Banach trên R dường như không có mấy liên hệ với tập hầu hữu hạn. Tuy nhiên, nó hoạt động, và cho ta một "phạm trù rất ổn của giải tích hàm". Do đó chúng tôi bị thuyết phục rằng trong những thập kỷ tới toán học đọng, dựa trên khái niệm topos, sẽ thay thế phần lớn toán học xây dựng từ các không gian tô-pô. Chẳng nghi ngờ gì khi những công trình của Grothendieck sẽ tiếp tục là nguồn cảm hứng cho rất nhiều thế hệ các nhà toán học tiếp theo, và những ý tưởng của ông sẽ còn thâm nhập sâu hơn nữa vào toàn bộ toán học.

Dịch: Phạm Khoa Bằng, Université de Rennes 1.
Nguồn: Lectures grothendieckiennes.

Toán học như văn hóa và tri thức - Mathematics as Culture and Knowledge

 

Toán học là một hoạt động tri thức, được cho là một trong những hoạt động tinh tế nhất từng được tạo ra bởi văn minh nhân loại. Hermann Hesse phác họa chân dung những hoạt động của các nhà toán học một cách ẩn dụ trong Glass Bead Game. Có lẽ đó là nỗ lực văn học tốt nhất để bắt dù chỉ một cái nhìn thoáng qua những hoạt động nội tại trong xã hội toán học. Người ta không phê phán một tác phẩm hư cấu bằng sự thiếu chính xác của nó, nhưng sẽ thực sự khó để nói cái gì đó có nghĩa về việc thế nào là làm toán.

Có khá nhiều các nhà toán học thừa hưởng quan điểm kiểu Plato về toán học. Điều này có nghĩa là họ có niềm tin rằng các đối tượng và xây dựng toán học có một kiểu tồn tại nào đó trong "thế giới của những ý tưởng", tồn tại độc lập với trí óc con người. Như trong trường hợp của thiên đường thần thoại, những người khởi xướng niềm tin đó tỏ ra khá mập mờ về vị trí và tính nhất quán của thế giới Plato ngoại lai này. Một lý do thường được viện ra để củng cố góc nhìn Plato là sự hiệu quả của toán học trong việc mô hình hóa thế giới vật lý. Không nghi ngờ gì những định luật Kepler cuối cùng cũng có thể được quan sát và thông hiểu bởi bất kì trí thông minh công nghệ nào sống trên một hình tinh bao quanh bởi lực hấp dẫn để quay quanh một ngôi sao (nhưng liệu một khám phá như vậy có tuân theo tiến trình mà chúng ta biết, hành tinh có xoay quanh hai ngôi sao không?). Tuy nhiên người ta khó có thể viện ra một trường hợp mạnh mẽ như thế để mà củng cố ý tưởng về cái đẹp trong các nhánh toán học khác trừu tượng hơn rất nhiều.

Nếu không ai có thể nghi ngờ rằng bất kỳ trí thông minh ngoài trái đất nào được tiến hóa đủ sẽ hiểu được khái niệm về số nguyên tố, thì sẽ có bằng chứng kém thuyết phục hơn nhiều rằng chúng sẽ có những khái niệm giống chúng ta về các phạm trù dẫn suất (derived categories) hoặc shtukas (chú thích: Drinfeld mô-đun suy rộng). Những năm gần đây chúng ta đã phải dùng đến những loại toán học tinh vi hơn và hơn nữa, chúng được đưa vào vì sự phát triển ngày càng phức tạp của vật lý năng lượng cao. Mặc cho kiểu viện dẫn này, tôi vẫn cực kì hoài nghi về giả thuyết của chủ nghĩa Plato.

Bộ não chúng ta đã phát triển qua hàng triệu năm tiến hóa có chọn lọc. Năng lực chế tạo toán học có một lợi ích tiến hóa rõ ràng vì nó là chìa khóa cho một nền văn minh khoa học và công nghệ. Địa vị nổi bật mà loài vượn này đã chiếm được, trong so sánh với các loài động vật khác trên trái đất, hiển nhiên là bằng chứng về lợi ích tiến hóa của khả năng não bộ phục vụ cho các hoạt động khoa học.

Các kiểu não bộ khác mà là sản phẩm của một quá trình tiến hóa hoàn toàn khác biệt trong một môi trường hoàn toàn khác biệt cũng có thể đạt được cùng một kết quả trong tiến bộ công nghệ trong khi sáng tạo ra một kiểu toán học có khác biệt đáng kể với thứ toán học mà chúng ta biết. Không hoàn toàn khác, chắc chắn (các số nguyện tố), nhưng là một sự khác biệt đối xứng to lớn. Sự tồn tại của trí thông minh ngoài trái đất hoàn toàn mang tính giả thuyết. Sagan và Shklovskii đã suy đoán rất hay về nó trong những năm 70 và tôi sẽ để tất cả ở đó, chủ nghĩa Plato và những thứ đó.

Nếu toán học (ít nhất là một phần lớn toán học) chẳng phải một dấu hiệu của thiên đường chủ nghĩa Plato mà chỉ là một đơn thuần là sản phẩm của não bộ và quá trình tiến hóa thì nó cũng chẳng mất đi tý vẻ đẹp nào. Nó còn trở nên thú vị hơn vì nó là một phần của văn hóa con người, và nó đi cùng và chịu ảnh hưởng của sự phát triển của toàn bộ những gì còn lại của văn minh.

Toán học mà chúng ta biết ngày nay là kết quả của một hành trình phát triển văn hóa dài và quanh co. Tuy nhiên, nó còn lâu mới là một tòa lâu đài bất động. Sự liên tục của nó, sự tiến hóa mau chóng có thể nhìn thấy dễ dàng bằng cách nhìn vào một số thống kê quan trọng. MathSciNet, nguồn review chính của các công trình toán học, liệt kê ra tổng cộng 2,245,194 công trình, và tăng thêm 60,000 mỗi năm (và những gì liệt kê bởi MathSciNet chỉ là một tuyển chọn trên tổng số những công trình toán học).

Bước quan trọng cho bất cứ ai hứng thú trong việc làm toán là ý thức về sự to lớn trong địa hạt này. Một rủi ro chính, theo ý tôi, trong toán học và bất kì lĩnh vực nào của tri thức con người, là trở nên ngây thơ. Người ta không tự nhận mình là nhà toán học. Trở thành một nhà toán học đòi hỏi ít nhất mười năm tu tập chuyên sâu và học hành cẩn thận. Cái đó mới chỉ là để tích lũy một lượng tối thiểu kiến thức và kĩ năng cần thiết để hiểu làm toán là như thế nào. Để bắt đầu thực sự làm cái gì đó trong toán học đòi hỏi một vài bước sau đó nữa.

Một thứ cực kì khó để tiếp thu, và là một dấu hiệu tốt để trở thành một nhà toán học trưởng thành chuyên nghiệp là khả năng đánh hơi ra cái gì thú vị. Có rất nhiều thứ trong toán học mà người ra có thể làm chỉ để làm, Marcel Duchamp đã đặt tên cho một tác phẩm điêu khắc đầy khiêu khích của ông ta "phân loại lược theo số lượng răng".

Thứ toán học thực sự thú vị không phải là một bài tập phân loại lược. Cái thường làm một kết quả toán học bất ngờ và thú vị nằm trong khả năng khám phá ra những kết nối không ngờ tới: một cách liên hệ kết quả và xây dựng mà ban đầu tỏ ra chẳng liên quan, nhận ra sự tương tự trong cấu trúc thông qua những hiện tượng khác biệt rõ ràng.

Ngây thơ trong toán học (với những ngoại lệ hiếm hoi) có một tác động đơn thuần là cắm đầu vào một góc tù mù của một trò chơi vô ích. Kiến thức là những gì cung cấp những ngọn hải đăng và hải đồ quan trọng cho phép các nhà toán học đang hoạt động định hướng đường đi của họ một cách an toàn trong khi băng qua vùng biển động.

Có những huyền thoại lãng mạn được lan truyền rộng rãi kiểu như những thiên tài cô đơn chẳng đọc điếc gì mà vẫn xổ ra được những định lý đẹp đẽ. Những huyền thoại này phần lớn dựa trên các giai thoại bịa đặt. Thực tế, một thời gian dài đọc và hấp thu tri thức toán học của quá khứ và hiện tại là tối hậu trong việc tạo ra thứ toán học thú vị trong tương lai. Cô lập chỉ đơn giản là cạn kiệt khả năng sáng tạo.

Ngoài sự hiệu quả của nó như một chất xúc tác cho sáng chế, việc truyền tải kiến thức thông qua chữ viết là thứ tạo nên con người chúng ta. Nó là chìa khóa cho tiến bộ của văn minh. Chúng ta đọc và học bởi vì chúng ta tìm thấy niềm vui khi làm thế, vì chúng ta là những tồn tại người quan tâm tới tồn tại không chỉ như mảnh vụn cô lập mà là một phần của nhân loại như một thể thống nhất. Như trong thơ nổi tiếng của John Donne, "không có người nào là một hòn đảo riêng, chỉ mình nó với nó; mọi con người là một mẩu của lục địa, một phần của cái chính yếu."

Toán học là thú vị với tự cách một mức độ cực rất cao giữa những thành tựu của nhân loại, bởi vì nó có tính phổ quát có thể cho chúng ta cách bắc cầu và vượt qua những khác biệt không đáng kể về địa lý và lịch sử đã chia rẽ loài người. Nó là ngôn ngữ chung mà bộ não chúng ta đã tạo ra, thứ ngôn ngữ chèo lái tiến bộ khoa học và công nghệ và đồng thời là một nỗ lực nghệ thuật có tính triết lý sâu sắc.

 

 Screenshot 2022-10-27 at 22-20-29 The Unravelers Mathematical Snapshots - Jean-Francois Dars - The Unravelers_ Mathematical Snapshots-AK Peters (2008).pdf.png   382.9K   12 Số lần tải

 

Thật sự, có một khía cạnh đặc biệt của toán học làm nó tách biệt với những lĩnh vực tri thức khác của con người. Nó hoạt động đồng thời dưới tư cách của một khoa học chính xác và cũng dưới tư cách một nghệ thuật. Trí tưởng tượng bay bổng, hình ảnh thơ mộng và trực quan cùng những cân nhắc thẩm mỹ thúc đẩy sự phát triển của toán học và sống kề cạnh với những quy luật nghiêm ngặt nhất của khoa học.

Thật đáng thương khi các nhà khoa học thần kinh cố gắng hiểu làm thế nào não bộ phát triển toán học nói chung, họ thường tỏ ra nhầm lẫn toán học với "cảm giác số" (tạm dịch từ number sense). Cái thứ hai là một khoa tri thức rất khác biệt, vốn hoàn toàn tách rời khỏi toán học (có hằng tá ví dụ về những nhà toán học nổi tiếng mà chẳng tý cảm giác số nào). Toán học có nghĩa là tạo ra các cấu trúc và nói riêng, những con số tỏ ra là một cấu trúc thú vị, nhưng nhưng điều đó là khá xa khi kết nối với toán học nói chung.

Cố gắng hiểu toán học được tạo ra trong não bộ như thế nào sẽ là một cách tuyệt vời để khám phá ra nhiều hơn nữa những chức năng của não bộ tự nó, vì nó cung cấp một phổ các cách thức vận hành của sự sáng tạo và tưởng tượng cũng như sự vận dụng hình ảnh và kí hiệu, với một sự chú tâm được xác định rõ ràng và chính xác.

Câu trả lời cuối cùng, nếu ai đó cần, cho câu hỏi là tại sao chúng ta làm toán, là do chúng ta tìm thấy niềm vui khi làm vậy. Nó là một phụ phẩm của tiến hóa bằng chọn lọc tự nhiên mà chúng ta chiết xuất ra sự vui thú từ việc làm những thứ có lợi cho sự sinh tồn của bộ gene chúng ta. Toán học có lợi cho giống loài chúng ta bởi vì những ứng dụng nó mang đến cho khoa học và công nghệ, nhưng đó không phải lý do chúng ta làm toán. Chúng ta không nghĩ về sự quan trọng của nó trong ứng dụng thực tiễn khi chúng ta thích thú sáng tạo những thứ toán học mới, cũng như chúng ta không nghĩ về tầm quan trọng của việc trộn lẫn DNA khi làm tình.

 

                                                                                                                                                  Tác giả: Matilde Marcolli, Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn.

                                                                                                                                                                                Dịch: Phạm Khoa Bằng, Université de Rennes 1.

Trong topic này mình muốn giới thiệu về K-lý thuyết Milnor (Milnor's K-theory) và kết nối nó với một số lý thuyết đối đồng điều như đối đồng điều Galois, nhóm Bloch-Chow, đối đồng điều motivic. Về mặt lịch sử, ban đầu K-lý thuyết đại số (algebraic K-theory) chỉ định nghĩa được cho $K_0,K_1,K_2$ (Grothendieck định nghĩa $K_0$) và các tính toán trên các nhóm này đã rất phức tạp rồi, về sau K-lý thuyết đại số chỉ được định nghĩa và nghiên cứu một cách có hệ thống từ sau Quillen khi ông đưa lý thuyết đồng luân vào các context khác của toán học. Trước đó một định lý của Matsumoto cho ta mô tả $K_2$ cụ thể dưới dạng phần tử sinh và quan hệ, Milnor dựa trên định nghĩa này đưa ra một định nghĩa ad-hoc cho một K-lý thuyết khác, gọi là K-lý thuyết Milnor, nó chứa một phần thông tin của K-lý thuyết đại số (theo nghĩa Quillen + cổ điển) theo nghĩa sau khi tensor với $\mathbb{Q}$ nó được nhúng vào $K$-lý thuyết đại số.

 

Để thuận tiện cho người đọc, mình sẽ định nghĩa lại một số nhóm cổ điển $K_0,K_1,K_2$ và một số tính chất cơ bản (không chứng minh).

 

Nhóm K_0

 

Cố định một vành $R$ (giao hoán có đơn vị). Nhắc lại rằng một module xạ ảnh là một hạng tử trực tiếp của một module tự do nào đó.

 

Định nghĩa. Nhóm $K_0(R)$ được định nghĩa bởi công thức sau

$$K_0(R) = \bigoplus \mathbb{Z}[P]/\sim,$$

trong đó tổng trực tiếp lấy trên lớp đẳng cấu các $R$-module xạ ảnh hữu hạn sinh, quan hệ $\sim$ được cho bởi $[P] + [Q] = [P \oplus Q]$. Ta cũng có thể trang bị cho $K_0(R)$ một cấu trúc vành bởi tích tensor $[P][Q] = [P \otimes Q]$, điều này có được do tích tensor của hai module xạ ảnh hữu hạn sinh cũng là một module xạ ảnh hữu hạn sinh. Như vậy thực chất $K_0(R)$ là một vành.

 

Lưu ý rằng xây dựng $K_0$ có tính hàm tử, tức là nếu $f: R \longrightarrow R'$ là một đồng cấu vành thì ta có một đồng cấu vành tự nhiên $f_*:K_0(R) \longrightarrow K_0(R')$ cho bởi phép đổi cơ sở $[P] \longmapsto [R' \otimes_R P]$. Như vậy nói chung mọi vành $R$ ta có một đồng cấu $K_0(\mathbb{Z}) \longrightarrow K_0(R)$ do $\mathbb{Z}$ là vật đầu trong phạm trù vành giao hoán.

Ví dụ.

• Khi $R=k$ là một trường thì mọi module hữu hạn sinh là một không gian vector hữu hạn chiều, xác định chính xác tới một đẳng cấu bằng số chiều. Như vậy ánh xạ $K_0(k) \longrightarrow \mathbb{R}, V \longmapsto \dim_k(V)$ là một đẳng cấu.
• Khi $R$ là một vành địa phương thì định lý của Kaplansky nói rằng mọi module xạ ảnh hữu hạn sinh trên $R$ là tự do, chứng minh $K_0(R) \simeq \mathbb{Z}$.

Giờ giả sử $R$ được nhúng vào một trường $k$ (luôn làm được ví dụ khi $R$ nguyên, $k=\mathrm{Frac}(R)$ trường các thương của $R$) thì ta có một phân tích

$$K_0(R) \simeq \mathbb{Z} \oplus \mathrm{Ker}(K_0(R) \longrightarrow \mathbb{Z})$$

do $K_0(R) \longrightarrow K_0(k)$ có một chẻ chính là đồng cấu $K_0(\mathbb{Z}) \longrightarrow K_0(R)$. Hạng tử $\mathrm{Ker}(K_0(R) \longrightarrow \mathbb{Z})$ được kí hiệu bởi $\widetilde{K_0}(R)$ và gọi là nhóm $K_0$ rút gọn của $R$.

 

Một lớp vành khác mà ta có thể tính nhóm $K_0$ là các miền Dedekind (miền Noether, đóng nguyên, chiều Krull một).

 

Mệnh đề. Cho $R$ là một miền Dedekind, khi đó $K_0(R) \simeq \mathbb{Z} \oplus \widetilde{K_0}(R)$ trong đó $\widetilde{K_0}(R)$ đẳng cấu với nhóm lớp ideal của $R$. Hơn nữa, tích hai phần tử bất kì trong nhóm rút gọn bằng không.
 

Nhóm Whitehead $K_1$

 

Cố định vành giao hoán có đơn vị $R$. Kí hiệu $GL(n,R)$ bởi nhóm tuyến tính tổng quát cỡ $n$ trên $R$. Nhóm $GL(n,R)$ được nhúng vào nhóm $GL(n+1,R)$ bởi

$$A \longmapsto \begin{pmatrix}
A & 0 \\
 0 &1
\end{pmatrix}$$

Định nghĩa nhóm tuyến tính tổng quát $GL(R)$ là giới hạn (hay hợp thành) trực tiếp của dãy $(GL(n,R))_{n \geq 0}$. Nhóm $GL(R)$ có một tính chất rất đặc biệt, đó là nhóm con $E(R)$ sinh bởi các ma trận cơ bản (elementary matrices) chính là nhóm giao hoán tử của $GL(R)$, do đó là một nhóm con chuẩn tắc.

 

Định nghĩa. Nhóm Whitehead $K_1(R)$ được định nghĩa là abel hoá $GL(R)^{ab} = GL(R)/E(R)$ của nhóm tuyến tính vô hạn.

 

Lưu ý rằng nhóm tuyến tính và phép abel hoá đều có tính hàm tử nên $K_1(-)$ có tính hàm tử.

 

Nhóm Steinberg và hàm tử $K_2$

 

Cố định một vành giao hoán có đơn vị $R$. Kí hiệu $GL(n,R)$ bởi nhóm tuyến tính tổng quát cỡ $n$ trên $R$. Với $1 \leq i,j \leq n, \lambda \in R$ ta có các ma trận sơ cấp $E^{\lambda}_{i,j}=\mathbb{1}+A^{\lambda}_{i,j}$  trong đó $A^{\lambda}_{i,j}$ có tất cả vị trí bằng $0$ ngoại trừ vị trí $(i,j)$ là $\lambda$. Có thể dễ chứng minh các đẳng thức dưới đây

$$E^{\lambda}_{i,j}E^{\mu}_{i,j} = E^{\lambda+\mu}_{i,j}, \ \ [E_{i,j}^{\lambda},E^{\mu}_{k,l}] = \begin{cases} 1 & j \neq k, i \neq l, \\ E^{\lambda \mu}_{i,l} & j = k, i\neq l, \\ E^{-\mu\lambda}_{k,j} & j\neq k, i = l. \end{cases}$$

Trong đó $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$ là giao hoán tử.

 

Định nghĩa. Với $n \geq 3$, nhóm Steinberg $St(n,R)$ được định nghĩa là nhóm tự do trên các kí hiệu $X^{\lambda}_{i,j}$ với $\lambda \in R, 1 \leq i,j \leq n$ chia thương cho quan hệ

$$X^{\lambda}_{i,j}X^{\mu}_{i,j} = X^{\lambda+\mu}_{i,j}, \ \ [X_{i,j}^{\lambda},X^{\mu}_{k,l}] = \begin{cases} 1 & j \neq k, i \neq l, \\ X^{\lambda \mu}_{i,l} & j = k, i\neq l, \\ X^{-\mu\lambda}_{k,j} & j\neq k, i = l. \end{cases}$$

Nhắc lại từ phép nhúng $GL(n,R) \longrightarrow GL(n+1,R)$ ta có phép nhúng tương ứng $St(n,R) \longrightarrow St(n+1,R)$ và do đó lấy giới hạn cho ta nhóm Steinberg vô hạn và một đồng cấu $St(R) \longrightarrow GL(R)$ thoả mãn ảnh của đồng cấu này chính là nhóm $E(R)$ các giao hoán tử của $GL(R)$.

 

Định nghĩa. Nhóm $K_2(R)$ được định nghĩa là $\mathrm{Ker}(St(R) \longrightarrow GL(R))$. Như vậy dễ thấy $K_2(-)$ có tính hàm tử.

 

Một định lý không tầm thường nói rằng là hạt nhân của $St(R)$. Như vậy $K_2(R)$ là nhóm abel và ta có một dãy khớp

$$1 \longrightarrow K_2(R) \longrightarrow St(R) \longrightarrow GL(R) \longrightarrow K_1(R) \longrightarrow 1.$$

 

(còn tiếp)