bangbang1412

Một bó bướng bỉnh... là gì?

 

Bởi Mark Andrea de Cataldo và Luca Migliorini

 

Các đa tạp được định nghĩa bằng cách dán các tập con mở của không gian Euclide. Các dạng vi phân, các trường vector, vân vân, được định nghĩa một cách địa phương và sau đó được dán để sinh ra một đối tượng toàn cục. Khái niệm bó là hiện thân của ý tưởng dán. Các bó được sinh ra theo nhiều cách: các bó của các dạng vi phân, của các trường vector, của các toán tử vi phân, các bó hằng và hằng địa phương, vân vân. Một bó hằng địa phương (một hệ địa phương) trên một không gian $X$ được xác định bởi đơn đạo của nó, i.e., bởi một biểu diễn của nhóm cơ bản $\pi_1(X,x)$ trong nhóm các tự đẳng cấu của thớ tại $x \in X$: bó của các định hướng trên dải Möbius gán $-\operatorname{Id}$ tới các phần tử sinh của nhóm cơ bản $\mathbb{Z}$. Một bó, hoặc thâm chí một cấu xạ giữa các bó, có thể được dán lại từ dữ liệu địa phương của nó: đạo hàm ngoài có thể xem như một cấu xạ giữa các bó của các dạng vi phân; việc dán là khả thi bởi vì đạo hàm ngoài độc lập với việc chọn các toạ độ địa phương.

Lý thuyết bó được hoàn thiện hơn bằng các xét các phức của các bó. Một phức của các bó $K$ là một họ các bó $\left \{K^i \right \}_{i \in \mathbb{Z}}$ và các cấu xạ $d^i: K^i \longrightarrow K^{i+1}$ thoả mãn $d^2 = 0$. Bó đối đồng điều thứ $i$ $\mathcal{H}^i(K)$ là $\operatorname{Ker} d^i/ \operatorname{Im}  d^{i+1}$. (Bó hoá của) Phức de Rham $\mathcal{E}$ là phức với các thành phần là các bó $\mathcal{E}^i$ của các $i$-dạng vi phân và các vi phân $d^i: \mathcal{E}^i \longrightarrow \mathcal{E}^{i+1}$ được cho bởi đaọ hàm ngoài của các dạng vi phân. Bằng bổ đề Poincaré, các bó đối đồng điều đều bằng không, ngoại trừ $\mathcal{H}^0 \simeq \mathbb{C}$, bó hằng.

Định lý de Rham, phát biểu rằng đối đồng điều của một bó hằng bằng với các dạng đóng modulo các dạng khớp, dẫn tới việc rằng $\mathbb{C}$ và $\mathcal{E}$ là không thể phân biệt một cách đối đồng điều với nhau, thậm chí tại mức địa phương. Nhu cầu đồng nhất hai phức chứa thông tin đối đồng điều giống nhau thông qua một đẳng cấu dẫn tới khái niệm của phạm trù dẫn xuất: các vật là các phức và các mũi tên được thiết kế để đạt được các sự đồng nhất như mong muốn. Phép nhúng các phức $\mathbb{C} \subseteq \mathcal{E}$ được thăng hạng theo sắc lệnh lên một đẳng cấu trong phạm trù dẫn xuất bởi vì nó cảm sinh một đẳng cấu ở mức của các bó đối đồng điều.

Trong khi phạm trù dẫn xuất đưa vào một lớp dày sự trừu tượng, nó mở rộng phạm vi và tính linh hoạt của lý thuyết. Ta định nghĩa các nhóm đối đồng điều của một phức và thác triển các toán tử thông thường của tô-pô đại số lên các phức của các bó: các kéo lùi, các đẩy xuôi, các tích cup và cap, vân vân. Cũng có một phiên bản tổng quát cho đối ngẫu của các phức, tổng quát hoá đối ngẫu Poincaré cổ điển.

Các bó bướng bỉnh tồn tại trên các không gian có kì dị: các không gian giải tích, các đa tạp đại số, các không gian PL, các giả-đa tạp, vân vân. Để dễ dàng trình bày, chúng ta hạn chế xuống các bó của các không gian vector trên các đa tạp đại số phức và xuống các bó bướng bỉnh liên quan đến cái được gọi là tính bướng trung tâm (tạm dịch từ middle perversity). Để tránh đụng đến các nghịch lý như các bó được định giá trên tập Cantor, chúng ta áp đặt thêm một điều kiện kĩ thuật được gọi là tính khả dựng (tạm dịch từ constructibility). Nhắc lại rằng phạm trù $D_X$ của các phức khả dựng bị chặn của các bó trên $X$ nằm trong phạm trù dẫn xuất và ổn định dưới nhiều toán tử tô-pô vừa nhắc tới ở trên. Nếu $K$ nằm trong $D_X$, chỉ một số hữu hạn các bó đối đồng điều của nó khác không và, với mọi $i$, tập hợp $\mathrm{supp} \ \mathcal{H}^i(K)$, bao đóng của tập các điểm mà tại đó thớ là khác không, là một đa tạp đại số con.

Một bó bướng bỉnh trên $X$ là một phức khả dựng bị chặn $P \in D_X$ sao cho điều kiện sau thoả mãn với $K = P$ và đối ngẫu của nó $P^{\vee}$:
\begin{equation} \dim_{\mathbb{C}} \mathrm{supp} \ \mathcal{H}^{-i}(K) \leq i, \ \ \ \forall \ i \in \mathbb{Z}.\end{equation} Một cấu xạ giữa các bó bướng bỉnh là một mũi tên trong $D_X$.

Thuật ngữ "bó" xuất phát từ sự thật rằng, cũng giống như trong trường hợp các bó thông thường, (các cấu xạ giữa) các bó bước bỉnh có thể được dán; không giống như "bướng bỉnh", xem bên dưới. Lý thuyết của các bó bướng bỉnh có nguồn gốc trong hai khái niệm là đối đồng điều giao và $\mathcal{D}$-module. Như chúng ta thấy bên dưới, các bó bướng bỉnh và các $\mathcal{D}$-module được kết nối bởi tương ứng Riemann-Hilbert.

Giờ là thời điểm cho các ví dụ. Nếu $X$ không có kì dị, thì $\mathbb{C}_X[\dim X]$, i.e., bó hằng tại bậc $-\dim_{\mathbb{C}}X$, là tự-đối ngẫu và bướng bỉnh. Nếu $Y \subseteq X$ là một đa tạp con đóng không kì dị, thì $\mathbb{C}_Y[\dim Y]$, xem như một phức trên $X$, là một bó bướng bỉnh trên $X$. Nếu $X$ có kì dị, thì $\mathbb{C}_X[\dim X]$ thường không là một bó bướng bỉnh. Mặt khác, phức đối đồng điều giao (xem bên dưới) là một bó bướng bỉnh, bất kể $X$ có kì dị hay không. Mở rộng của hai bó bướng bỉnh là một bó bướng bỉnh. Ví dụ sau có thể đóng vai trò như một trường hợp thử cho những định nghĩa đầu tiên trong lý thuyết của các $\mathcal{D}$-module. Lấy $X = \mathbb{C}$ là đường thẳng phức với gốc $\mathfrak{o} \in X$, gọi $z$ là toạ độ chỉnh hình chuẩn, gọi $\mathcal{O}_X$ là bó các hàm chỉnh hình trên $X$, gọi $a$ là một số phức, và gọi $D$ là toán tử vi phân $D:f \longmapsto zf - af'$. Phức $P_a$
\begin{equation} \label{eq:2}
    0 \longrightarrow P^{-1}_a \coloneqq \mathcal{O}_X \overset{D}{\longrightarrow} P_a^0 \coloneqq \mathcal{O}_X \longrightarrow 0
\end{equation}
là bướng bỉnh. Nếu $a \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a) = \mathbb{C}_X$ và $\mathcal{H}^0(P_a) = \mathbb{C}_0$. Nếu $a \in \mathbb{Z}^{<0}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$ là mở rộng bởi không tại $\mathfrak{o}$ của bó $\mathbb{C}_{X \setminus \mathfrak{o}}$ và $\mathcal{H}^0(P_a) = 0$. Nếu $a \notin \mathbb{Z}$, khi đó $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$ là mở rộng bởi không tại $\mathfrak{o}$ của hệ địa phương trên $X\setminus \mathfrak{o}$ được gán với các nhánh của hàm đa trị $z^a$ và $\mathcal{H}^0(P_a)=0$. Trong mỗi trường hợp, đơn đạo tương ứng gửi phần tử sinh theo hướng dương của $\pi_1(X \setminus \mathfrak{o},1)$ tới $e^{2\pi i a}$. Đối ngẫu của $P_a$ là $P_{-a}$ (điều này tương thích tốt với các khái niệm về liên hợp của  toán tử vi phân và đối ngẫu của các $\mathcal{D}$-module). Mỗi $P_a$ là mở rộng của bó bướng bỉnh $\mathcal{H}^0(P_a)[0]$ bởi bó bướng bỉnh $\mathcal{H}^{-1}(P_a)[1]$. Mở rộng là tầm thường (tổng trực tiếp) khi và chỉ khi $a \notin \mathbb{Z}$.

Một hệ địa phương trên một đa tạp không kì dị có thể biến thành một bó bướng bỉnh bằng cách xem nó như một phức với một thành phần duy nhất tại bậc hợp lý. Mặt khác, một bó bướng bỉnh hạn chế xuống một hệ địa phương trên một đa tạp con mở trù mật. Chúng ta muốn hiểu rõ khẩu hiệu sau: các bó bướng bỉnh là phiên bản kì dị của các hệ địa phương. Để làm vậy, chúng ta bàn tới hai ý tưởng tưởng phổ biến dẫn đến sự khai sinh của các bó bướng bỉnh vào khoảng ba mươi năm trước:tương ứng Riemann-Hilbert suy rộng (RH) và đối đồng điều giao (IH).

 

(RH) Vấn đề thứ 21 của Hilbert liên quan đến những phương trình vi phân kiểu-Fuchs trên một diện Riemann thủng $\Sigma$. Khi ta chạy quanh các vết thủng, các nghiệm bị biến đổi: bó của các nghiệm là một hệ địa phương trên $\Sigma$.

 

Vấn đề thứ 21 hỏi liệu rằng có phải mọi hệ địa phương đều được sinh ra theo cách này (nó thực sự sinh ra theo cách này). Bó hóa của các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính trên một đa tạp dẫn đến khai niệm của $\mathcal{D}$-module. Một $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic trên một đa tạp phức $M$ là một mở rộng của các phương trình kiểu Fuchs trên $\Sigma$. Bó của các nghiệm bây giờ được thay thế bởi phức của các nghiệm, cái mà, rất ấn tượng, thuộc vào $D_M$. Trong \ref{eq:2}, phức của các nghiệm là $P_a$, bó của các nghiệm của $D(f)=0$ là $\mathcal{H}^{-1}(P_a)$, và $\mathcal{H}^0(P_a)$ liên quan tới tính (không) giải được của $D(f)=g$. Gọi $\mathcal{D}^b_{r,h}(M)$ là phạm trù dẫn xuất bị chặn của các $\mathcal{D}$-module trên $M$ với dối đồng điều là chính quy holonomic. RH phát biểu rằng phép gán (đối ngẫu của) phức của các nghiệm cảm sinh ra một tương đương phạm trù $\mathcal{D}^b_{r,h}(M) \simeq  D_M$. Các bó bướng bỉnh bước vào trung tâm của sân khấu: chúng tương ứng với, thông qua RH, các $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic (xem như các phức tập trung tại bậc không).

 

Để thấy sự tương ứng với khẩu hiệu được nhắc đến bên trên, phạm trù của các bó bướng bỉnh có chung các tính chất hình thức sau với phạm trù các hệ địa phương: nó là Abel (các hạt nhân, đối hạt nhân, các ảnh và các đối ảnh tồn tại, và đối ảnh đẳng cấu với ảnh), ổn định dưới tác động của đối ngẫu, Noether (điều kiện xích tăng thỏa mãn), và Artin (điều kiện xích giảm thỏa mãn), i.e., mọi bó bướng bỉnh là một mở rộng liên tiếp hữu hạn lần của các bó bưởng bỉnh đơn (không vật con). Trong ví dụ của chúng ta, các bó bướng bỉnh \ref{eq:2} là đơn khi và chỉ khi $a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$.

 

Các bó bướng bỉnh đơn là gì? Đối đồng điều giao cho ta câu trả lời.

 

(IH) Các nhóm đối đồng điều giao của một đa tạp kì dị $X$ với các hệ số trong một hệ địa phương là một bất biến đại số của đa tạp đó. Chúng trùng với đối đồng điều thông thường khi $X$ không kì dị và các hệ số là hằng. Các nhóm này ban đầu được định nghĩa và nghiên cứu bằng cách sử dụng lý thuyết của các xích hình học với mục đích nghiên cứu thiếu sót, do sự hiện diện của các kì dị, của đối ngẫu Poincaré cho đồng điều thông thường, và để đưa ra một biện pháp khắc phục cho nó bằng cách xét lý thuyết đồng điều sinh ra bởi việc chỉ xét các xích mà giao với tập kì dị theo cách kiểm soát được. Trong ngữ cảnh này, những dãy số nguyên nhất định, gọi là các sự bướng bỉnh (perversities), được đưa ra để cho một phép đo rằng một xích giao với tập kì dị như thế nào, do đó mà có thuật ngữ "bướng bỉnh". Các nhóm đối đồng điều giao vừa được định nghĩa thỏa mãn các kết luận của đối ngẫu Poincaré và của định lý siêu phẳng Lefschetz.

 

Mặt khác, các nhóm đối đồng điều giao còn có thể được xem như các nhóm đồi đồng điều của một số phức nhất định trong $D_M$: các phức giao của $X$ với các hệ số trong hệ địa phương. Đó là một bước ngoặt đáng chú ý trong cốt truyện của câu chuyện này khi các bó bướng bỉnh đơn chính là các phức giao của các đa tạp con bất khả quy của $X$ với các hệ số được cho bởi các hệ địa phương đơn!

Giờ chúng ta ở chỗ phải làm rõ khẩu hiệu ban đầu. Một hệ địa phương $L$ trên một đa tạp con $Z \subset M$ sinh một $\mathcal{D}$-module chính quy holonomic được định giá trên bao đóng $\overline{Z}$. Cùng $L$ đó cho ta một phức giao của $\overline{Z}$ with các hệ số trong $L$. Cả hai đối tượng mở rộng $L$ từ $Z$ lên $\overline{Z}$ theo các kì dị $\overline{Z}\setminus Z$. Bằng RH, phức giao chính là phức của các nghiệm của $\mathcal{D}$-module này.

 

Một vai trò trụ cột trong ứng dụng của lý thuyết của các bó bướng bỉnh được thể hiện bởi định lý phân rã: cho $f: X \longrightarrow Y$ là một cấu xạ riêng của các đa tạp; khi đó các nhóm đối đồng giao của $X$ với các hệ số trong một hệ địa phương đơn đẳng cấu với tổng trực tiếp của một họ các nhóm đối đồng giao của các đa tạp đại số con của $Y$, với hệ số trong các hệ địa phương đơn. Ví dụ, nếu $f: X\longrightarrow Y$ là một giải kì dị của $Y$, khi đó các nhóm đối đồng điều giao của $Y$ là một tổng trực tiếp của các nhóm đối đồng điều thông thường của $X$. Tính chẻ ra "đơn giản-nhất-có thể" này là một sự thật sâu sắc nhất được biết đến kết nối đồng điều của các đa tạp đại số phức và các cấu xạ. Nó sai trong hình học giải tích và trong hình học đại số thực. Sự phân rã của các nhóm đối đồng điều giao của $X$ là phản ảnh trong đối đồng điều của một phân rã mịn hơn của các phức trong $D_Y$. Chứng minh ban đầu của sử dụng hình học đại số trên các trường hữu hạn (các bó bưởng bỉnh hoàn toàn có nghĩa trong nhánh này).

Một ứng dụng nổi bật của vòng tròn những ý tưởng này là sự thật rằng các nhóm đối đồng điều giao của các đa tạp (varieties) xạ ảnh có cùng các tính chất cổ điển với các nhóm đối đối đồng điều của các đa tạp (manifolds) xạ ảnh: định lý $(p,q)$-phân rã Hodge, định lý Lefschetz mạnh, và quan hệ Hodge-Riemann song tuyến tính. Điều này, chắc chắn, cùng với đối ngẫu Poincaré và định lý siêu phẳng Lefschetz bên trên.

 

Những ứng dụng của lý thuyết của các bó bướng bỉnh bao quát từ hình học tới tổ hợp tới giải tích đại số. Những ứng dụng ấn tượng nhất nằm trong địa hạt của lý thuyết biểu diễn, nơi mà sự hiện diện của chúng đã dẫn tới một cuộc cách mạng thực sự ngoạn mục: những chứng minh của giả thuyết Kazhdan-Lusztig, của hình học hóa của đẳng cấu Satake, và, gần đây, của bồ đề cơ bản trong chương trình Langlands.

 

Dịch bởi Phạm Khoa Bằng.

Cho $X = \mathbb{C}$ là mặt phẳng phức, xét ánh xạ chỉnh hình
$$f: X \longrightarrow X, z \longmapsto z^2.$$ Kí hiệu $\mathbb{C}_X$ là bó hằng với giá trị $\mathbb{C}$ trên $\mathbb{C}$.

• Cho $x \in X$, tính thớ của bó $f_*(\mathbb{C}_X)$ tại $x$, suy ra rằng bó này không hằng địa phương.
• Xét phân hoạch $X = Y \sqcup Z$ trong đó $Y = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ and $Z = \left \{0 \right \}$. Chứng minh rằng các hạn chế $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$ và $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Z}$ đều là các bó hằng địa phương (locally constant).
• Xét phương trình $2zf'(z) = f(z)$ trên $Y$, chứng minh rằng đơn đạo của phương trình này là không tầm thường. Hệ số $2$ trong $2zf'(z)$ có quan trọng không? Nếu thay đổi bằng một số không nguyên thì đơn đạo thay đổi như thế nào?

Phần tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng $\mathbb{C}_Y$ là một hạng tử trực tiếp của $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$. Định nghĩa bó $\mathcal{Q}$ trên $\mathbb{C}^{\times} = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ bởi
$$\mathcal{Q}(U) = \left \{g: U \longrightarrow \mathbb{C} \mid 2zg'(z) = g(z) \right \}$$ với mỗi tập mở $U \subset \mathbb{C}^{\times}$.

• Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ là hằng địa phương.
• Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ không hằng bằng cách chỉ ra nó không có một lát cắt toàn cục nào.
• Bằng cách xét hai cấu xạ $$\mathbb{C}_Y(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto g \circ f$$ và $$\mathcal{Q}(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto \frac{g \circ f}{z}$$ hãy chứng minh rằng $(f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y) \simeq \mathbb{C}_Y \oplus \mathcal{Q}$.

Đây là một bài mình viết sau khi đi nghe seminar do giáo sư Ngô Bảo Châu báo cáo hôm 17/8 tại viện Toán học với tựa đề Perverse sheaves and fundamental lemmas tuy nhiên giáo sư không có đủ thời gian để đi vào cả hai chủ đề mà bài nói xoay quanh việc đánh giá tổng Kloosterman bằng cách chuyển ngôn ngữ hàm số sang ngôn ngữ đối đồng điều và áp dụng giả thuyết Weil. Do đó mình để tựa đề như trên. Để thuận tiện, mình sẽ sử dụng tiếng anh.

 

Follow Katz's lectures on Weil II, let me spend some momemt to recall the motivating problem: given a prime $p$ and an integer $a$ s.t. $(a,p)=1$, the Kloosterman sum is defined as the complex number

$$\mathrm{Kl}(a,p) = \sum_{(x,y) \in \mathbb{F}_p: xy = a} \operatorname{exp}\left(\frac{2\pi i}{p}(x+y) \right).$$ By an elementary argument, one can see that this sum is a real number and in the early time when Kloosterman studied the Hardy-Littlewood circle method, he wanted to bound this sum by a function of $p$.

 

Some motivations

 

(Kloosterman 1926) For any $\epsilon > 0$, we have $\left |\mathrm{Kl}(a,p) \right| < Cp^{3/4+\epsilon}$. 

Kloosterman's proof was quite elementary, however, the bound can be sharpen much more as follows.

(Weil) We have $\left |\mathrm{Kl}(a,p) \right| \leq 2\sqrt{p}$.

This estimate is a consequence of Weil's proof of the "early Riemann hypothesis". The analytic version of Kloosterman sums is

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(ax+x^{-1})}dx$$ which is clearly not convergent, but we can approximate it by $\sqrt{a}K(\sqrt{a})$ where $K$ is the Bessel function. More generally, one can consider the Kloosterman sum

$$\mathrm{Kl}(a,p) = \sum_{xy=a \in \mathbb{F}_p} \psi(x+y) = \sum_{x \in \mathbb{F}_p}\psi(ax+x^{-1})$$ for any character $\psi:\mathbb{F}_p \longrightarrow \mathbb{C}^{\times}$, i.e. $\psi(x+y)=\psi(x)\psi(y)$. Here we can also prove that $\left| \mathrm{Kl}(a,p) \right| \leq 2 \sqrt{p}$ but even more, we can prove that

$$\mathrm{Kl}(a,p) = \alpha + \overline{\alpha}$$ where $\alpha$ is a complex number with $\left| \alpha \right| = \sqrt{p}$. This remains true if we replace $p$ by some of its power. This is where algebraic geometry enters the play. The first task is to transfer functions to sheaves. At the level of sheaves, we have more operations to manipulate (at least functions do not have something like duality).  But before one can see why we have to translate everything to cohomology language, one needs to have some clues about Grothendieck's formalism of six operations in $l$-adic cohomology.

 

l-adic cohomology

 

Let's fix a finite field $k=\mathbb{F}_{q}$ (where $q = p^n$ and $p$ prime) and $X/k$ be a variety. Given an integer $n$ invertible on $k$, then we can define that derived category $D^b_c(X,\mathbb{Z}/n)$ of chain complexes (modulo quasi-isomorphisms) of etale sheaves having cohomology sheaves are constructible. If $l \neq p$ is another prime, we define

$$D^b_c(X) = D^b_c(X, \overline{\mathbb{Q}}_l) = \left( \underset{\longleftarrow}{\lim} \ D^b_c(X,\mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z}) \right) \otimes_{\mathbb{Z}_l} \overline{\mathbb{Q}}_l.$$ This definition is subtle and technical so one might follow Bhatt and Scholze's instruction to pretend that $D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ is some full subcategory of a derived category $D^b(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$. This is in fact does not cause any harm because almost every result for $D^b_c(X)$ is already true at the level $D^b_c(X,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$. As far as I understand, the dissatisfaction with this limit-taking step is one of the reasons why Scholze introduced the pro-etale site.

Denote by $\mathfrak{TR}$ to be $2$-category of essentially small triangulated categories, then the family 

$$D^b_c: \mathrm{Var}/k \longrightarrow \mathfrak{TR} \  \ X \longmapsto D^b_c(X)$$ defines a $2$-functor admitting a formalism of six operations $(f^*,f_*,f_!,f^!,\otimes,\underline{\mathrm{Hom}})$, e.g. proper + smooth base change theorems, purity, Poincare duality,...

Objects of $D^b_c(X)$ are called $\mathbb{Q}_l$-sheaves or $l$-adic sheaves. The tensor product admits a unit denoted $\mathbb{Q}_{l,X}$ corresponding to the "constant" $l$-adic sheaf. For a $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$, we define the $i$-th $l$-adic cohomology by setting

$$H^i(X \otimes_k \overline{k},\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) = \mathrm{Hom}_{D^b_c(X)}(\mathbb{Q}_{l,X},p_*\mathcal{F}[n]).$$ if $p: X \longrightarrow \mathrm{Spec}(k)$ is the structural morphism. Similarly, 

$$H^i_c(X \otimes_k \overline{k},\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) = \mathrm{Hom}_{D^b_c(X)}(\mathbb{Q}_{l,X},p_!\mathcal{F}[n]).$$ There is a subcategory of this category called smooth $l$-adic sheaves. Instead of treating (smooth) $l$-adic sheaf as complexes, we follow a shorter path:

Let $X/k$ be an algebraic variety and $\overline{x} \longrightarrow X$ be a geometric point, then there is an equivalent of categories
$$\left \{\text{etale} \ \overline{\mathbb{Q}}_l-\text{sheaves} \right \} \overset{\sim}{\longrightarrow} \left \{\text{continuous rep. of} \ \pi_1(X,\overline{x}) \ \text{of} \ \overline{\mathbb{Q}}_l-\text{vector spaces} \right \}.$$ and moreover, smooth $l$-adic sheaves correspond to those representations which are of finite dimension. The equivalence is given by sending each etale $\overline{\mathbb{Q}}_l$ to its fiber over $\overline{x}$.

Frobenii

 

During the study of this subject, I found out that the definitions of the Frobenius morphism and their traces are ambiguous, precisely, there are several definitions of Frobenii, and the question is: which one is the right one that is used in our calculations and how are they related to others? I'll discuss few approaches to this definition, the explicit one and the abstract one. We still fix $k = \mathbb{F}_q$ and $k_n= \mathbb{F}_{q^n}$, the unique finite extension of degree $n$ of $k$.

 

Explicit definition

 

Although there are some different notions, they all arise from a single one, namely, the absolute Frobenius.

Let $A/k$ be an algebra, the Frobenius endomorphism $\mathrm{Frob}:A \longrightarrow A$ is simply the ring homomorphism $a \longmapsto a^p$. This construction is carried to schemes as it should be: if $X/k$ is a scheme, then the absolute Frobenius endomorphism $\mathrm{Frob}: X \longrightarrow X$ is a homeomorphism at the level of underlying topological spaces but on the structure sheaf is $f \longmapsto f^p$. Alternatively, it is defined locally by the Frobeninus endomorphism of affine pieces.

Caution. The Frobenius endomorphism is not an isomorphism in general. 

The Frobeinus endomorphism $\mathrm{Frob}: X \longrightarrow X$ is finite of degree $q^{\dim(X)}$.

Proof. I strongly recommend you to prove this result with $X = \mathrm{Spec}(k[x_1,...,x_n])$ and move to the general case. Otherwise you can look at Milne's note.

If $f: X \longrightarrow Y$ is a morphism of $k$-schemes, then $\mathrm{Frob}_Y \circ f = f  \circ \mathrm{Frob}_X$. In other words, the Frobenius construction is natural. 

Proof. Obvious.

 

Much much more stronger is the following.

If $f: U \longrightarrow X$ is an etale morphism of $k$-varieties, then the diagarm \begin{xy}
\xymatrix {
 U \ar[r]^{\mathrm{Frob}} \ar[d]_{f} & U \ar[d]_f \\
                             X \ar[r]_{\mathrm{Frob}}  &  X
}
\end{xy}

is cartesian.

Proof. By the previous lemma, there exists a canonical morphism, which is called the relative Frobenius morphism $\mathrm{Frob}_{X/U}: U \longrightarrow X \times_X U$. Note that since $f$ is etale, its base change, the projection onto the first factor $pr_X: X \times_X U \longrightarrow X$ is also etale. But $pr_X \circ \mathrm{Frob}_{X/U} = f$ so that $\mathrm{Frob}_{X/U}$ is etale. The absolute Frobenii are universally bijective (as noted in the definition), this forces $\mathrm{Frob}_{X/U}$ to be universally bijective. A morphism which is universally bijective and etale must be an isomorphism due to StackProject.

We can consider others Frobenii

• The relative Frobenius $\mathrm{Frob}_r = \mathrm{Frob}_X \times \mathrm{id}_{\overline{k}}: X \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$. This one is a special case of the one in the proof above.
• The arithmetic Frobenius $\mathrm{Frob}_a = \mathrm{id}_X \times \mathrm{Frob}_{\overline{k}}:X \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$.
• The geometric Frobenius $\mathrm{Frob}_g = \mathrm{id}_X \times \mathrm{Frob}_{\overline{k}}^{-1}:X \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$.

The relative and arithmetic are automorphisms while the geometric and the absolute are not.

Given a variety $X/k$, then we have $X(k_r)  = \overline{X}^{\mathrm{Frob}_r^n}$ where the relative Frobenius acts on $\overline{X}$ on the first factor. In other words, the set of $k_n$-points of $X$ is the set of closed points of $\overline{X}$ which is fixed under the $r$-iteration of the Frobenius.

Proof. Check on affine pieces.  

 

The next point is to formulate the Grothendieck trace formula, which (I think people may not drop this point at the first reading) is our main tool of computation. We have to find a natural way to define an endormophism, denoted $\mathrm{Frob}^*$

$$\mathrm{Frob}^*: H^i_c(X \otimes_k \overline{k}, \mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) \longrightarrow H^i_c(X \otimes_k \overline{k}, \mathcal{F} \otimes_k \overline{k})$$ for every $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$ and its pullback $\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}$ to $X \otimes_k \overline{k}$.

 

Think topologically and remember how people thought about sheaves in the beginning days. Well, sheaves are actually sheaves of sections of etale spaces (by this, I really mean we have some equivalence of categories), the same thing happens here: for every $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$ on $X$, there exists an algebraic space (which plays the role of an etale space in the topological world) $[\mathcal{F}]$ together with an etale morphism $f: [\mathcal{F}] \longrightarrow X$ such that $\mathcal{F}$ becomes the sheaf of sections of this morphism. As a consequence, we may identify $\mathcal{F}$ with $[\mathcal{F}]$. By base change, we obtain an etale morphism $f \otimes_k \overline{k}: [\mathcal{F}] \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$ and in a similar to the theorem above, the diagram

\begin{xy}
\xymatrix {
\overline{\mathcal{F}} = \mathcal{F} \otimes_k \overline{k} \ar[r]^{\mathrm{Frob}} \ar[d]_{f} & \overline{\mathcal{F}} \ar[d]_f \\
                             X \ar[r]_{\mathrm{Frob}}  &  X
}
\end{xy}

is cartesian. That being said, $\overline{\mathcal{F}} \simeq  \mathrm{Frob}^*\overline{\mathcal{F}}$ where by $\mathrm{Frob}^*$ I really mean pullback of a sheaf. This isomorphism yields two important facts:

• The composition $$\mathrm{Frob}^*: H_c^i(X \otimes_k \overline{k}, \overline{\mathcal{F}}) \longrightarrow H_c^i(X \otimes_k \overline{k},\mathrm{Frob}^*\overline{\mathcal{F}}) \simeq H_c^i(X \otimes_k \overline{k}, \overline{\mathcal{F}})$$ is the one that we are seeking, where the first morphism is the natural morphism. 
• If $x \in X \otimes_k \overline{k}$ is fixed by the $n$-iteration of the absolute Frobenius, then taking stalks induces an isomorphism $\mathrm{Frob}_x^{*n}: \mathcal{F}_x \overset{\sim}{\longrightarrow} \mathcal{F}_x$.

(Grothendieck-Lefschetz trace formula). With these data, we have

$$\sum_{x \in X(k_n)}\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}_x^{*n},\mathcal{F}_x) = \sum_i (-1)^i\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^{*n},H^i_c(X \otimes_k \overline{k},\overline{\mathcal{F}})).$$ In particular, 

$$\sum_{x \in X(k)}\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}_x^{*},\mathcal{F}_x) = \sum_i (-1)^i\mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}^{*},H^i_c(X \otimes_k \overline{k},\overline{\mathcal{F}})).$$

If we set

$$\mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x) =  \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}_x^{*},\mathcal{F}_x)$$ for each $x \in X(k)$, then this constitues a function

$$\mathrm{Trace}: X(k) \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l = \mathbb{C}$$ with the following properties

• For any $x \in X(k)$ and $\mathcal{F},\mathcal{G} \in D^b_c(X)$ $$\mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x)\mathrm{Trace}_{\mathcal{G}}(x) = \mathrm{Trace}_{\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}}(x).$$
• For any morphism of $k$-varieties $f: X \longrightarrow Y$ $$\mathrm{Trace}_{f^*\mathcal{F}}(x)  = \mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(f(x)).$$
• For any $y \in Y(k)$ then $$\sum_{x \in X_y(k)} \mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x) = \mathrm{Trace}_{f_!\mathcal{F}}(y).$$

Katz's point of view

 

Given a connected variety $X/k$ and for any point $x: k_r \longrightarrow X$, we get an induced group homomorphism

$$x_*: \pi_1(k_r,\overline{k}) \longrightarrow \pi_1(X,\overline{k})$$ by the functoriality of the etale fundamental group functor. Since $\pi_1(k_r)$ contains the Frobenius automorphism $\mathrm{Frob}_{k_r}: \overline{k} \longrightarrow \overline{k}, a \mapsto a^{\left| k_r \right|}$, we can consider its image via $x_*$ and set

$$x_*(\mathrm{Frob}_{k_r}) = \mathrm{Frob}_{k_r,x}.$$ Now given a smooth $l$-adic sheaf, i.e. a finitely dimensional representation 

$$\mathcal{F}: \pi_1(X) \longrightarrow \mathrm{GL}(r,\overline{\mathbb{Q}}_l),$$ and a $k$-point $x: k \longrightarrow X$ then it makes sense to consider the trace of the automorphism $\mathrm{Trace}(\mathcal{F}(\mathrm{Frob}_{k,x}))$ which is nothing but $\mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x)$ considered before. However, I do not have any reference for this.

 

Artin-Schreier theory

 

Ta đã biết rằng các phạm trù tam giác là nơi người ta làm đại số đồng điều nhưng có một vấn đề không tốt của nó là xây dựng nón (cone construction) không có tính hàm tử. Đây là chỗ tạo ra rất nhiều vấn đề thậm chí khiến người ta nghi ngờ rằng phạm trù tam giác chưa phải khái niệm đúng (ngày nay ta có các $\infty$-phạm trù ổn định và các phạm trù mô hình ổn định). Nhưng chúng ta cũng không thể định nghĩa lại phạm trù tam giác mà dùng một hàm tử nón được. Bản thân Verdier là người nghĩ ra định nghĩa đã nhận xét rằng một phạm trù tam giác mà được trang bị một hàm tử nón thì phải chẻ. Do đó nếu muốn xây dựng nón có tính hàm tử thì nó không phải một tính chất của phạm trù gốc, mà nó nằm trên một "phạm trù cao hơn". Nói khác nữa, khi nghiên cứu phạm trù tam giác (và đặc biệt hình thức luận sáu hàm tử) ta "không nên" nghiên cứu từng phạm trù đơn lẻ mà phải đi theo các họ phạm trù.

 

Một trong các cách đầu tiên được đề xuất để sửa chữa tính không-hàm tử là lý thuyết về các derivator của Grothendieck trong Pursuing Stacks năm 1983 và sau đó được công bố lại dưới tập bản thảo 2000 trang có tên Les Dérivateurs. Bài viết này của mình là một dẫn nhập về lý thuyết derivator. Một trong các cách hiểu nó là đọc lại các khái niệm trong tô-pô. Nhưng mình sẽ tiếp cận trực tiếp từ hướng trừu tượng. Ngày nay thì lý thuyết derivator đã có nhiều ứng dụng của nó, trong hạn chế hiểu biết của mình, chủ yếu là để sửa tính không hàm tử của rất nhiều xây dựng. Ví dụ trong đối đồng điều étale người ta hay bảo lấy chu trình triệt tiêu (vanishing cycles) là xây dựng nón của hàm tử đồng nhất và chu trình nearby (nearby cycles) là sai. Thực chất nó không là hàm tử, nhưng tính toán thì không thực sự tạo ra vấn đề.

 

Các động lực ban đầu của derivator có thể nói là đến từ các xây dựng trong phạm trù mô hình. Một điều mà ta rất hay gặp trong phạm trù mô hình là xây dựng của chúng quá phức tạp. Derivator là một cách để ta có thể thao tác trên sáu toán tử mà, như Joseph Ayoub nói, không bao giờ phải quay lại với phạm trù mô hình.

 

Định nghĩa và ví dụ

 

Ký hiệu $\mathrm{Cat}$ bởi $2$-phạm trù của các phạm trù nhỏ (small categories) và $\mathrm{CAT}$ bởi $2$-phạm trù của các phạm trù (với vật là phạm trù không nhất thiết nhỏ, $1$-cấu xạ là hàm tử, $2$-cấu xạ là biến đổi tự nhiên).

 

Một tiền-derivator (prederivator) $\mathbb{D}$ là một $2$-hàm tử ngặt (tất cả đẳng thức là dấu bằng, không phải đẳng cấu) $\mathbb{D}: \mathrm{Cat}^{op} \longrightarrow \mathrm{CAT}.$.

Ở đây $\mathrm{Cat}^{op}$ ta chỉ đảo chiều $1$-cấu xạ, tức là các hàm tử và giữ nguyên chiều của $2$-cấu xạ.

Hãy viết cụ thể định nghĩa này ra:

• Ở mức các vật, mỗi phạm trù nhỏ $I$ cho ta một phạm trù $\mathbb{D}(I)$.
• Với mọi hàm tử $u:I \longrightarrow J$ trong $\mathrm{Cat}$ cho ta một hàm tử $u^*:\mathbb{D}(J) \longrightarrow \mathbb{D}(I)$.
• Với mọi biến đổi tự nhiên $\alpha: u \longrightarrow v$ giữa hai hàm tử $u,v: I \longrightarrow J$ ta có một biến đổi tự nhiên $\alpha^*:u^* \longrightarrow v^*$.

Ký hiệu $\mathbf{e}$ là phạm trù gồm một vật một cấu xạ (tức là groupoid tầm thường). Nó là vật cuối trong $\mathrm{Cat}$. Ta goi phạm trù $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ là phạm trù nền của derivator $\mathbb{D}$. Hầu hết các xây dựng của ta sẽ xoay quanh phạm trù này theo một nghĩa nào đó.

 

Sau đây là các ví dụ.

• Mọi phạm trù nhỏ $I$ cho ta một derivator gọi là derivator khả diễn bởi $I$. Nó định nghĩa bởi $$I(J) = J^I = \mathrm{Func}(I,J)$$ (phạm trù các hàm tử - functor category). Với mọi hàm tử $u:J \longrightarrow J'$ ta có một hàm tử $u^*:\mathrm{Func}(I,J') \longrightarrow \mathrm{Func}(I,J)$ cho bởi phép hợp thành. Cũng bằng phép hợp thành ta có biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử. Phạm trù nền của nó $I(\mathbf{e}) = I$.
• Cho $\mathcal{A}$ là một phạm trù abel và ký hiệu $\mathbf{Ch}(\mathcal{A})$ phạm trù các xích phức kiểu đổi đồng điều không bị chặn hai đầu. Ký hiệu $\mathbf{W}$ là lớp các tựa đẳng cấu của các xích. Với mọi phạm trù nhỏ $I$ thì phạm trù $\mathcal{A}^I$ cũng là phạm trù abel. Phép gán $$\mathbb{D}_{\mathcal{A}}(I) = D(\mathcal{A}^I)$$ cho ta một prederivator trong đó $D$ ký hiệu phạm trù dẫn xuất của một phạm trù abel. Có một xây dựng khác tương đương là ta xét $\mathbf{Ch}(\mathcal{A})^I$ như một phạm trù mô hình trong đó các đồng luân yếu là các biến đổi tự nhiên mà là tựa đẳng cấu tại mọi bậc. Ký hiệu lớp các đồng luân yếu này bởi $\mathbf{W}^I$ thì ta có $$\mathbb{D}_{\mathcal{A}}(I) \simeq \mathbf{Ch}(\mathcal{A})^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$
• Ký hiệu $\mathbf{Top}$ bởi phạm trù các không gian tô-pô. Ta gọi một ánh xạ liên tục $f: X \longrightarrow Y$ là một tương đương đồng luân yếu nếu $f_n: \pi_n(X,x_0) \longrightarrow \pi_n(Y,f(x_0))$ là đẳng cấu với mọi $x_0 \in X$ và $n \geq 0$. Ta biết rằng $\mathbf{Top}$ là một phạm trù mô hình với các đồng luân yếu chính là các tương đương đồng luân yếu. Không những vậy, với mọi phạm trù nhỏ $I$ thì phạm trù $\mathbf{Top}^I$ cũng là một phạm trù mô hình trong đó một đồng luân yếu giữa hai hàm tử $u,v: I \longrightarrow \mathbf{Top}$ là một biến đổi tự nhiên mà là đồng luân yếu tại mọi vị trí. Điều này giống với trường hợp ở trên. Do đó ta có một prederivator $$\mathbb{D}_{\mathbf{Top}}(I) = \mathbf{Top}^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$
• Cả hai trường hợp trên nằm trong một xây dựng tổng quát hơn. Cho $\mathcal{M}$ là một phạm trù mô hình với lớp đồng luân yếu ký hiệu bởi $\mathbf{W}$. Để tốt cho các xây dựng, ta giả sử $\mathcal{M}$ sinh bởi các đối phân thớ (cofibrantly generated model category) khi đó với mỗi phạm trù nhỏ ta có một phạm trù $\mathcal{M}^I$ là phạm trù mô hình với các đồng luân yếu là các biến đổi tự nhiên và là đồng luân yếu tại mỗi bậc, ta ký hiệu lớp này bởi $\mathbf{W}^I$. Khi đó ta có một prederivator $$\mathbf{Ho}_{\mathcal{M}}(I) = \mathcal{M}^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$ Phạm trù nền của prederivator này hiển nhiên là chính $\mathcal{M}$.

 

Giờ ta sẽ thấy mỗi prederivator khi tính trên từng phạm trù nhỏ $I$ sẽ cho ta một biểu đồ trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$. Xây dựng này như sau: lấy $i \in I$ là một vật thì nó có thể xem như một hàm tử $i:\mathbf{e} \longrightarrow I$. Một cấu xạ $i \longrightarrow j$ trong $I$ có thể xem như một biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử $i \Rightarrow j: \mathbf{e} \longrightarrow I$. Khi đó mỗi cấu xạ $i \longrightarrow j$ cho ta một biến đổi tự nhiên $\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(\mathbf{e})$. Nói cách khác, ta có một hàm tử

$$\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathrm{Func}\left(I^{op},\mathbb{D}(\mathbf{e}) \right).$$ Hàm tử này cho ta một biểu đồ hình $I^{op}$ ở trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$. Nhưng lưu ý: hàm tử này hầu như không bao giờ là đẳng cấu.

 

Để đi đến các phiên bản hoàn chỉnh của derivator, ta cần thêm ít nhất hai hàm tử nữa.

 

Cho $\mathbb{D}$ là một prederivator và $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử. Ta nói

• $\mathbb{D}$ nhận một mở rộng Kan trái theo $u$ nếu tồn tại một cặp liên hợp $(u_{\#} \dashv u^*):\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(J)$.
• $\mathbb{D}$ nhận một mở rộng Kan phải theo $u$ nếu tồn tại một cặp liên hợp $(u^* \dashv u_*):\mathbb{D}(J) \longrightarrow \mathbb{D}(I)$.

 

Tuy nhiên mở rộng Kan không đi theo một nghĩa thông thường mà nó phải thỏa mãn một số luật base change. Ta hãy quay lại phạm trù các vật đơn hình từng được xem xét ở đây. Trong ví dụ 7 ta đã biết rằng có một cặp liên hợp $(u_{\#} \dashv u^*)$ (trong bài đó ký hiệu $u_!$ thay vì $u_{\#}$, nhưng minh sẽ giải thích sau tại sao $u_{\#}$ là ký hiệu tốt hơn) và quan trọng hơn $u_{\#}$ có thể tính như một đối giới hạn trên một phạm trù slice nào đó. Điều này khiến ta quan tâm tới các biểu đồ sau: cho $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử và $j :\mathbf{e} \longrightarrow J$ là một vật.

\begin{CD} u/j @>p>> I\\@V\pi_{u/j}VV @VVuV\\ \mathbf{e} @>j>> J \end{CD}

và

\begin{CD} j/u @>q>> I\\@V\pi_{u/j}VV @VVuV\\ \mathbf{e} @>j>> J \end{CD}

trong đó

• $u/j$ có vật là các cặp $(i,f:u(i) \longrightarrow j)$.
• $j/u$ có vật là các cặp $(i,f:j \longrightarrow u(i))$.

Nói riêng ta có các cấu xạ đổi cơ sở $\pi_{\#}p^* \longrightarrow j^*u_{\#}$

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(\mathbf{e}) & \mathbb{D}(u/j)  \ar[l]_{\pi_{\#}} & \mathbb{D}(I) \ar[l]_{p^*}  & \\
                                     & \mathbb{D}(\mathbf{e}) \ar[u]^{\pi^*} \ar@/^1pc/[ul]^{\mathrm{id}}  & \mathbb{D}(J) \ar[u]_{u^*} \ar[l]_{j^*} & \mathbb{D}(I) \ar[l]^{u_{\#}} \ar@/_1pc/[ul]_{\mathrm{id}}
}
\end{xy}

Tương tự ta có một cấu xạ đổi cơ sở $j^*u_* \longrightarrow \pi_* q^*$.

Một tiền derivator là một derivator nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

• (Đối tích sang tích) $\mathbb{D}$ gửi đối tích sang tích. Nói cách khác, ta có một tương đương phạm trù $\mathbb{D}\big(\coprod_{i \in I}A_i \big) \simeq \prod_{i\in I}\mathbb{D}(A_i).$ Nói riêng ta có $\mathbb{D}(\varnothing) = \mathbf{e}.$
• (Đẳng cấu kiểm tra qua thớ) Một cấu xạ $f: X \longrightarrow Y$ trong $\mathbb{D}(I)$ là đẳng cấu khi và chỉ khi kéo lùi của nó qua tất cả các vật là đẳng cấu, i.e. $f_i: X_i \longrightarrow Y_i$ là đẳng cấu trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ trong đó $X_i = i^*X$.
• (Tồn tại các mở rộng Kan) $\mathbb{D}$ nhận mở rộng Kan trái và phải theo mọi hàm tử $u: I \longrightarrow J$.
• (Các định lý đổi cơ sở) Xét các biểu đồ giao hoán như trên khi đó các cấu xạ đổi cơ sở $$\pi_{\#}p^* \longrightarrow j^*u_{\#} \ \  j^*u_* \longrightarrow \pi_* q^*$$ là đẳng cấu.

Giờ chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về các derivator

• Với mọi phạm trù mô hình $\mathcal{M}$ sinh bởi các đối phân thớ thì $\mathbf{Ho}_{\mathcal{M}}(-)$ là một derivator.
• Một mô hình khác xuất phát từ tô-pô: xét $\mathbf{Top}_{\bullet}$ là phạm trù các không gian tô-pô định điểm (pointed topological spaces). Một phổ các không gian tô-pô là một họ $(X_n)_{n \geq 0}$ các không gian tô-pô cùng với các ánh xạ nối $\Sigma X_n \longrightarrow X_{n+1}$. Một cấu xạ giữa hai phổ là một họ cấu xạ giữa từng bậc làm giao hoán các cấu xạ nối. Một phổ được gọi là $\Omega$-phổ nếu liên hợp của các cấu xạ nối $X_n \longrightarrow \Omega X_{n+1}$ là các đồng luân yếu. Cho trước một phổ $X=(X_n)$, ta định nghĩa nhóm đồng luân ổn định của nó bởi $$\pi_{n}^{st}(X) = \mathrm{colim}_a \pi_{n+a}(X_a)$$ trong đó đối giới hạn này có nghĩa do ta có các cấu xạ $$[S^{n+a},X_n] \longrightarrow [S^{n+a+1},\Sigma X_n] \longrightarrow [S^{n+a+1},X_{n+1}].$$ Một cấu xạ được gọi là một tương đương đồng luân ổn định nếu nó cảm sinh đẳng cấu trên tất cả các nhóm đồng luân ổn định. Phạm trù đồng luân của nó chính là phạm trù đồng luân ổn định trong tô-pô. Phạm trù này sinh bởi các đối phân thớ và do đó theo ví dụ trên cho ta một derivator gắn với nó.
• Nếu $\mathbb{D}$ là một derivator thì với mọi $I$, pre-derivator $\mathbb{D}_I(J) = \mathbb{D}(I \times J)$ cũng là một derivator. Hơn nữa ta còn có một hàm tử $I$-dạng $$\mathbb{D}(I \times J) \longrightarrow \mathrm{Func}(I^{op},\mathbb{D}(J)).$$

Sau đây là một số tính chất cơ bản của derivator

Cho $\mathbb{D}$ là một derivator, khi đó $\mathbb{D}(I)$ có vật đầu và vật cuối với mọi $I$. Tổng quát hơn, $\mathbb{D}(I)$ là đầy đủ và đối đầy đủ.

Cho $S$ là một tập hợp xem như một phạm trù rời rạc, khi đó ta có một biểu đồ giao hoán

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(\coprod_{s \in S}I) \ar[r] \ar[d] & \prod_{s \in S}\mathbb{D}(I) \ar[d]   \\
                              \mathbb{D}(S \times I) \ar[r]  & \mathrm{Func}(S^{op},\mathbb{D}(I))
}
\end{xy}

trong đó theo tiên đề của derivator thì hàng ngang bên trên là tương đương, và hai cột dọc là tương đương theo nghĩa hiển nhiên. Do đó hàng ngang bên dưới, tức là hàm tử $S$-dạng là tương đương. Ta lại có một biểu đồ

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(S \times I) \ar[r] \ar[d]_{(pr_2)^*} & \mathrm{Func}(S^{op},\mathbb{D}(I)) \\
                              \mathbb{D}(I) \ar[r]_{\mathrm{id}}  & \mathbb{D}(I) \ar[u]^{\Delta}
}
\end{xy}

giao hoán trong đó $\Delta$ là hàm tử đường chéo. Nhưng do $(pr_1)^*$ nhạn cả mở rộng Kan trái lẫn phải (tức là liên hợp trái lẫn phải) nên hàm tử đường chéo cũng phải nhận cả liên hợp trái lẫn phải. Tức là tồn tại cả tích và đối tích theo tập chỉ số $S$.

Phỏng vấn với Joseph Ayoub

 

 ayoub-1.jpg   47.73K   21 Số lần tải

 

Joseph Ayoub, Giáo sư ngành Toán học tại Đại học Zurich, là người đầu tiên giữ ghế "Alexzandria Figueroa và Robert Penner". Ông quan tâm đến đối đồng điều của các đa tạp đại số và lý thuyết motive.

 

Ông đã bắt đầu hứng thú với toán học như thế nào?

 

Tôi đã luôn hứng thú với toán. Từ lúc bắt đầu thời thiếu niên tôi đã có những điểm số tốt trong mọi môn học nhưng toán học đã luôn là hứng thú đặc biệt của tôi: trong thời gian rảnh của tôi, tôi thưởng thức việc giải quyết các vấn đề toán học. Khi đã làm hết, tôi tự kiếm thêm những vấn đề mới. Tôi đã đặc biệt thích hình học phẳng nhưng tôi cũng đã thích tính toán các thứ khác và giải các phương trình. Trong thời gian nghỉ tôi thường biến mất vào các thư viện để tra cứu các bài báo toán học thông qua Bách Khoa Toàn Thư. Đây là cách làm thế nào tôi quen thuộc với một lượng lớn khái niệm hiện đại như bài toán phân loại các nhóm đơn. Tôi đã có thể tiếp cận một lượng không nhỏ "toán cao cấp" ở tuổi còn rất trẻ khi tôi tìm thấy vài bài báo trong kho của căn hộ nhà tôi ở Beyrouth. Chúng là các bản thảo của các bài giảng tô-pô đại cương mà bố tôi - một giáo sư toán học - đã giảng dạy ở đại học. Anh trai tôi, người là thủ thư tại bộ môn khoa học, biết vài người có thể giúp tôi chạm tay vào một bản sách Hình học Vi Phân và Không gian Đối xứng của Helgason. Tôi nhớ rằng mình đã dùng hầu hết các kỳ nghỉ hè ép buộc bản thân học quyển sách đó. Cuối cùng tôi kết thúc việc đọc từ đầu tới cuối và cảm giác rằng mình đã hiểu mọi thứ!

 

Năm 1998, ngay sau khi nhận bằng tú tài, tôi đã đủ may mắn để được nhận vào Lycée Louis-le-Grand ở Paris. Đó là khi tôi hiểu rằng bạn có thể kiếm sống bằng các nghiên cứu toán học, mà đó thật sự là một sự mặc khải cho tôi. Giáo viên toán của tôi, Hervé Gianella, người khiến tôi nhận ra điều này và khuyến khích tôi tham dự kỳ thi đầu vào của Đại học Sư Phạm Paris. Trước đó tôi mường tượng rằng bản thân mình sẽ trở thành một kỹ sư với một công việc "thực sự" và có sở thích "kỳ dị": đọc sách toán.

 

Mối liên hệ của ông với IHES là gì?

 

Lần đầu tôi nghe về IHES là do Alexandre Grothendieck. Tên của ông ấy gắn bó chặt chẽ với IHES. Theo một cách, tôi lần đầu khám phá ra IHES cùng hộ Élément de Géométrie Algébrique và "Séminaire de Géométrie Algébrique" vốn phần lớn được chuẩn bị và nháp tại IHES. Rất lâu sau đó thì tôi đến IHES, và đó là một hội nghị vinh danh Luc Illusie.

 

Tôi rất biết ơn hội đồng khoa học vì đã chọn tôi làm người đầu tiên giữ ghế Alexzandria Figueroa và Robert Penner. Đó là một vinh hạnh lớn, chắc chắn rồi, và tôi đã sẵn sàng cho thời gian tôi sẽ dành tại IHES. Tôi không biết những chuyến thăm của mình sẽ ảnh hưởng tới công việc như thế nào nhưng tôi sẽ cố thu được lợi ích tối đa từ chúng. 

 

Ông sẽ tóm tắt các cống hiến chính của mình như thế nào?

 

Trong một thời gian dài, tôi làm việc với một giả thuyết đặc biệt và quan trọng trong lý thuyết motive, nó có tên là "giả thuyết bảo toàn" (conservativity conjecture). Giả thuyết này khá dễ để phát biểu và cung cấp một cầu nối, hoặc nói đúng hơn là một con đường hai chiều giữa hai loại đối tượng khác nhau. Một cái là motive, một đối tượng hình học đại số rất màu mỡ, cái còn lại là hiện thân của nó, một đối tượng tô-pô không có thêm cấu trúc bổ sung nào.

 

Giả thuyết bảo toàn tỏ ra vô cùng khó nhằn. Tuy nhiên, tôi đã nghĩ ra một chiến lược để chứng minh nó. Thậm chí ngay cả khi tôi không thể hoàn thành nó, tôi vẫn xem cái công việc dang dở này là cống hiến quan trọng nhất của mình.

 

Điều gì truyền cảm hứng cho ông theo đuổi nghiên cứu của mình và ông thấy điều gì thú vị nhất trong công việc mình làm?

 

Điều tôi thích nhất ở toán học là tính nhất quán vốn bắt nguồn từ một lý thuyết được xây dựng tốt. Một khi quan điểm đúng được định hình thì theo sau sẽ là định nghĩa đúng, bối cảnh phù hợp, những gì tiếp theo là tất yếu và kết quả rất nhất quán. Tôi nghĩ tôi thực sự rất trân quý tính nhất quán. May mắn thay, không thiếu những lý thuyết được xây dựng tốt trong hình học đại số, điều có lẽ là một trong các di sản của Grothendieck.

 

Tôi cũng thích bước viết. Thực tế, tôi nghĩ rằng làm và viết toán là các hoạt động không thể tách rời. Chỉ khi tôi viết một bài báo mà tôi mới thực sự hiểu chứng minh của một vấn đề và các bánh răng cưa chạy trong một lý thuyết. Không may mắn thay, các câu hỏi lớn tôi định làm nói chung lại tỏ ra rất khó. Điều này tự nhiên gây ra cơn thất vọng nhưng tôi là một người lạc quan. Điều truyền cảm hứng cho tôi hiếp tục chắc chắc là hy vọng một ngày nào đó được nhìn thấy lời giải cho những câu hỏi lớn này. Một nguồn hy vọng và cảm hứng khác là để chứng kiến các bước tiến hùng vĩ trong những chủ đề và các lĩnh vực toán học khác.

 

Nguồn: https://www.ihes.fr/...h-joseph-ayoub/

Dịch: Phạm Khoa Bằng, Đại học Rennes 1.