Strygwyr

Đây chính là Vietnam TST 1994 P5, lời giải có thể tham khảo thêm ở tài liệu dưới (tr. 43-44)

 Viet Nam TST 1989-2004.PDF   1.31MB   168 Số lần tải

Bài toán :

Cho $p$ là một số nguyên tố có dạng $4k+1$ thỏa mãn $2^p\equiv 2(mod p^2)$.

Chứng minh rằng tồn tại một ước nguyên tố $q$ của $2^p-1$ thỏa mãn $2^q>(6p)^p$.

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn

$P^{2}(x)-1=4P(x^{2}-4x+1)$

#7 : http://www.artofprob...ic.php?t=316463

Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]

Iran TST 2012 - Third exam - 1st day - Problem 3

Đây là P.2 Bulgaria MO 2004, anh có thể tham khảo ở đây.

Nén lại thành file PDF cho mọi người tiện download, có cả 2 phần phía sau nữa
 DA_THUC_1.pdf   276.04K   4259 Số lần tải
 DA_THUC_2.pdf   243.16K   4135 Số lần tải
 DA_THUC_3.pdf   170.03K   9996 Số lần tải
 DA_THUC_4.pdf   185.47K   12262 Số lần tải

 dathuc.rar   811.26K   5164 Số lần tải

Câu 2.

Tìm tất cả nghiệm thực của hệ :

$$\left\{\begin{matrix} x+x^2y=y+2\\ (2x+y)^2+3y^2=12 \end{matrix}\right.$$

Bài hệ chắc là có cách cần cù bù khả năng

Ta có :

$$\left\{\begin{matrix} x+x^2y=y+2\\ (2x+y)^2+3y^2=12 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y(x^{2}-1)=2-x(1)\\ x^2+xy+y^2=3(2) \end{matrix}\right.$$

Dễ thấy $x=\pm 1$ không phải là nghiệm nên từ ($1$) suy ra

$y=\frac{2-x}{x^{2}-1}$

Thay vào ($2$) suy ra được :

$$x^2+\frac{(2-x)x}{x^{2}-1}+\frac{(2-x)^2}{(x^{2}-1)^2}=3$$

$$\Leftrightarrow x^6-6x^4+2x^3+9x^2-6x+1=0$$

$$\Leftrightarrow x^2(x^2-3)^2+2x(x^2-3)+1=0$$

$$\Leftrightarrow (x(x^2-3)+1)^2=0$$

$$\Leftrightarrow x^3-3x=-1$$

Đặt $x=2t$, suy ra

$$4t^3-3t=-\frac{1}{2}$$

Đặt $t=cosy$, suy ra $$4t^3-3t=cos3y$$

Do đó :

$cos3y=-\frac{1}{2}=cos\frac{2\pi}{3}$

$\Leftrightarrow y=\frac{2\pi}{9},y=\frac{5\pi}{9},y=\frac{8\pi}{9}$

$\Leftrightarrow t=cos\frac{2\pi}{9},t=cos\frac{5\pi}{9},t=cos\frac{8\pi}{9}$

$\Leftrightarrow x=2cos\frac{2\pi}{9},x=2cos\frac{5\pi}{9},x=2cos\frac{8\pi}{9}$

Thay vào tính $y$, ta được :

$y=\frac{2(1-cos\frac{2\pi}{9})}{4cos^2\frac{2\pi}{9}-1}$

$y=\frac{2(1-cos\frac{5\pi}{9})}{4cos^2\frac{5\pi}{9}-1}$

$y=\frac{2(1-cos\frac{8\pi}{9})}{4cos^2\frac{8\pi}{9}-1}$

Bài toán :

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn

$(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=4$

Tìm GTNN của biểu thức

$P=(a^{4}+b^{4}+c^{4})(\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{c^{4}})$

(Đề chọn đội tuyển HSG Phú Thọ vòng 1 năm 2013-2014)

Bài toán :

Cho tam giác $ABC$ và một điểm $D$ bất kì thuộc mặt phẳng sao cho $\widehat{DBA}=\widehat{DCA}=\widehat{BAC}$. Chứng minh rằng $D$ thuộc đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC$.

Bài toán :

Cho $T$ là điểm $Toricelli$ của tam giác nhọn $ABC$. $AT,BT,CT$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $A_0,B_0,C_0$. Các điểm $A_1,B_1,C_1$ lần lượt đối xứng với $T$ qua $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $A_0A_1, B_0B_1, C_0C_1$ đồng quy.

Bài toán :

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Một đường thẳng qua $A$ cắt tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ ở $M,N$ và cắt $(O)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của $BN$ và $CM$. Chứng minh $EF$ đi qua một điểm cố định khi đường thẳng qua $A$ thay đổi.

Một vài số nguyên dương được viết lên một hàng, Annie chọn 2 số kề nhau $x,y$ sao cho $x>y$ và $x$ ở bên trái $y$, thay thế $\left ( x,y \right )$ thành $\left ( y+1,x \right )$ hoặc $\left ( x-1,x \right )$. CMR Annie chỉ có thể thực hiện việc này một số lần xác định

($C_1$ IMO shorlist 2012)

Tự mà dịch đi này, đề đúng là Alice chứ không phải Annie đâu nhé :3

http://www.artofprob...6ec8cd#p3160559

Một vài bài toán về phương trình nghiệm nguyên trong Asian Pacific Mathematical Olympiad 

Bài 180 : Chứng minh rằng phương trình :

$6(6a^{2}+3b^{2}+c^{2})=5n^{2}$

không có nghiệm tự nhiên, ngoại trừ nghiệm $a=b=c=n=0$

(APMO 1989)

Bài 181 : Xác định các số nguyên dương $n$ để phương trình :

$x^{n}+(2+x)^{n}+(2-x)^{n}=0$

có một nghiệm nguyên duy nhất.

(APMO 1993)

Bài 182 : Tìm các số tự nhiên $a_1,a_2,...a_9$ là một trong các số $1,2,...,9$ thỏa mãn :

$i. a_1+a_2+a_3+a_4=a_4+a_5+a_6+a_7=a_7+a_8+a_9+a_1$

$ii. a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}+a_4^{2}=a_4^{2}+a_5^{2}+a_6^{2}+a_7^{2}=a_7^{2}+a_8^{2}+a_9^{2}+a_1^{2}$

(APMO 2000)

Bài 183 : Cho các số nguyên dương $a,b,c$. Chứng minh không tồn tại $a,b,c$ sao cho các số $a^{2}+b+c$, $b^{2}+c+a$ và $c^{2}+a+b$ đều là các số chính phương.

(APMO 2011)

Nâng trình độ lên nào, bây giờ là Balkan MO

Bài 174 : Cho các số nguyên dương $a,b,c$. Tìm tất cả nghiêm thực $x,y,z$ của hệ phương trình :

(Balkan MO 1984)

Bài 175 : Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $m$ khác $1$. Chứng minh rằng phương trình : 

$\frac{x^{p}+y^{p}}{2}=(\frac{x+y}{2})^{m}$

có nghiệm nguyên dương $(x,y)\neq (1,1)$ khi và chỉ khi $m=p$.

(Balkan MO 1993)

Bài 176 : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên

$x^{2}+4=y^{5}$

(Balkan MO 1998)

Bài 177 : Giải phương trình sau với nghiệm $x,y$ nguyên tố :

$x^{y}-y^{x}=xy^{2}-19$

(Balkan MO 2004)

Bài 178 : Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $p^{2}-p+1$ là lập phương của một số nguyên dương.

(Balkan MO 2005)

Bài 179 : Giải phương trình sau với nghiệm $x,y,z$ nguyên dương :

$3^{x}-5^{y}=z^{2}$

(Balkan MO 2009)

ta có $(x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2=x^4+y^4+z^4+2000$ rõ ràng vế trái < vế phải

Cho $a=b=c$ thì vế trái $<$ vế phải.

Cho $a=9b=9c$ thì vế trái $>$ vế phải.

Do đó, ta không thể đánh giá bằng bất đẳng thức được.

Một cách giải khá hay bên mathlinks

Giải

Sử dụng kết quả hiển nhiên $x^{4}\equiv x^{2} (mod 3)$ với mọi $x$ nguyên, ta có :