kb1212

Cho a, b, c là các số nguyên và p là một số nguyên tố lẻ.CMR

$\left ( a+b+c \right )^{p}+\left ( a-b-c \right )^{p}+\left ( b-c-a \right )^{p}+\left ( c-a-b \right )^{p}\vdots 8pabc$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I). Đường tròn bằng tiếp góc A tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại K, N, M. Gọi P là trung điểm của KM. Chứng minh rằng nếu P thuộc đường tròn (O) thì I, O, N thẳng hàng. 

cho n là số tự nhiên không nhỏ hơn 3. tìm tất cả đa thức hệ số thực $P(x)=a_{0}+a_{1} x+...+a_{n} x^{n}$ có n nghiệm không lớn hơn -1 và thỏa mãn điều kiện $a_{0} ^{2}+a_{1} a_{n}=a_{n} ^{2}+a_{0} a_{n-1}$.

cho đa thức $P(x)=x^{2}+x+1$

a) chứng minh tồn tại vô số số nguyên tố p sao cho tồn tại số nguyên n để  P(n) chia hết cho p là vô hạn

b) chứng minh tồn tại vô số số nguyên n để P(1)P(2)...P(n) không chia hết cho P(n+1)

Cho dãy $(x_{n})$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=x_{2}=1\\ x_{n+2}=7x_{n+1}-x_{n}-2 \end{matrix}\right.$

chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy là số chính phương

Cái vụ đường kính EF vẽ sao tiếp xúc được bạn? Hay bạn đo độ dài từng cạnh nói mình được không?

mình vẽ đường tròn trước rồi vẽ hai tiếp tuyến. Vẽ một đường kính nào đó cắt 2 tiếp tuyến đó là được

Cho tam giác $ABC$, $E$ và $F$ là hai điểm trên cạnh $BC$ ($E$ nằm giữa $B$ và $F$) sao cho đường tròn đường kính $EF$ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$.$EQ$ và $FP$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng $K$ nằm trên đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$ của tam giác $ABC$

(mình ko bít vẽ hình bằng máy, bạn tự vẽ hình)

Gọi T là giao điểm của EP và FQ

ta có: $\angle EQF=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\angle EPF=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

vậy K là trực tâm của tam giác TEF suy ra TK vuông góc với EF. Gọi H là chân đường cao.

gọi O là trung điểm EF. A' là trung điểm TK.

tam giác TPK vuông tại P suy ra PA'=0,5TK=A'K suy ra tam giác A'PK cân tại A'.

suy ra $\angle A'PK=\angle A'KP=\angle HKF$ mà $\angle OPK=\angle OFP$

suy ra $\angle OPA'=\angle OPK+\angle A'PK=\angle HKF+\angle HFK=90^{o}$

suy ra A'P là tiếp tuyến của (O)

tương tự ta có A'Q là tiếp tuyến của (O). suy ra A' là giao điểm hai tiếp tuyến tại P, Q của (O)

vậy A' trùng với A. Suy ra A thuộc TK vuông góc với EF hay AK vuông góc với EF (đpcm)

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa điều kiện $a+b+c=3\sqrt[3]{4}$

Tim min và max của biểu thức $P=a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}$

(bài này tìm min rất dễ, tìm max mới khó! Mong mọi người chỉ giáo  )

     $\sqrt{x^{2}+z^{2}}\leq x+\frac{z}{2}$

       

bạn giải thích rõ dòng này đc ko?

Cho tam giác ABC, đường tròn tâm I nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F, BI cắt EF tại P. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA. Chứng minh M, N, P thẳng hàng.