Huuduc921996

 xét hàm số $f(t)=t^3+4t$

$f'(t)=3t^2+4>0$ với mọi t thuộc R suy ra hàm f(t) đồng biến ,kết hợp phương trình đầu

suy ra x=y thế vào pt 2 xong

Bạn lạm dụng hàm sô quá nhỉ??

Nhưng bạn xét hàm nhầm rồi!!! Phải là $f(t)=t^3-4t$ Lấy điều kiện phương trình (2) thì hàm số này nghịch biến. OK

chổ đó hình như có vấn đề.

Nếu 0<x,y<1 thì không thỏa mãn.

Sao lại không đúng? Sử dụng $x^2+y^2\geq 2xy$ thì đúng cho mọi x,y

Vì $x^2+y^2 = 2x^2y^2$ nên ta có như vậy!

Nếu bạn bắt bẻ như vậy thì đẳng thức $x^2+y^2 = 2x^2y^2$ chưa chắc đã xảy ra.

Giải phương trình:

• $$a)x+4\sqrt{x+3}+2\sqrt{3-2x}=11$$

$x+4\sqrt{x+3}+2\sqrt{3-2x}=11\\\Leftrightarrow (x+3-4\sqrt{x+3}+4) + (3-2x-2\sqrt{3-2x}+1)=0\\\Leftrightarrow (\sqrt{x+3}-2)^2+(\sqrt{3-2x}-1)^2=0\\\Leftrightarrow x=1$

Bài 2,

$x^{2}-4x+2=\sqrt{x+2}\\\Leftrightarrow (2x-4)^2-8=2\sqrt{2x-4+8}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2x-4=u\\ \sqrt{2x-4+8}=v \end{matrix}\right.$

Thì ta được: $\left\{\begin{matrix} u^2-8=2v\\ v^2-8=2u \end{matrix}\right.$

Đến đây là hệ đối xứng loại 2. Đem trừ vế với vế là OK.

Vậy..........

1)

Có thể dùng hàm số xét hàm $f(t)=t^4-4t$ với $t\in [-1;1]$ thì hàm số luôn nghịch biến.

Hoặc pt(1) có thể chuyển vế đặt nhân tử chung và đánh giá với $-1\leq x,y\leq 1$

thì được x=y thế vào (2) là được.

Vậy..........

Từ phương trình đầu thì $2x-y+1=0$ hoặc $x-y+1=0$

-Nếu $x-y+1=0= > y=x+1$. Thay vào pt thứ 2 ta được :$4x^2-(x+1)^2+x+4=\sqrt{2x+x+1}+\sqrt{x+4(x+1)}< = > 3x^2-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}< = >(3x^2-x-2)+(2-\sqrt{3x+1})+(3-\sqrt{5x+4})=0< = > $(x-1)(3x+2-\frac{3}{2+\sqrt{3x+1}}-\frac{5}{3+\sqrt{5x+4}})=0(1)< = > x=1$

-Nếu $2x-y+1=0< = > y=2x+1$ .Thay vào pt thứ 2 ta được :$4x^2-(2x+1)^2+x+4=\sqrt{2x+2x+1}+\sqrt{x+4(2x+1)}< = > 3-3x=\sqrt{4x+1}+\sqrt{9x+4}< = > 3x+(\sqrt{4x+1}-1)+(\sqrt{9x+4}-2)=0< = > x(3+\frac{4}{1+\sqrt{4x+1}}+\frac{9}{\sqrt{9x+4}+2})=0< = > x=0= > y=1$

Chỗ dấu đỏ là chưa đúng.

$(1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ 3x+2=\frac{3}{2+\sqrt{3x+1}}+\frac{5}{3+\sqrt{5x+4}}(2) \end{matrix}\right.$

Với x>0 thì VT(2)>2 ; VP(2)<2 --> vô nghiệm

Với x<0 thì VT(2)<2 ; VP(2)>2 ---> vô nghiệm

Với x=0 thì VT(2)=VP(2)=2

$\Rightarrow$ phương trình (2) có nghiệm duy nhất x=0 --> nghiệm của hệ ...............

......

Vậy.......

Câu 2:

$\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}(1)\\\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+12}-4=3(x-2)+\sqrt{x^{2}+5}-3\\\Leftrightarrow \frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}=3(x-2)+ \frac{x^2-4}{\sqrt{x^{2}+5}+3}\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2 \\ \frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}=3+\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}(2) \end{matrix}\right.$

Đánh giá:

$(1)\Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x^2+12}+\sqrt{x^2+5}}+5=3x$

$\Rightarrow$ Dk để pt có nghiệm là x>0

Vì $\sqrt{x^2+12}+4> \sqrt{x^2+5}+3$

nên pt (2) vô nghiệm

Vậy.....

Giải HPT:

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+3=4x & \\ x^3+y^3+12x=6x^2+9 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+3=4x & \\ x^3+y^3+12x=6x^2+9 & \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-2)^2+y^2=1\\ (x-2)^3+y^3=1 \end{matrix}\right.$

Đặt $x-2=t$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} t^2+y^2=1\\t^3+y^3=1 \end{matrix}\right.$

OK. Đây là hệ đối xứng kiểu 2. Đem trừ vế theo vế là được.

Vậy............

Giải hệ

                  $\left\{\begin{matrix} 4x\sqrt{y+1}+8x=(4x^2-4x-3)\sqrt{x+1}(1)\\ x^2+\frac{x}{x+1}=(y+2)\sqrt{(x+1)(y+1)}(2) \end{matrix}\right.$

Đk: x>-1; y$\geq$-1

Ta có:

$x^2+\frac{x}{x+1}=(y+2)\sqrt{(x+1)(y+1)}\\ \Leftrightarrow \frac{x^2}{\sqrt{x+1}}+\frac{x}{(x+1)\sqrt{x+1}}=(y+2)\sqrt{(y+1)}\\ \Leftrightarrow \frac{x^3+x^2+x}{(x+1)\sqrt{x+1}}=(y+2)\sqrt{(y+1)}\\ \Leftrightarrow \left (\frac{x}{\sqrt{x+1}} \right )^{3}+\frac{x}{\sqrt{x+1}}=\left ( \sqrt{y+1} \right )^3+\sqrt{y+1}\\ \Leftrightarrow f(\frac{x}{\sqrt{x+1}})=f(\sqrt{y+1})$

Với $f(t)=t^3+t\\ f'(t)=3t^2+1> 0$

$\rightarrow$ f(t) là hàm số đồng biến

Vậy (2) $\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{y+1}$

Thế vào (1), ta có:

$4x\frac{x}{\sqrt{x+1}}+8x=(4x^2-4x-3)\sqrt{x+1}\\ \Leftrightarrow -4x^2-8x\sqrt{x+1}+(4x^2-4x-3)(x+1)=0\\ \Leftrightarrow [(2x+1)\sqrt{x+1}+2x][(2x-3)\sqrt{x+1}-2x]=0$

Đến đây giải ra nghiệm rồi tìm y và so sánh điều kiện là OK.

Vậy.............

1)Giải pt: $|x^{3}+7x^{2}-11x-6|+|x^{3}-12x^{2}-5x+3|=18x^{2}-2x-13$

Vì $|x^{3}+7x^{2}-11x-6|+|x^{3}-12x^{2}-5x+3|\\=|x^{3}+7x^{2}-11x-6|+|-x^{3}+12x^{2}+5x-3|\\ \geq |19x^2-6x-9|$

nên $18x^{2}-2x-13 \geq |19x^2-6x-9|$

Mà $(x-2)^2\geq 0\\\Leftrightarrow x^2-4x+4\geq 0\\\Leftrightarrow 19x^2-6x-9\geq 18x^2-2x-13\\ \Rightarrow |19x^2-6x-9|\geq 18x^2-2x-13$

nên pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |19x^2-6x-9|=18x^2-2x-13(1)\\ (x^{3}+7x^{2}-11x-6)(-x^{3}+12x^{2}+5x-3)\geq 0(2) \end{matrix}\right.$

Đến đây chỉ cần giải 2 TH của pt(1) rồi thế vào bpt(2). Nếu thỏa mãn thì lấy. Hình như x=2 là nghiệm.

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=2

Giải phương trình : $$(1+x)^{8}+(1+x^{2})^{4}=2x^{4}$$

Mình xin góp 1 cách khác!!

Thấy x=0 không là nghiệm nên

$(1+x)^{8}+(1+x^{2})^{4}=2x^{4}\\ \Leftrightarrow (\frac{1}{x}+x+2)^4+(\frac{1}{x}+x)^4=2$

Vì $\left | \frac{1}{x}+x \right |=\left | \frac{1}{x} \right |+\left | x \right |\geq 2 \\ \Rightarrow (\frac{1}{x}+x)^4\geqslant 16\\ (\frac{1}{x}+x+2)^4\geq 0$

nên pt đã cho vô nghiệm!!

Giải phương trình:

$$x^2=\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}$$

Đk $x\geq1$

+) Ta thấy: x=0 là nghiệm của phương trình.

+) Xét $x\neq 0$ . Ta chia 2 vế cho $x^2$ được:

$1=\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}}$

Đặt $t=\frac{1}{x}$ $(0< t\leq 1)$, được:

$\sqrt{t-t^2}+\sqrt{t^2-t^3}=1 (1)$

t=1 không là nghiệm nên $(1)\Leftrightarrow t+\sqrt{t}=\frac{1}{\sqrt{1-t}} (2)$

Với $(0< t\leq 1)$ nên

Ta thấy: 

$VT(2)\geq1 \Leftrightarrow x\geq\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ thì $\Rightarrow VP(2)\geq\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$VP(2)\leq2\Leftrightarrow x\leq\frac{3}{4}$ thì $\Rightarrow VT(1)\leq\frac{21}{16} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow$ Phương trình (1) vô nghiệm.

Vậy pt có nghiệm duy nhất là x=0

$3x^2+3x+2=(x+6)\sqrt{3x^2-2x-3}\\\Leftrightarrow (\sqrt{3x^2-2x-3} -5)(\sqrt{3x^2-2x-3}-x-1)=0$

Thế này mình nghĩ đến đây là đơn giản rồi!!

2,

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+1=2x+2y & & \\ (2x-y-2)y=1& & \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)^2+(y-1)^2=1(1)\\ (y-1)^2=2y(x-2)(2) \end{matrix}\right.$

Từ (2) suy ra điều kiện có nghiệm của x là $x-2\geq 0$

Với $x-2\geq 0 \\\Leftrightarrow x-1\geq 1 \\$

$(1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1=1\\ y-1=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=1 \end{matrix}\right.$

Thấy (2;1) là nghiệm của hệ. Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (2;1)

Giải hệ $3x^{2}-8x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2(y+2)\sqrt{y^{2}+4y+5}$

   $x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6$

$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2(y+2)\sqrt{y^{2}+4y+5}\\ x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^{2}-4x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2y^2+8y+6+2(y+2)\sqrt{y^{2}+4y+5}\\ x^{2}-4x=-2y^{2}-8y-6 \end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^2-2x+2}+x-1)^2=(\sqrt{y^2+4y+5}+y+2)^2\\ x^{2}-4x=-2y^{2}-8y-6 \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{(x-1)^2+1}+x-1=\sqrt{(y+2)^2+1}+y+2\\ x^{2}-4x=-2y^{2}-8y-6 \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x-1)=f(y+2)\\ x^{2}-4x=-2y^{2}-8y-6 \end{matrix}\right.$

Với $f(t)=\sqrt{t^2+1}+t \\ f'(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}+1 > 0$ với mọi t

Vậy:

HPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1=y+2\\ x^{2}-4x=-2y^{2}-8y-6 \end{matrix}\right.$

OK. Đến đây thế là được!!!