Huuduc921996

Giải phương trình  : $x^2+x+12\sqrt{x+1}=36$

$x^2+x+12\sqrt{x+1}=36\\ \Leftrightarrow 6^2+2.6.\sqrt{x+1}-(x^2+x)=0(1)$

Xét phương trình: $u^2+2u\sqrt{x+1}-(x^2+x)=0(2)$

Từ (1)$\Rightarrow$ phương trình (2) có nghiệm u=6

Ta có: $\Delta_{u}'=x+1+(x^2+x)=(x+1)^2$

$\Rightarrow (2)\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 6=-\sqrt{x+1}-(x+1)\\ 6=-\sqrt{x+1}+(x+1) \end{bmatrix}$

Đến đây thì cũng được rồi! 

Giải PT: $\sqrt{4x^2+x+6}=4x-2+7\sqrt{x+1}$

Đk:...

$\sqrt{4x^2+x+6}=4x-2+7\sqrt{x+1}\\ \Leftrightarrow \sqrt{4x^2+x+6}-7\sqrt{x+1}=4x-2\\ \Rightarrow 16x^2-16x+4=4x^2+x+6+49x+49-14\sqrt{x+1}\sqrt{4x^2+x+6}\\ \Leftrightarrow 3(4x^2+x+6)-69(x+1)+14\sqrt{x+1}\sqrt{4x^2+x+6}=0$

Đến đây thì giải dễ rồi.

Do có phương trình hệ quả nên tính ra nghiệm nhớ thay lại.

GPT vô tỷ :

 

$\left\{\begin{matrix} x^3-x^2y=x^2-x+y+1\\ x^3-9y^2+6(x-3y)-15=3\sqrt[3]{6x^2+2} \end{matrix}\right.$

$x^3-x^2y=x^2-x+y+1\Leftrightarrow x^2(x-y-1)+x-y-1=0\Leftrightarrow y=x-1$

Thế vào PT(2), ta có:

$x^3-9(x-1)^2+6(x-3x+3)-15=3\sqrt[3]{6x^2+2}\\ \Leftrightarrow (x-1)^3+3(x-1)=6x^2+2+3\sqrt[3]{6x^2+2}\\ \Leftrightarrow f(x-1)=f(\sqrt[3]{6x^2+2})$ với $f(t)=t^3+3t,t\in R\\ f'(t)=3t^2+3>0$

$PT \Leftrightarrow x-1=\sqrt[3]{6x^2+2}$

Bây giờ là cơ bản rồi!

Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}-x-2}+\frac{4}{x^{2}-x-2}=3x$

$\sqrt{x^{2}-x-2}+\frac{4}{x^{2}-x-2}=3x\\ \Leftrightarrow (x^{2}-x-2)\sqrt{x^{2}-x-2}=3x(x^{2}-x-2)-4\\ \Leftrightarrow (x+1)(x-2)\sqrt{(x+1)(x-2)}=(2(x+1)+x-2)(x+1)(x-2)-4\\ \Leftrightarrow (x+1)(x-2)\sqrt{(x+1)(x-2)}=2(x+1)^2(x-2)+(x-2)^2(x+1)-4$

Đặt $\left\{\begin{matrix} (x+1)\sqrt{x-2}=u>0\\ (x-2)\sqrt{x+1}=v>0 \end{matrix}\right.$ (do x<-1 không phải là nghiệm của pt), ta có:

$\left\{\begin{matrix} uv=2u^2+v^2-4\\ (u^2-v^2)^3=27u^2v^2 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4=2u^2-uv+v^2\\ (u^2-v^2)^3=27u^2v^2 \end{matrix}\right.$

Bây giờ nhân vế với vế thì thu được phương trình đẳng cấp mình nghĩ là giải được.

Cho $tan\alpha =\frac{1}{3}$. Tính $\frac{sin^{3}\alpha+cos\alpha }{3cos\alpha -sin\alpha }$

$A=\frac{sin^{3}\alpha+cos\alpha }{3cos\alpha -sin\alpha }=\frac{\sin^2x.tanx+1}{3-tanx}=\frac{\frac{1}{\cot^2x+1}tanx+1}{3-tanx}=\frac{\frac{tan^3x}{tan^2x+1}+1}{3-tanx}=\frac{31}{80}$

Tính tích phân sau:

$\int_{0}^{1}\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx.$

$I=\int_{0}^{1}\frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}dx=\int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{(x^2+1-\sqrt{2}x)(x^2+1+\sqrt{2}x)}dx\\ =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(\frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1})dx\\ =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{(x-\frac{1}{\sqrt[4]{2}})^2+1-\frac{1}{\sqrt{2}}}dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{(x+\frac{1}{\sqrt[4]{2}})^2+1-\frac{1}{\sqrt{2}}}dx$

Bây giờ lượng giác hoá đi là OK rồi. Mỗi tội cận xấu quá 

Giải các hệ phương trình sau

$2)\left\{\begin{matrix} x^{3}+4x=y^{3}+16y & \\ 1+y^{2}=5(1+x^{2})& \end{matrix}\right.$

Mình xin góp 1 cách khác:

$2)\left\{\begin{matrix} x^{3}+4x=y^{3}+16y & \\ 1+y^{2}=5(1+x^{2})& \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-y^3=16y-4x\\ -4=5x^2-y^2 \end{matrix}\right.$

Bây giờ nhân vế với vế là ta được phương trình đẳng cấp bậc 3

Giải phương trình

$\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{27\sqrt{2}}{8}\left ( x-1 \right )^{2}\sqrt{x-1}$

Đk: $x\geq 1$

Thấy x=1 không là nghiệm nên:

$$\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{27\sqrt{2}}{8}\left ( x-1 \right )^{2}\sqrt{x-1}\\ \Leftrightarrow \sqrt{2}\sqrt{\frac{x}{x-1}+\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}=\frac{27}{4}(x-1)^2\\\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x+1}{x-1}+2\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+1}=\frac{27}{4}(x-1)^2\\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-2=\frac{27}{4}(x-1)^2-3\\ \Leftrightarrow \frac{-3x+5}{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+2}=\frac{27}{4}(x-\frac{5}{3})(x-\frac{1}{3})\\\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{5}{3}\\ \frac{9}{4}(x-\frac{1}{3})+\frac{1}{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+2}=0(vo nghiem) \end{bmatrix}$$

Vậy...

Giải phương trình: $x^{2}+\left ( \frac{x}{x+1} \right )^{2}=1$

Mình cũng xin đóng góp 1 cách "đơn giản"   sau đây:

Đk: $x\neq -1$

PT$\Leftrightarrow x^2+(1-\frac{1}{x+1})^2=1\\\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{2}{x+1}=0\\\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x+1})^2-2=0$

Đến đây xét làm 2 TH là coi như xong rồi!!

Đây là hệ phương trình Đồng bậc rồi. Chỉ cần nhân chéo là OK thui. 

4,$\left\{\begin{matrix} x^{2}y+y^{3}=x^{4}+x^{6} & \\ (x+2)\sqrt{y+1}=(x+1)^{2} & \end{matrix}\right.$

Thấy $x=0$ không là nghiệm của hệ.

Xét $x\neq 0$. Chia cả 2 vế của PT(1) cho $x^3$, ta có:

$(\frac{y}{x})^3+\frac{y}{x}=x^3+x$$(\frac{y}{x})^3+\frac{y}{x}=x^3+x$

Xét hàm $f(t)=t^3+t, t\in R\\ f'(t)=3t^2+1> 0$

Vậy pt(1)$\Leftrightarrow \frac{y}{x}=x$

Thế vào PT(2), ta được:

$(x+2)\sqrt{x^2+1}=(x+1)^{2}\\\Leftrightarrow x^2+1-(x+2)\sqrt{x^2+1}+2x=0$

Đến đây coi là pt bậc 2 biến $\sqrt{x^2+1}$ thì có $\Delta$ chính phương rồi. OK

Giải các hpt sau:

2)$\left\{\begin{matrix} \sqrt{7x+y}+\sqrt{2x+y}=5 & \\ \sqrt{2x+y}+x-y=2 & \end{matrix}\right.$

Đk:

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=\sqrt{7x+y}\geq 0\\ v=\sqrt{2x+y}\geq 0 \end{matrix}\right.$

Ta có: $x-y=\frac{3}{5}(7x+y)-\frac{8}{5}(2x+y)$

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u+v=5\\ \frac{3}{5}u^2-\frac{8}{5}v^2+v=2 \end{matrix}\right.$

Đến đây rút u theo v ở PT(1) rồi thế vào PT(2) là giải được.

Giải các hpt sau:

1)$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{ x+y}=1(1)\\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y(2) \end{matrix}\right.$

ĐK: $x+y > 0$

$(1)\Leftrightarrow (x+y)^2-1+(\frac{2xy}{x+y}-2xy)=0\\\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+y=1\\ x+y+1-\frac{2xy}{x+y}=0 \end{bmatrix}$

Với $x+y=1$:

$(2)\Leftrightarrow x^2-y=1\Leftrightarrow y=x^2-1\\ \Rightarrow x+x^2-1=1\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\Rightarrow y=0\\ x=-2\Rightarrow y=3 \end{bmatrix}$

Với $x+y+1-\frac{2xy}{x+y}=0\Leftrightarrow x^2+y^2+x+y=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=0\\y^2=0 \\ x+y=0(loai) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ TH này loại.

Vậy nghiệm của hệ là (1;0) , (-2;3).

$

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+1+y(x+y)=4y\\ (x^{2}+1)(y+x-2)=y \end{matrix}\right.$

Thấy y=0 không là nghiệm nên:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+1+y(x+y)=4y\\ (x^{2}+1)(y+x-2)=y \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+1+y(x+y-2)=2y\\ (x^{2}+1)(y+x-2)y=y^2 \end{matrix}\right.\\$

$\Rightarrow x^2+1 , y(x+y-2)$ là 2 nghiệm của phương trình: $X^2-2yX+y^2=0\Leftrightarrow X=y$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1=y\\ y(x+y-2)=y \end{matrix}\right.$

Đến đây thì được rùi!!!!

Tính Tích Phân :

 

 

$I=\int_{-3}^{-2}\frac{x-1}{(x+1)^{3}}ln(\frac{x-1}{x+1})dx$

Đầu tiên ta đặt $t=\frac{x-1}{x+1}$ để cho gọn lại đã.

$\Rightarrow dt=\frac{2}{(x+1)^2}dx$, ta có:

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int_{2}^{3}t.\ln(t)dt$

Đến đây dùng từng phần là ra rùi.