Kim Ngan Min

Lời nói đầu:Dùng đồng dư ta có thể giải được nhiều bài toán về phương trình nghiệm nguyên hóc búa,các bạn sau khi đọc xong phần này thật kĩ thì sẽ có phương pháp giải mới tốt hơn để giải phương trình nghiệm nguyên .Mong được mọi người góp ý nếu còn sai sót.
:rose :rose :rose :rose
I.Các ví dụ
Ví dụ 1:CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
$ (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + ... + (x + 2001)^2 = y^2 $

Giải:Đặt x=z-1001.Phương trình trở thành:
$ (z - 1000)^2 + ... + (z - 1)^2 + z^2 + (z + 1)^2 + ... + (z + 1000)^2 = y^2 $
Hay $ 2001z^2 + 2(1^2 + 2^2 + ... + 1000^2 ) = y^2 $
$ \begin{matrix} 2001z^2 + 2\dfrac{{1000.1001.2001}}{6} = y^2 \\ \Leftrightarrow 2001z^2 + 1000.1001.667 = y^2 \\ \end{matrix} $
$ VT \equiv 2(\bmod 3) $nên nó không thể là số chính phương

VD 2:Tìm các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn:
$ p^3 - q^5 = (p + q)^2 $

Giải:Phương trình chỉ có 1 nghiệm là (7,3).Thật vậy,đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.Khi đó,$ p \equiv 1,2(\bmod \,3)\ $,và $q \equiv 1,2(\bmod \,3) $.Nếu $ q \equiv p(\bmod \,3) $ thì vế trái chia hết cho 3 ,mà vế phải lại không chia hết cho 3.
Nếu p=3 thì $ q^5 < 27 $,điều đó là không thể
Nếu q=3 ,ta được $ p^3 - 243 = (p + 3)^2 $ và p=7

VD 3ác định mọi số nguyên tố p thỏa mãn hệ pt sau có nghiệm nguyên x,y:
$ \left\{ \begin{matrix} p + 1 = 2x^2 \,\,\,\,(1) \\ p^2 + 1 = 2y^2 \,\,\,(2) \\ \end{matrix} \right. $
(Olympic Đức)
Giải:Số nguyên tố p phải tìm chỉ có thể là 7.Không mất tính tổng quát,giả sử x,y 0.Chú ý $ p + 1 = 2x^2 $ là số chẵn nên p 2 .Ngoài ra $ 2x^2 \equiv 1 \equiv 2y^2 (\bmod \,p) $ nên suy ra $ x \equiv \pm y(\bmod \,p) $.
Từ p lẻ và x<y<p,ta có x+y=p nên (2) $ p^2 + 1 = 2(p - x)^2 = 2p^2 - 4px + p + 1 $ p = 4x - 1
Vậy (1) $ 2x^2 = 4x $ x =0 hoặc x=2 thì p=-1 hoặc p=7
Tất nhiên,(-1)không phải số nguyên tố,nên p=7và (x,y)=(2,5) là nghiệm.
:leluoi:
II.Bài tập tự luyện

1)Chỉ ra rằng pt sau không giải được với x,y,z nguyên dương và z>1:
$ (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + ... + (x + 99)^2 = y^z $
(Olympic Hungari)

2)CM phương trình sau không có nghiệm nguyên:
$ x^3 + y^4 = 7 $

3)Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn pt sau:
$ 3^x - 2^y = 7 $

4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
$ 4xy - x - y = z^2 $
( IMO shortlist)
15)Tìm các cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn pt:
$ a^{b^2 } = b^a $

p/s:Do thấy phần thặng dư bình phương cấp THCS chưa học đến nên mình bỏ qua.

Bạn có thể đưa phần nguyên tắc cực hạn lên không??? Phần đó mình không hiểu lắm!

mình nữa:
tìm min của:   A=2x + y - 2\sqrt{xy} - 2\sqrt{x} + 2009

Bài 124 ( Đề thi tuyển sinh THPT 2012-2013 Vĩnh Phúc) . Nhờ các Anh, chị giúp em bài tập này ạ :
Cho đường tròn (O;R)(điểm O cố định ,giá trị R không đổi) và điểm M nằm bên ngoài (O).Kẻ hai tiếp tuyến MB,MC (B,C là các tiếp điểm )của (O)và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC.Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx,đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A.Vẽ đường kính BB’ của (O).Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này cắt MC và B’C lần lượt tại K và E.Chứng minh rằng:

• 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn.
• Đoạn thẳng ME = R.
• Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên một đường tròn cố định ,chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.

bạn làm được câu 3 chưa???  t mới làm được câu 1+2 thôi