khoanglang

Bạn nhìn dòng 1 và dòng 2, chính là dạng tìm 2 số khi biết tổng và hiệu thôi !

$\begin{cases} \sqrt{x}+y^2=1 \\ x^2-xy+x+y^2-2y+1=0 \end{cases} $

ĐK: $x \ge 0, \ -1 \le y \le 1$

$x^2-xy+x+y^2-2y+1=0 \\ \leftrightarrow x^2+x(1-y)+(y-1)^2 =0\\ x^2 \ge 0, \ x \ge 0, \ 1-y \ge 0, \ (y-1)^2 \ge 0 \\ \rightarrow x^2+x(1-y)+(y-1)^2=0 \leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}$

(thỏa mãn)

Vậy $x=0, \  y=1$

$(\sqrt{2}-1)^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \\ \leftrightarrow \sqrt{m}+\sqrt{m-1}=\dfrac{1}{(\sqrt{2}-1)^n}=(\sqrt{2}+1)^n \\ \rightarrow \sqrt{m}=\dfrac{(\sqrt{2}-1)^n+(\sqrt{2}+1)^n}{2} \\ \leftrightarrow  m=\dfrac{(\sqrt{2}-1)^{2n}+(\sqrt{2}+1)^{2n}+2}{4}=\dfrac{2C_{2n}^0(\sqrt{2})^{2n}+2C_{2n}^2.(\sqrt{2})^{2n-2}+....+2C_{2n}^{2n}+2}{4}=\dfrac{C_{2n}^0(\sqrt{2})^{2n}+C_{2n}^2.(\sqrt{2})^{2n-2}+....+C_{2n}^{2n}+1}{2}=\dfrac{C_{2n}^02^n+C_{2n}^2.2^{n-1}+....+2}{2}$

Dễ dàng chứng minh được tử chẵn vậy với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ luôn tồn tại $m \in \mathbb{N}^*$

$\begin{cases} x^2-xy+2=0 \\ x^2y^2-3xy+y^2=1 \end{cases} $

$\leftrightarrow \begin{cases}  x^2y^2-4xy+x^2+y^2+1=0 \\ x^2-xy+2=0 \end{cases} \\ \leftrightarrow \begin{cases}
(xy-1)^2+(x-y)^2=0 \\ x^2-xy+2=0 \end{cases} \\ \leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=y=1 \\ x=y=-1 \end{matrix}\right.$

Xét tập R thôi nhỉ ?

ĐK $x \ge -1$

$x \ge -1 \rightarrow x+3>0 \\ \\ \sqrt{\dfrac{x^3+1}{x+3}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+3} \\ \rightarrow \sqrt{x+1}.\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}.\sqrt{x+3}=(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+3})\sqrt{x+3} \\ \leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{x+1}=\sqrt{x+3} \rightarrow  \ VN \\ \sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-x+1}=0 \rightarrow \ VN \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình vô nghiệm ~