badatmath

Ta có
$3^{2010}=(3^{3})^{670}\equiv 1^{670}(mod 13)$
Mà $5^{2010}=(5^{2})^{1005}\equiv (-1)^{1005}(mod 13)$
Từ đó suy ra $3^{2010}+5^{2010}$ chia hết cho 13

$Ta có : A=\frac{4x^{2}+8x+3}{4xy-1}

với y>0, nhân y vào biểu thức A, ta có

y.A=\frac{4x^{2}y+8xy+3y}{4xy-1}

      =\frac{x(4xy-1)+2(4xy-1)+x+2+3y}{4xy-1}

      =x+2+\frac{2+3y+x}{4xy-1}

vì y là số tự nhiên khác 0 và A nguyên nên \frac{2+3y+x}{4xy-1} cũng nguyên

nên 2+3y+x=k.(4xy-1) (k\epsilon \mathbb{N},k\neq 0)

Nếu k>2 thì 2+3y+x> 8xy-2

\Leftrightarrow 4xy-4+3y(x-1)+x(y-1)< 0 ( vô lí vì x,y\epsilon \mathbb{N};x,y\neq 0) 

 0< k\leq 2

Từ đây giải tiếp$