mathforlife

copy bên MS

đội tuyển tỉnh Khánh Hòa:
1. Nguyễn Huy Thành (nick ms là huythanhlqd)
2. Lê Tiến Đạt (nick MS hình như là rongden09871)
3. Lại Diệp Thanh Hải (nick MS là hình như ha.uyen2796 )
4. Châu Chí Trung
5. Nguyễn Quốc Bảo
6. Huỳnh Bá Nhẫn (nick MS là Nhẫn)

Đội tuyển trường ĐHSP HN (theo thứ tự điểm luôn):
1. Nguyễn Trường Sơn
2. Hoàng Đức Anh
3. Nguyễn Nhật Minh
4. Nguyễn Chí Hiêú
5. Trần Quốc Anh
6. Phạm Hoàng Hải
7. Chu Văn Trang
8. Nguyễn Thái Hà
9. Trần Hoàng Sơn
10. Phạm Minh Khang

Từ pt dạng $x^2+y^2=k^2$ hoàn toàn có thê đăt $x=k.sin\alpha,y=k.cos\alpha$ bạn ạ

Bài 4 cũng không cần cầu kì như vậy

Kí hiệu $t_i$ là số các thư viện khai thác tài liệu thứ $i$. Phản chứng là có $\geq 2$ tài liệu không được sử dụng, giả sử là $t_{2015},t_{2016}$.

Ta có các bất đẳng thức sau:

+) $\sum_{i=1}^{2014}t_i \geq 2013.1008 (1)$

cm: vế trái chính là tổng số các tài liệu khai thác bởi mỗi thư viện. Mặt khác mỗi thư viện phải khai thác ít nhất 1008 tài liệu nên bđt đúng.

+) $C_{2013}^{2}.504\geq \sum_{i=1}^{2014}C_{t_i}^{2} (2)$

cm: vế phải đếm số cặp thư viên khai thác cùng một tài liệu. Mặt khác mỗi cặp thư viện khai thác chung nhiều nhất 504 tài liệu nên bđt đúng.

Đặt $\sum_{i=1}^{2014}t_i=u$

Sử dụng bđt C-S ta được $C_{2013}^{2}.504\geq \sum_{i=1}^{2014}C_{t_i}^{2} \geq \frac{u^2}{4028}-\frac{u}{2}$

Từ đó $u \leq 2028600$ trái với $u \geq 2029104$ theo (1).

Vậy ta có đpcm

Khong biet ban go nham hay lam nham nhung $(u+v)^2-4$ lam sao tao ra nhan tu $u+v-4$ duoc nhi?

Bai 3a): Cho $DF,DE$ lan luot cat $BE,CF$ o $R,S$. Ta da biet $AN$ vuong goc $RS$.

Ta cm $RS//PQ$.

$\frac{DS}{DP}=\frac{DS}{DC}.\frac{DC}{DP}=\frac{sin(90^o-B)}{sin(90^o-A+B)}.\frac{sin(90^o-C)}{sin(C+90^o-A)}=\frac{cosB.cosC}{sin(90^o-A+B).sin(90^o-A+C)}$

Tuong tu $\frac{DR}{DQ}=\frac{cosB.cosC}{sin(90^o-A+B).sin(90^o-A+C)}$

Vay theo dinh ly Talet $RS//PQ$

Vay $AN$ vuong goc $PQ$

Câu 2.

Tìm tất cả nghiệm thực của hệ :

$$\left\{\begin{matrix} x+x^2y=y+2\\ (2x+y)^2+3y^2=12 \end{matrix}\right.$$

Huong lam bai nay cua minh:

Dat $y=2sin\alpha,2x+y=2\sqrt{3}cos\alpha$ thi $x=\sqrt{3}cos\alpha-sin\alpha$

Thay vao phuong trinh 1 ta duoc: $\sqrt{3}cos{\alpha}-sin{\alpha} + (\sqrt{3}cos{\alpha}-sin{\alpha})^2.2sin{\alpha}=2sin{\alpha}+2$

hay $\sqrt{3}cos\alpha-sin\alpha+4(cos\alpha)^2.sin\alpha-4\sqrt{3}.cos\alpha.(sin\alpha)^2=2$

hay $sin(3\alpha)+\sqrt{3}cos(3\alpha)=2$ (thay $(cos\alpha)^2=1-(sin\alpha)^2$ va $(sin\alpha)^2=1-(cos\alpha)^2$)

Den day de giai duoc roi

Đề thi chọn đội tuyển tham dự VMO 2014 THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên

 

Ngày thi thứ nhất: Thời gian làm bài 240'

 

Bài 1: Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn: $a_1=3, a_2=17, a_3=99$ và 

      $a_{n+1}=\frac{a_n^{2}+a_{n-1}^{2}-1}{a_{n-2}}$.

Chứng minh rằng $a_{2014}+1$ là số chính phương.

 

Tu cong thuc truy hoi ta co $a_n^{2}+a_{n-1}^{2}-a_{n+1}a_{n-2}=1=a_{n-1}^{2}+a_{n-2}^{2}-a_{n}a_{n-3}$

Tu do ta co $\frac{a_{n+1}+a_{n-2}}{a_n+a_{n-3}}=\frac{a_n}{a_{n-2}}$

Lam tuong tu lui dan roi nhan lai ta duoc $\frac{a_{n+1}+a_{n-2}}{a_4+a_1}=\frac{a_n.a_{n-1}}{a_3.a_2}$

Hay $a_{n+1}+a_{n-2}=2a_n.a_{n-1}$. thay cong thuc truy hoi o de bai vao ta duoc $a_n^{2}+a_{n-1}^{2}+a_{n-2}^{2}-2a_n.a_{n-1}.a_{n-2}=1$ hay $x_n^{2}+x_{n-1}^{2}+x_{n-2}^{2}-x_n.x_{n-1}.x_{n-2}=4$ voi $x_n=2a_n$. Dang thuc nay goi nho cho ta cach dat quen thuoc sau.

Viet $x_n=y_n+\frac{1}{y_n}$ voi $y_n>1$ thi ta se duoc $y_{n+1}=y_n.y_{n-1}$

Chu y $y_2=y_1^{2}$.

Ta se duoc $y_n=y_1^{F_n}$ voi $F_1=1,F_2=2,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$

$y_1=3+2\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1)^2=(\alpha)^2$

Do do $2(a_{2014}+1)=x_{2014}+2=(\alpha)^{2F_{2014}}+\frac{1}{(\alpha)^{2F_{2014}}}+2=((\alpha)^{F_{2014}}+\frac{1}{(\alpha)^{F_{2014}}})^2$

Tu do $a_{2014}+1$ thuoc CP.

Gia su $degf =n> 2$

Dat $x_i=\alpha r_i + (1-\alpha)r_{i+1} \forall i=1,...,n-1$

Tu gia thiet  ta co $\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{x_i-r_j}=0 \forall 0<i<n$

$\frac{1}{x_1-r_1}=\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{r_j-x_1}>\frac{1}{r_2-x_1}\Rightarrow \alpha > \frac{1}{2}$

$\frac{1}{r_n-x_{n-1}}=\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{x_{n-1}-r_j}>\frac{1}{x_{n-1}-r_{n-1}}\Rightarrow \alpha < \frac{1}{2}$, vo ly

Vay $n=2,\alpha = \frac{1}{2}$ va $f(x)$ la da thuc bac hai co hai nghiem phan biet bat ki

Chăc đê phải là $(P(x))^2=P(x^2)$ chư nhỉ.

có thê xem bài 12 ơ đây http://www.imomath.c...tions=627&lmm=0

từ công thưc truy hôì ta có

$x_n=x_{n-1}\frac{(n-1)^2}{n(n+1)}=...$

do đó $x_n=\frac{4}{n^2(n+1)}$

khi đó $lim u_n=4$

vấn đề là sau khi giản ước thì $x_0,x_1$ đâu thoả mãn ct chắc cái tử phải là $x_{n+1}.x_{n}$

câu sau thì cậu quy nạp $x_n=2^{u_n}$ với $u_0=0,u_1=1,u_n=3^{n-2}-u_{n-1}$

Nêú $n\leq834$ thì xét $A=\left \{ 166,167,...,999 \right \}$ suy ra vô lý. vâỵ $n \geq 835$

Ta cm $n=835$ thoả mãn

Gọi $c,d$ lân lươt là sô nhỏ nhât và lơn nhât trong $A$.

Ta có $d-c \geq 834, c \leq 165$

$m=d-3c=(d-c)-2c \geq 834 - 2.165 > 3.166$

Xét căp sô $(m-2i,i) , i=1,2,...,166, i \neq c$

dê thâý $330$ sô trong $165$ căp sô này khác nhau và khác $c$ và tôn tại nhiêù nhât $164$ trong $330$ sô không thuôc $A$.

Suy ra tôn tại $1 \leq b \leq 166, b \neq c$ sao cho $m-2b,b \in A$

$a=m-2b \rightarrow a+2b+3c=d$

vâỵ $n min = 835$

Tìm thâý lơì giải bên mathlinks http://www.artofprob...p?f=36&t=548659

Từ gt $u_4=2+k$ mà $u_4 \in Z$ nên $k \in Z$

từ công thức truy hồi $u_{n}u_{n-3} - u_{n-1}u_{n-2}=k=u_{n-1}u_{n-4} - u_{n-2}u_{n-3}$

hay $ \frac {u_{n} + u_{n-2}}{u_{n-1}}=\frac{u_{n-2}+u_{n-4}}{u_{n-3}}$

suy ra $\frac{u_{2k}+u_{2k-2}}{u_{2k-1}}=\frac{u_4+u_2}{u_3}=\frac{3+k}{2}$

$\frac{u_{2k+1}+u_{2k-1}}{u_{2k}}=\frac{u_3+u_1}{u_2}=3$

suy ra $u_{2k}=\frac{3+k}{2}u_{2k-1}-u_{2k-2}$ (1)

$u_{2k+1}=3u_{2k}-u_{2k-1}$ (2)

Nếu k lẻ thì hiển nhiên $u_n \in Z \forall n$

giả sử tồn tại k chẵn thoả mãn. từ (1) suy ra $u_n \equiv 0 (mod2) \forall n\equiv 1(mod2)$

kết hợp (2) suy ra $u_n \equiv 0 (mod2) \forall n\equiv 0(mod2)$

lại kết hợp (1) suy ra $u_n \equiv 0 (mod4) \forall n\equiv 1(mod2)$

kết hợp (2) suy ra $u_n \equiv 0 (mod4) \forall n\equiv 0(mod2)$

Tiếp tục lập luận như vậy ta sẽ suy ra được điều vô lý.

Vậy đáp số bài toán là $k \in Z, k \equiv 1(mod2)$

P/s: không biết đúng khôgn nữa

Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn:

$f(x^2(z^2+1)+f(y)(z+1))=1-f(z)(x^2+f(y))-z((1+z)x^2+2f(y)),\forall x,y,z \in R$

Qui nạp cttq:

$x_n=\frac{25.2^n+147.45^n}{43}$

$y_n=\frac{-12.2^n+98.45^n}{43}$

$z_n=\frac{-6.2^n+49.45^n}{43}$

từ đó hiển nhiên $x_n-y_n-z_n=2^n$