Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0$.
Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABM$. Biết: $\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{-a^2}{9}$.
Giá trị của $x$ là bao nhiêu?
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$
$\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0 \Rightarrow |\overrightarrow{AM}|=x.a\sqrt{2}$
Ta có:
$\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}).\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}).\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}AB^2$
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}MA.AB.cos135+\frac{1}{3}AB^2=-\frac{a^2}{9}$
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}.x.a\sqrt{2}.-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{3}a^2=-\frac{a^2}{9}\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}a$