nhatduy01

 

 

KIỂM TRA TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LỚP 11

 

 

 

 

Câu 4. Trong mặt phẳng cho $2n+1$ đường thẳng phân biệt sao cho không có $2$ đường thẳng nào song song hoặc vuông góc và không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Chúng cắt nhau tạo thành các tam giác. Chứng minh số tam giác nhọn được tạo ra không vượt quá $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

 

 

Lời giải

                Gọi f(n) là số các tam giác nhọn được tạo thành từ các đường thẳng như đầu bài.

                          Ta cần chừng minh      $f(n)\leq \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

                Gọi g(n) là số các tam giác tù được tạo thành từ các đường thẳng

           Gọi 1 tam giác được tạo thành bởi 3 đường thẳng a,b,c là "nhọn cạnh a" nếu các góc chung cạnh a của tam giác đó là góc nhọn.

      Ta chọn 1 đường thẳng x trong số 2n+1 đường thẳng đã cho làm trục hoành.

       Do không có 2 đường thẳng nào song song hay vuông góc và không có 3 đường thẳng nào đồng qui nên các đường thẳng còn lại sẽ được chia thành 2 tập.

       Tập A gồm các đường thẳng với hệ số góc dương

       Tập B gồm các đường thẳng với hệ số góc âm

   Hai đường thẳng tạo với x một tam giác "nhọn cạnh x" nếu 1 đường thẳng thuộc A và 1 đường thẳng thuộc B        

  Gọi p là số đường thẳng thuộc A,q là số đường thẳng thuộc B.

     Có p+q=2n.

        Số tam giác "nhọn cạnh x" là pq 

Có  $pq\leq \left ( \frac{p+q}{2} \right )^{2}=n^{2}$

         Do x có thể là đường thẳng bất kì trong số 2n+1 đường thẳng đã cho nên ta có 

           Số tam giác "nhọn cạnh x " $\leq n^{2}(2n+1)$

   Trong cách tính trên mỗi tam giác nhọn được tính 3 lần (theo 3 cạnh), mỗi tam giác tù được tính 1 lần.

Do đó

            $3f(n)+g(n)\leq n^{2}(2n+1)$

Tổng số tam giác được tạo thành từ các đường thẳng đã cho là $C_{2n+1}^{3}$  

     $\Rightarrow f(n)+g(n)=C_{2n+1}^{3}=\frac{(2n+1)(2n)(2n-1)}{6}$

         $\Rightarrow 2f(n)\leq n^{2}(2n+1)-(f(n)+g(n))=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$

     $\Rightarrow f(n)\leq \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$  (đpcm)

HG đi qua trung điểm M của BC chứ bạn

Xin lỗi mình ghi thiếu đề,đã sửa lại rồi đó

Cho x, y, z không âm thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

Theo AM-GM ta có $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

           Do đó ta cần CM     $x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\geq 2(xy+yz+zx)$

                                         $\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)+3(x+y+z)\geq 2(x+y+z)(xy+yz+zx)$

                                         $\Leftrightarrow \sum x^{3}+\sum xy(x+y)+3\sum x\geq 2\sum xy(x+y)+6xyz$  

                                         $\Leftrightarrow \sum x^{3}+3\sum x\geq \sum xy(x+y)+6$

            Áp dụng AM-GM và Schur bậc 3 ta được

                                       $\sum x^{3}+3\sum x=(\sum x^{3}+(x+y+z))+2(x+y+z)\geq (\sum x^{3}+3\sqrt[3]{xyz})+2.3\sqrt[3]{xyz}=(\sum x^{3}+3xyz)+6\geq \sum xy(x+y)+6$

                $\Rightarrow$ đpcm

 Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Giải phương trình   

                                      $\sqrt{\frac{x}{2}-\frac{22}{21}}-\sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+\frac{23}{7}}=1$

Đk:$x\geq \frac{44}{21}$

          Pt $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{2}-\frac{22}{21}}-1=\sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+\frac{23}{7}}=a$

       $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a^{2}+4a=x-\frac{86}{21} & & \\ a^{3}=x^{3}-3x^{2}+\frac{23}{7} & & \end{matrix}\right.$ 

                 $\Rightarrow a^{3}+6a^{2}+12a=x^{3}-3x^{2}+3x-\frac{86}{7}$

                  $\Rightarrow (a+2)^{3}=(x-1)^{3}$ 

                   $\Rightarrow x=a+3$

p/s Tự gửi bài tự giải ,tự kỉ mất

Đề đã được đăng ở đây!http://diendantoanho...bình-2013-2014/