trongthuc

Cho hàm số: $y=\frac{2x-1}{x^{2}}(C)$.

 

a) Cho $M(0;m)$. Hãy biện luận theo m số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M.

b) Khi qua M vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C), hãy lập phương trình đường thẳng (d) qua 2 tiếp điểm.

a. $y'=\frac{-2(x-1)}{x^{3}}$

nhận xét: M không thuộc (C).

gọi N(a,b) là tiếp điểm.

$\Rightarrow$ phtrình tiếp tuyến tại N là: 

$y=-2\frac{a-1}{a^{3}}(x-a)+\frac{2a-1}{a^{2}}$

vì tiếp tuyến qua M nên M thuộc tiếp nên:

$\frac{4a-3}{a^{2}}=m$

$\Leftrightarrow ma^{2}-4a+3=0 (1)$

m=0 $\Rightarrow a= -\frac{3}{4}\Rightarrow$ có 1 điểm N nên có 1 tiếp tuyến.

m$\neq$0, bài toán đưa về biện luận số nghiệm của pt bậc 2 theo tham số m.

vậy khi $\bigtriangleup' > 0 \Leftrightarrow 4-3m>0 \Leftrightarrow m<\frac{4}{3}$ thì (1) có 2 nghiệm pb \Rightarrow có 2 điểm N nên có 2 tiếp tuyến kẻ từ M.

tương tự khi $\bigtriangleup' = 0 \Leftrightarrow m=\frac{4}{3}$ thì có 1 tiếp tuyến.

 khi $\bigtriangleup' < 0 \Leftrightarrow m>\frac{4}{3}$ thì không có tiếp tuyến. 

b. tự làm nhé bạn

Bài 1: ( Khối A-2003)
Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
x - \dfrac{1}{x} = y - \dfrac{1}{y} (1) \\ 
2y = {x^3} + 1                               (2)
\end{array} \right.$

xét pt (1): 

xét hàm đặc trưng: f(t) = t - $\dfrac{1}{t}$ $\forall t \neq 0$

 $\Rightarrow f'(t)=1+ $\dfrac{1}{t^{2}}$  > 0 $\forall t\neq 0$

$\Rightarrow$ y=f(t) đồng biến 

$\Rightarrow$ f(x) = f(y) 

$\Rightarrow$ x=y

thay vào (2) ta được nghiệm của hệ pt: (1;1), ($\dfrac{-1+\sqrt{5}}{x}$, $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{x}$),($\dfrac{-1-\sqrt{5}}{x}$, $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{x}$)