Cho hàm số: $y=\frac{2x-1}{x^{2}}(C)$.
a) Cho $M(0;m)$. Hãy biện luận theo m số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M.
b) Khi qua M vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C), hãy lập phương trình đường thẳng (d) qua 2 tiếp điểm.
a. $y'=\frac{-2(x-1)}{x^{3}}$
nhận xét: M không thuộc (C).
gọi N(a,b) là tiếp điểm.
$\Rightarrow$ phtrình tiếp tuyến tại N là:
$y=-2\frac{a-1}{a^{3}}(x-a)+\frac{2a-1}{a^{2}}$
vì tiếp tuyến qua M nên M thuộc tiếp nên:
$\frac{4a-3}{a^{2}}=m$
$\Leftrightarrow ma^{2}-4a+3=0 (1)$
m=0 $\Rightarrow a= -\frac{3}{4}\Rightarrow$ có 1 điểm N nên có 1 tiếp tuyến.
m$\neq$0, bài toán đưa về biện luận số nghiệm của pt bậc 2 theo tham số m.
vậy khi $\bigtriangleup' > 0 \Leftrightarrow 4-3m>0 \Leftrightarrow m<\frac{4}{3}$ thì (1) có 2 nghiệm pb \Rightarrow có 2 điểm N nên có 2 tiếp tuyến kẻ từ M.
tương tự khi $\bigtriangleup' = 0 \Leftrightarrow m=\frac{4}{3}$ thì có 1 tiếp tuyến.
khi $\bigtriangleup' < 0 \Leftrightarrow m>\frac{4}{3}$ thì không có tiếp tuyến.
b. tự làm nhé bạn