lequocminh1999

Cho a;b;c>0

1. Với a+b+c=1. CMR:$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4}$

2. Với ab+bc+ca=1. CMR: $\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{3}{2}$

3. Với $a^2+b^2+c^2=3. CMR:\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3$

3. $VT^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(\frac{ab}{c})^{2}+(\frac{bc}{a})^{2}+(\frac{ac}{b})^{2}\geqslant 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9$

$=> A\geqslant 3$
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có

$\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}\geqslant \frac{(a^{2}+c^{2})^{2}}{b+d}= \frac{1}{b+d}$

Dấu "=" xảy ra <=> $\frac{a^{2}}{b}=\frac{c^{2}}{d}=\frac{1}{b+d}$

=> $\frac{a^{2014}}{b^{1007}}=\frac{c^{2014}}{d^{1007}}=\frac{1}{(b+d)^{1007}}$ (đpcm)

a) Ta có góc OBC= góc OCB ( do tg OBC cân)

Mà góc ABC= góc ACB ( tam giác ABC cân tại A)

=> góc ABC- góc OBC= góc ACB - góc OCB

=> góc ABO= góc ACO

=> góc ABO = góc AOB ( tam giác OAB cân tại O)

góc ACO = góc CAO

=> góc OAB = góc OAC

=> AO là tia phân giác góc ABC

b) Xét tam giác ABD và tam giác ACD có

góc OAB= góc OAC

AD chung

AB= AC

=> tg ABD= tg ACD ( cgc)

=> DB= DC

Bài 1:
Áp dụng bđt Côsi
$ab \leqslant (\frac{a+b}{2})^{2}$
=> $\frac{ab}{a+b} \leqslant \frac{(a+b)^{2}}{4(a+b)}= \frac{a+b}{4}

VT \leqslant (a+b+b+c+c+a).\frac{1}{4}= 3$

Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c =2
b) Áp dụng bđt cosi cho 4 số

$a+b+c+d \geqslant 4\sqrt[4]{abcd} => (\frac{a+b+c+d}{4})^{4}\geqslant abcd$ ( đpcm)

$7^{99}= 7^{3}.7^{96}= 343. (7^{4})^{24}=343. (...1)^{24}$

Mà một số có đuôi 1 thì khi mũ n lên sẽ luôn có tận cùng là 1

nên $7^{99}$ có đuôi là ...3

Ta phân tích

$x^{3}+y^{3}= (x+y)((x+y)^{2}-3xy)= 1-3xy A= \frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

$\frac{1^{2}}{1-3xy}+\frac{1^{2}}{xy} \geq \frac{4}{1-2xy}$

mà áp dụng bđt cosi ta lai có

$2xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$

$=> A \geq \frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$

Dấu bằng xảy ra <=> x=y=1/2

Áp dụng bđt Bunhiacốpxki: ta có

$\sqrt{(1+1)(x^{2}+y^{2})} \geqslant x+y$

(1-y)(1-x) = ( x+z)(y+z)

Tiết tục áp dụng bđt bunhiacopxki ta lại có

$\sqrt{(z+y)(z+x)} \geqslant z+\sqrt{xy}$

Nên $VT \geqslant \frac{x+y+z+\sqrt{xy}}{1+\sqrt{xy}}=1$ ( đpcm)

Ta có thể dễ dàng chứng minh công thức

$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y} \geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x + y}$

Dấu bằng xảy ra khi \frac{a}{x}=\frac{b}{y }$

Bđt Bunhiacopxki

Suy ra $\frac{x^{2}}{x+y}+ \frac{(a-x)^{2}}{(a +b)- ( x + y)} \geq \frac{(x+ a -x)^{2}}{x+y + a +b - x -y} = \frac{a^{2}}{a+b}$

cho 2 số dương x,y thay đổi sao cho 0<x+y<a+b và trong đó a và b là 2 số cho trước .CMR

$\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{\left ( a-x \right )^{2}}{\left ( a+b \right )-\left ( x+y \right )}\geq \frac{a^{2}}{a+b}$