NMDuc98

Bài 2: 

Áp dụng BĐT quen thuộc $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$,ta có :

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \ge \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{(a+b+c)^2}{abc(a+b+c)}$

$\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{abc(a+b+c)}~~~~~~(1)$

Mặt khác,áp dụng BĐT $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$, ta có :

$(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c) \Rightarrow abc(a+b+c) \le \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}~~~~~(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \ge \frac{3(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)^2}~~~~~~(3)$

Áp dụng BĐT AM-GM ta lại có:$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca\ge 3.\sqrt[3]{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}$

$\Rightarrow (a+b+c)^6 \ge 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$

$\Rightarrow 3^4.(a+b+c)^2 \ge 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$  (Do $a+b+c=3$)

$\Rightarrow 3(a+b+c)^2\ge (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2~~~~(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ ta suy ra:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \ge a^2+b^2+c^2$ 

Dấu $ = $ xảy ra khi $a=b=c=1$.

Giải bất phương trình: $\sqrt{x}+\sqrt{1-x^2}\geq\sqrt{2-3x-4x^2}$

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau:

$A=16\sqrt{x}+3\sqrt{25-x^{2}}$

GTLN:

Áp dụng BĐT BCS ta có:

$A=\sqrt{32}.\sqrt{8x}+3\sqrt{25-x^2}\leq \sqrt{(32+9)(-x^2+8x+25)}=\sqrt{41\left [ -(x-4)^2+41 \right ]}\leq 41$

Dấu $=$ xảy ra khi:$\left\{\begin{matrix}\frac{\sqrt{32}}{3}=\frac{\sqrt{8x}}{\sqrt{25-x^2}}\\x=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=4$.

Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ ( a khác 0, a,b,c hữu tỉ ). Cho biết phương trình có 1 nghiệm là $1+\sqrt{2}$. Tìm nghiệm còn lại.

Dạng bài tập này khá hay đấy:

Do $x=1+\sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình đã cho nên:

$a(1+\sqrt{2})^2+b(1+\sqrt{2})+c=0\\\Leftrightarrow 3a+b+c+\sqrt{2}(2a+b)=0~~~~~(*)$

Xét $2a+b\ne 0$.Từ $(*)$ ta suy ra:

$\sqrt{2}=-\frac{3a+b+c}{2a+b}~~~~(**)$

Do $a\ne 0$ và $a,b,c$ là các số hửu tỷ nên:$-\frac{3a+b+c}{2a+b}$ là một số hửu tỷ.Mà $\sqrt{2}$ là số vô tỷ.

Đo đó:$(**)$ vô lý.

Vậy suy ra:$2a+b=0\Rightarrow 3a+b+c=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=-2a\\c=-a \end{matrix}\right.$.Thay vào phương trình đã cho ta suy ra:

$ax^2-2ax-a=0\Leftrightarrow x^2-2x-1=0$  ( Do $a\ne 0$ )

Suy ra nghiệm còn lại của phương trình đã cho là $1-\sqrt{2}$.

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}}=2014$

Tìm Min $T=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}$

Bạn chịu khí tham khảo cách giải bài tương tự!Do trước đây Comment trên Facebook nên gửi lên đây thôi!Bạn nhớ thay $2009$ thành $2014$ và $(a,b,c)$ thành $(x,y,z)$ nha!

5/

Đặt:$a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\,\,\,\,\,\,\,\,(a,b,c>0)$ .Khi đó:

$a+b+c\le 1$  và BĐT cần chứng minh trở thành:$3(ab+bc+ca)\le 1$ .

Ta lại có:

$3(ab+bc+ca)\le {{(a+b+c)}^{2}}\le 1$

$\Rightarrow 3(ab+bc+ca)\le 1$

Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ hay $x=y=z=3$.

Bài toán được chứng minh.

Trong Chuyên Đề nhỏ mình viết nè!Bài 2 á!

 Chuyên Đề BĐT.pdf   1.05MB   94 Số lần tải

Cho $0< a,b,c\leq 1$

CMR:

$\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$

cho a,b,c thuộc [0;1].

CMR: $a+b^{2}+c^{3}+ab+bc+ca \leq 1$

Vì $b,c \in [0;1]$ nên suy ra:$b^2\le b,c^3 \le c$

Do đó:

$a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-ab-bc-ca~~~(1)$

Ta lại có:

$a+b+c-ab-bc-ca=(a-1)(b-1)(c-1)-abc+1~~~~(2)$

Vì $a,b,c \in [0;1]$ nên;$(a-1)(b-1)(c-1) \le 0$ và $-abc \le 0$

Do đó từ $(2)$ suy ra:

$a+b+c-ab-bc-ca \le 1~~~(3)$

Từ $(1)$ và $(3)$ ta có điều phải chứng minh.

Cho $x,y,z$ là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$. Chứng minh rằng:

$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}$

Áp dụng BĐT BCS ta có:

$\sum \sqrt{x-1}=\sum \sqrt{x.\left ( 1-\frac{1}{x} \right )}\leq \sqrt{\sum x. \left ( 3-\sum \frac{1}{x} \right )}=\sqrt{x+y+z}$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{3}{2}.$

3)

$PT\Leftrightarrow \cos4x+\cos2x=\sin7x+\sin x \\\Leftrightarrow 2.\cos3x.\cos x=2.\sin4x.\cos3x\\\Leftrightarrow \cos3x\left ( \cos x-\sin4x \right )=0$

Dễ rồi!

Cho x,y thỏa mãn $x+y\geq 4$

Tìm Min A=$\frac{3x^2+4}{4x}+\frac{2+y^3}{y^2}$  

Bài toán: Giải bất phương trình 

 

$$\sqrt{x}+\sqrt{1-x^2}\geq \sqrt{2-3x-4x^2}$$

 

( Đề thi thử lần 4 chuyên ĐHV 2014 )

Tham khảo:http://k2pi.net/show...vinh-lan-4-2014