Hoang Thi Thao Hien

1. Cho 3 số a,b,c thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Chứng minh: $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$

TH1: $abc\geq 0$ khi đó: $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ac)=(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1+abc=(a+b+c+1)^2+abc\geq 0$

TH2: $abc<0$, khi đó, do $a,b,c \epsilon \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$, nên $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ac)=2(1+a)(1+b)(1+c)-abc>0$

Vậy...

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} 1 + x^2y^2 = 19x^2\\ xy^2+y=-6x^2 \end{matrix}\right.$

Giải các hệ phương trình:

$1, \left\{\begin{matrix} x^4+y^4=2\\ x^3-2x^2+2x=y^2 \end{matrix}\right.$

$2, \left\{\begin{matrix} x^2y^2-2x+y^2=0\\ 2x^2-4x+3+y^3=0 \end{matrix}\right.$

$3,\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}+\sqrt{x+2y+2}=7\\ \sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}=7 \end{matrix}\right.$

$4, \left\{\begin{matrix} (2x-1)^2+4(y-1)^2=81\\ xy(x-1)(y-2)=-20 \end{matrix}\right.$

$5, \left\{\begin{matrix} (x-2)(2y-1)=x^3+20y-28\\ 2(\sqrt{x+2y}+y)=x^2+x \end{matrix}\right.$

p/s: câu 1 không dùng thế y^2 từ (2)

Đề của toán thủ : Best Friend

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0(1) & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y (2)& & \end{matrix}\right.$$

pt(1)$\Leftrightarrow 2x^2+3y^2-5xy=0\Leftrightarrow 2x^2-2xy-3xy+3y^2=0\Leftrightarrow(x-y)(2x-3y)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y\\2x=3y \end{bmatrix}$

- Với $x=y$ thì thay vào pt (2), ta có: $4x^2-6x+1-x^2+3x=0 \Leftrightarrow 4x^2-3x+1=0$ (vô nghiệm)

- Với $2x=3y$ thì thay vào (2) ta có: $9y^2-9y+1-y^2+3y=0\Leftrightarrow 8y^2-6y+1=0$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}\\ y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8} \end{bmatrix}$

Vậy tập nghiệm pt là (x,y)=( $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$),($\frac{1}{4}$,$\frac{3}{8}$)

p/s: Thực ra em gửi bài này với 1 thắc mắc nho nhỏ là thường thì phuơng trình ở đề phải đc rút gọn chứ k phải như ở pt (1), em thực sự k hiểu mục đích của việc này là gì, nếu k có mục đích gì thì thôi ak

_____________________________________
Vây mục đích của bạn khi "cố tình" giải sai nghiệm là gì ?
$S = 0$

Giải phương trình: $x^{2}(\sqrt[3]{x^{2}-x-1}-3)+4x=0$

Bài này nghiệm đẹp, giải bt thôi:

-Xét x=0 là 1 nghiệm pt

-Xét $x\neq 0$, pt tương đương: $x\sqrt[3]{x^2-x-1}=3x-4\Leftrightarrow x^5-x^4-x^3=27x^3-108x^2+144x-64\Leftrightarrow x^5-x^4-28x^3+108x^2-144x+64=0\Leftrightarrow(x-2)(x^4+x^3-26x^3+56x-32)=0\Leftrightarrow (x-2)(x-1)(x^3+2x^2-24x+32)=0\Leftrightarrow (x-2)^2(x-1)(x^2+4x-16)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2\\ x=1 \\ x^2+4x-16=0 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2\\ x=1 \\ x=-2+2\sqrt{5} \\ x=-2-2\sqrt{5} \end{bmatrix}$

Vậy,...

@@nguyentrunghieua: !!!!!!!!!!! Quyết tâm trong vòng 1 tháng like hết 989 bài viết của mi, cứ chờ đó!

Câu 1:

Giải hệ

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+x+y=y^2 & \\ x^4 - 4x^2y + 3x^2 = -y^2& \end{matrix}\right.$

Cách 2:

pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 - x(2y-1) + y=0\\ (x^4+2x^2y+y^2)-3x^2(2y-1)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^2+y)-x(2y-1)=0(1)\\ (x^2+y)^2-3x^2(2y-1)=0 (2)\end{matrix}\right.$

* Xét x=0 ...

* Nếu $x\neq 0$, nhân 2 vế của (1) với 3x rồi trừ cho (2), ta có:

$(x^2+y)^2-3x(x^2+y)=0\Leftrightarrow (x^2+y)(x^2+y-3x)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2=-y\\ 3x-x^2=y \end{bmatrix}$

- Nếu $x^2=-y$ thì thay vào (2) ta có: $x(2y-1)=0$...

- Nếu $y=3x-x^2$ thì thay vào (2), ta có: $3x-x(2(3x-x^2)-1)=0 \Leftrightarrow$...

Thế này hay hơn Toàn nhỉ!

Lời giải. $(1) \Leftrightarrow y(2x-1)=x^2+x \Leftrightarrow y= \frac{x^2+x}{2x-1}$ với $x \ne \frac 12$ ($x= \frac 12$ phương trình vô nghiệm).

Thay vào $(2)$ thì phương trình trở thành $$x^2 \left( x^2-4 \frac{x^2+x}{2x-1}+3+ \frac{x^2+2x+1}{4x^2-4x+1} \right)=0 \Leftrightarrow x^2(2x^2+1)(x-1)(x-2)=0$$

Nếu $x=0$ thì $y=0$.

Nếu $x=1$ thì $y=2$.

Nếu $x=2$ thì $y=2$.

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(0,0),(1,2),(2,2)$. $\blacksquare$

Giải các hệ phương trình sau : 

 

$i)$ $\left\{\begin{matrix} x^4+x^2=\dfrac{698}{81} & & \\ x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0 & & \end{matrix}\right.$

 

$ii)$ $\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y & & \\ y+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x & & \end{matrix}\right.$

 

$iii)$ $\left\{\begin{matrix} x^4-x^3y+x^2y^2=1 & & \\ x^3y-x^2+xy=1 & & \end{matrix}\right.$

 $iii)$ $\left\{\begin{matrix} x^4-x^3y+x^2y^2=1 & & \\ x^3y-x^2+xy=1 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^4-2x^3y+x^2y^2+x^3y=1\\ x^3y-(x^2-xy)=1 \end{matrix}\right.$

Đặt $x^3y=a, x^2-x^2y^2=b$ thì hệ phương trình trở thành:

$\left\{\begin{matrix} a^2+b=1(1)\\ a-b=1(2) \end{matrix}\right.$

Từ (1), (2) ta có: $a^2+a-2=0 \Leftrightarrow$ $\begin{bmatrix} a=1, b=0\\ a=-2, b=-3\end{bmatrix}$

Còn lại tự giải

Chứng minh rằng nếu phương trình $ax^{2}+bx+c= x\left ( a\neq 0 \right )$ vô nghiệm thì phương trình$a\left ( ax^{2}+bx+c \right )^{2}+b\left ( ax^{2} +bx+c\right )+c= x$ cũng vô nghiệm.

Các bạn giúp mình bài này nha.  

Do phương trình $ax^2+bx+c=x$ vô nghiệm nên xảy ra 2 trường hợp:

TH1: Giả sử có x thỏa mãn $f(x)> x$, nên tồn tại $f(x)$ thỏa mãn $f(f(x))> f(x)> x$, nên ta có $a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c=x$vô nghiệm 

TH2: TƯƠNG TỰ

Cho $x\geq -\frac{1}{2}$. Tìm max $f(x)=\sqrt{2x^{2}+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x$

$\sqrt{2x^2+5x+2}=\sqrt{(2x+1)(x+2)}\leq \frac{3x+3}{2}$$\Rightarrow f(x)\leq \frac{-x+3+4\sqrt{x+3}}{2}\leq \frac{-x-3+4\sqrt{x+3}-4+10}{2}\leq \frac{10-(\sqrt{x+3}-2)^2}{2}\leq 5$

Dấu bằng xảy ra khi x=1

$$\sqrt{x^{2}+48}=4x-3+\sqrt{x^{2}+35}\Leftrightarrow \frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+48}+7}-\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+35}+6}=4(x-1)\Leftrightarrow (x-1)[\frac{x+1}{\sqrt{x^2+48}+7}-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+35}+6}-4]\Leftrightarrow x=1$$

Bài bạn thiếu điều kiện thì làm sao mà đánh giá phần sau đc

Cách liên hợp khác (mình hay dùnhg cái này hơn):
pt$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+48}-\sqrt{x^2+35}= 4x-3$$\Rightarrow x> \frac{3}{4}$
Ta biển đổi pt thành:
$\sqrt{x^2+48}-(4x+3)-\sqrt{x^2+35}+6=0\Leftrightarrow \frac{-15x^2-24+39}{\sqrt{x^2+48}+4x+3}-\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+35}+6}= 0\Leftrightarrow (x-1)(\frac{-15-39}{\sqrt{x^2+48}+4x+3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+35}+6})$ theo đk ở trên ta có x=1

Bài bạn thiếu điều kiện thì làm sao mà đánh giá phần sau đc

Cách liên hợp khác (mình hay dùnhg cái này hơn):
pt$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+48}+\sqrt{x^2+35}= 4x-3$$\Rightarrow x> \frac{3}{4}$
Ta biển đổi pt thành:
$\sqrt{x^2+48}-(4x+3)-\sqrt{x^2+35}+6=0\Leftrightarrow \frac{-15x^2-24+39}{\sqrt{x^2+48}+4x+3}-\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+35}+6}= 0\Leftrightarrow (x-1)(\frac{-15-39}{\sqrt{x^2+48}+4x+3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+35}+6})$ theo đk ở trên ta có x=1

Chỗ đó viết nhầm kìa , phải là $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+48}-\sqrt{x^2+35}= 4x-3$
Ok:Đã Fix

 

Giải phương trình:

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$

 

Toán thủ ra đề 19kvh97

 

 

Tuy em không đăng ký tham gia MHS (do không đủ tuổi), nhưng em vẫn muốn đóng góp cho diễn đàn. Cách giải sau đây có lẽ sẽ dài hơn cách giải của các anh chị nhưng bài giải này hoàn toàn theo phương pháp cấp 2 mà không dính dáng gì đến cấp 3

 

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$

$\Leftrightarrow 8x^6 + 22x^4 - x^3 + 22x^4 + 8 = 2\sqrt[3]{6x^10+x^9+6x^8}$

- Xét x=0 không phải là nghiệm của pt

-Xét $x\neq 0$, khi đó chia 2 vế pt cho $x^3$, pt tương đương với:

$8x^3+\frac{8}{x^3}+22x+\frac{22}{x}-1=2\sqrt[3]{6x+\frac{6}{x}+1}\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})^3-22(x+\frac{1}{x})-1=2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}$

Đặt $a= x+\frac{1}{x}$, khi đó pt trên trở thành:

$8a^3-2a-1=2\sqrt[3]{6a+1}$(1). Lại đặt a = t +1, khi đó pt(1) trở thành:

$8(t+1)^3-2(t+1)-1=2\sqrt[3]{6t+7}\Leftrightarrow 8t^3+24t^2+22t+5=2\sqrt[3]{6t+7}$

Đặt $\sqrt[3]{6t+7}=2k+2$ thì ta có hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} 8t^3+24t^2+22t-4k=-1(2)\\ 8k^3+24k^2+24k-6t=-1(3)\end{matrix}\right.$

Trừ (2) cho (3), vế theo vế, ta có:

$8(t^3-k^3)+24(t^2-k^2)+28(t-k)=0\Leftrightarrow (t-k)(2t^2+2kt+k^2+6t+6k+7)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=k\\ A=2t^2+2kt+k^2+6t+6k+7=0 \end{bmatrix}$.

Mà $A=2t^2+t(2k+6)+(2k^2+6k+7)$, $\Delta _{A}=-12(k+1)^2-8< 0$nên pt vô nghiệm.

Vậy t=k, khi đó: $\sqrt[3]{6t+7}=2t+2\Leftrightarrow 8t^3+24t^2+18t+1=0$, mà t=a-1, nên thay vào ta có:

$8a^3+42a+1=0$. Đặt $a=z-\frac{1}{z}$, thì pt trên trở thành:

$8(z^3-\frac{1}{z^3})+1=0\Leftrightarrow 8z^6+z^3-8=0\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} z_{1}=\frac{\sqrt[3]{-1-\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}\\ z_{2}=\frac{\sqrt[3]{-1+\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}} \end{bmatrix}$. Mà theo hệ thức Vi-et thì $z_{1}.z_{2}=-1$nên $a=\frac{\sqrt[3]{-1+\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt[3]{-1-\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}$.

Ta có:$a=x+\frac{1}{x}\Leftrightarrow x^2-ax+1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{1}=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\\ x_{2}=\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2} \end{bmatrix}$với$a=\frac{\sqrt[3]{-1+\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt[3]{-1-\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}$.

Tính toán khá là rắc rối ^^, nếu có gì sai mong mọi người thông cảm!

 

 

Bài này em không có tham gia MHS nên không có chấm điểm. Bài làm của em sai tập nghiệm là do em chưa khảo sát kĩ điều kiện của ẩn phụ $a$. Tuy nhiên CD13 rất thích cách đặt $a=t+1$ của em, điều này ngoài suy nghĩ của anh vì hầu như khi ra phương trình chứa ẩn phụ $a$ thì ai cũng đi khảo sát hàm số hết!

Mong em đóng góp nhiều cho diễn đàn!

Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} x^2+2y^2-3x+2xy=0 & & \\ xy(x+y)+(x-1)^2=3y(1-y) & & \end{matrix}\right.$$

Nhân 2 vế (1) vs x rồi cộng vs pt (2):

$x^3 + 3xy(x+y) -2x^2 -2x +1 = 3y(1-y)\Leftrightarrow x^3 + 3xy(x+y) + y^3 - y^3 + 3y(y-1) +1=2x^2 + 2x\Leftrightarrow (x+y)^3 - (y-1)^3=2x(x+1)\Leftrightarrow (x+1)(x^2 + 2xy + y^2 + y^2 - 2y +1 +xy + y^2 -x -y)=2x(x+1)$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1\\ x^2 + 3y^2 -3x -3y +1 + 3xy= 0 \end{bmatrix}$

TH1: x=-1, thay vào pt 1 thấy vô nghiệm

TH2: Ta có hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} x^2 + 2y^2 -3x +2xy =0\\ x^2 + 3y^2 -3x -3y + 3xy + 1 =0 \end{matrix}\right.$

Nhân 2 vế của pt (2) vs 2 rồi trừ cho pt (1):

$x^2 - x(3-4y) + 4y^2 -6y + 2=0$

Từ đây ta có:$\begin{bmatrix} x=1-2y\\ x=2-2y \end{bmatrix}$...

 

P/s; - Máy tính mi là đồ dởm A ạ!

       - Đề tau đưa cho mi k bao giờ có chuyện sai

@@nguyentrunghieua: -Chắc là mi tính sai thôi chứ máy đó tau tính sai bao giờ đâu 

                                      - Gớm thật đề của star có khác ,,,, 

Giải hệ pt: 

$\left\{\begin{matrix} x^3 + y^3 = 91\\ 4x^2 + 3y^2 = 16x +9y \end{matrix}\right.$

giải pt:

      1,$\frac{6x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{1-x}}=3+2\sqrt{x-x^{2}}$

      2,$\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{2x+1}-3}=\frac{1}{x+2}$

Đặt $a= \sqrt{2x+1}$, $b= \sqrt[3]{x+1}$. Khi đó, pt trở thành: $\frac{a-2}{b-3}= \frac{1}{a^{2}+1}$$\Leftrightarrow a^{3}-2a^{2}+a+1=b$

Mặt khác, theo cách đặt: $2a^{2}-b^{3}=1\Leftrightarrow 2a^{2}=1+b^{3}$. Thay vào, ta có: $a^{3}-b^{3}+a-b= 0\Leftrightarrow (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}+1)=0$...

Cho a,b,c $\in \left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh:

$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+ac^{2}+b^{2}c$