HoaTheKiet

chứng minh rằng trong 17 số thực bất kỳ khác nhau từng đôi một , bao giờ cũng tồn tại 2 số thực x và y sao cho 0 < $\frac{x-y}{1+ xy}$ < $\frac{1}{5}$

 

Giả sử $a_i = \arctan x_i \Rightarrow a_i \in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$.

Tồn tại số $a_1,a_2$ mà $a_1 - a_2 < \frac{\pi}{16}$. Khi đó:

$\frac{x_1-x_2}{x_1x_2+1}= \tan {(a_1 - a_2)} < \tan {\frac{\pi}{16}} < \frac{1}{5}$

_____________

*******************

Mình không hiểu gõ sai chỗ nào mà công thức không hiện?

Tính định thức sau:

$\begin{bmatrix} x & 1 & 0 &... &0 \\ 1 & x & 1 & ... &0 \\ 0 & 1 & x & ... &0 \\ ...& & & & \\ 0 &0 &0 & ... &x \end{bmatrix}$

Tridiagonal matrix.

$$D_n = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 0 &... &0 \\ c_1 & a_2 & b_2 & ... &0 \\ 0 & c_2 & a_3 & ... &0 \\ ...& & & & \\ 0 &0 &0 & ... & a_n \end{vmatrix}, D_0=1, D_1 = a_1$$

Khai triển ta được

$$D_k=a_kD_{k-1}-b_{k-1}c_{k-1}D_{k-2}$$

Cho 2 sợi dây A,B mỗi sợi cháy trong 1 tiếng. Hỏi làm cách nào có thể đo được 45 phút mà không gấp sợi dây thành các phần 

- Gấp đôi một sợi để tìm trung điểm, sau đó đốt tại trung điểm cho thành 3 sợi: 60, 30, 30

Bắt đầu bấm giờ nè:

- Đốt 2 đầu sợi 60. --> Đo đc 30p

- Đốt 2 đầu sợi 30 --> Xong.

Bạn ơi xem thử đề đúng chưa vậy.

Mình nghĩ là giao vô hạn họ đó chứ không phải hợp đâu.

Vì từng tập trong họ đó đã trù mật khắp nơi rồi, nên hợp của chúng ("lớn" hơn) thì cũng trù mật.

Mà vậy thì giả thiết X đầy đủ lại thừa.

Mình nghĩ đề là giao.

Và giả thiết đầy đủ để sử dụng định lý Baire, X thuộc phạm trù II.

Bạn xem lại giúp nhé.

Chứng minh quy nạp:

$$f_n(x) = e^x - \left ( 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}\right ) \ge 0, x \ge 0$$

Ta có

$$f'_n(x)=f_{n-1}(x) \ge 0 \Rightarrow f_n(x) \ge f_n(0) = 0$$

Mình gợi ý vậy thôi nhé.

1. Giả sử U,V và W là 3 không gian véc tơ con của một không gian véc tơ. Chứng minh rằng $(U\cap V)+(U\cap W)\subset U\cap (V+W)$

$$(U \cap V) \subset (U \cap (V+W)), (U \cap W) \subset (U \cap (V+W))$$

$(U \cap V)+ (U \cap W)$ là kgvt con nhỏ nhất chứa $(U \cap V), (U \cap W)$ nên 

$$ (U \cap V)+ (U \cap W) \subset (U \cap (V+W))$$

____________________

*****************************

Mình gõ sao nó không hiện công thức được vậy??

 

3. Giả sử W1, W2 là hai không gian con 2 chiều của $R^3$. Chứng minh rằng $W1\cap W2 \neq {0}$

$$Dim(W_1+W_2)=DimW_1 + DimW_2 - Dim(W_1 \cap W_2) = 4-Dim(W_1 \cap W_2)$$

$$W_1 \cap W_2 = 0 \Rightarrow Dim(W_1+W_2)=4$$ (vô lý)

$$A=(x+y)^3-3xy(x+y)+8xy+2\sqrt{(x+y)^2-2xy} =2xy+8+2\sqrt{4-2xy}=-(4-2xy)+2\sqrt{4-2xy}+12$$

Ta thấy

$$0 \le xy \le 1$$

nên

$$\sqrt{2} \le \sqrt{4-2xy} \le 2$$

Khảo sát tam thức bậc hai $f(t)=-t^2+2t+12, t \in [\sqrt{2},2]$ ta được

$\min_{t \in [0,2]}f(t) = 12$ đạt tại $t=2 \Rightarrow x=0, y=2$

$\max_{t \in [0,2]}f(t) = 2\sqrt{2}+10 $ đạt tại $t=\sqrt{2} \Rightarrow x=1, y=1$

Tính theo định nghĩa:

$$f'(0)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin^2 x.arctan\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{sinx}{x})^2(xarctan\frac{1}{x})= 1.0 = 0$$