QuynhTam

1).Cho a,b,c>0, ab+bc+ca=3.CM:

 a. $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}$

 b. $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

2).cho a,b,c>0. CM:$a^3+b^3+c^3-3abc\geq (\frac{b+c}{2}-a)^3$

1/. $\sqrt{x^2+x-1}+ \sqrt{x^2-x+1}=x^2-x+2$

2/. $\sqrt{25x(2x^2+9)}=4x+\frac{3}{x}$

$P=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{9}{b+c})-1-4-9$

Áp dụng Cauchy-Schawrt có: 

$\frac{1}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{9}{b+c}\geq \frac{(1+2+3)^2}{2(a+b+c)}$

=>$P\geq 18$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $$f(x)= \sqrt{x^4 - 3x^2  - 6x + 13} - \sqrt{x^4 - x^2 + 1}$$

Ta có: $f(x)=\sqrt{(x^2-2)^2+(x-3)^2}-\sqrt{(x^2-1)^2+x^2}$

Áp dụng BĐT: $(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2} )^2\leq (a-c)^2+(b-d)^2$  ( Tự chứng minh bằng tương đương )

 => $\left [\sqrt{(x^2-2)^2+(x-3)^2}-\sqrt{(x^2-1)^2+x^2}\right ]^2\leq (x^2-2-x^2+1)^2+(x-3-x)^2$

=>$f(x)^2\leq 10$

=>$\sqrt{10}\geq f(x)\geq -\sqrt{10}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki $(ax+by+cz)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$ với mọi a,b,c,x,y,z ( Tự chứng minh tương đương )

Ta có: $\left\{\begin{matrix} (1.x+1.y+1.z)^2\leq (1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)\\ x^2+y^2+z^2\leq 27 \end{matrix}\right.$

$=>(x+y+z)^2\leq 3.27=81$

$=>A^2\leq 81^2$

=>$-9\leq A\leq 9$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki như trên cũng có:

$(x.y+y.z+z.x)^2\leq (x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)=(x^2+y^2+z^2)^2$

Mà $(x^2+y^2+z^2)^2\leq 27^2=729$

Nên $B^2\leq 27^2$

=> $-27\leq B\leq 27$

Dấu "=" xảy ra của A,B để đạt min là khi $x=y=z=-3$, max là khi $x=y=z=3$

Cho a,b>1. Chứng minh:

$\dfrac{1}{\sqrt{1 + a^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1 + b^2}} \ge \dfrac{2}{\sqrt{1 + (\dfrac{a + b}{2})^2}}$

BĐT <=> $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{2}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}\geq \frac{16}{4+(a+b)^2}$

 Áp dụng BĐT : $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}$ với mọi ab>1 ( Tự chứng minh bằng tương đương )

=> $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{2}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{2}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}$ (1)

Áp dụng Cauchy có: $1+a^2+1+b^2\geq 2\sqrt{(1+a^2)(b^2+1)}$

 <=> $\frac{2}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}\geq \frac{4}{2+a^2+b^2}$

=> $\frac{2}{ab+1}+\frac{2}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}\geq \frac{4}{2+a^2+b^2}+\frac{4}{2ab+2}$ (2)

Áp dụng BĐT : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với mọi x,y>0 ( Tự chứng minh ) ta có:

$\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab+2}\geq \frac{4}{4+(a+b)^2}$

=>$\frac{4}{2+a^2+b^2}+\frac{4}{2ab+2}\geq \frac{16}{4+(a+b)^2}$(3)

Từ (1)(2)(3)=>$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{2}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}\geq \frac{16}{4+(a+b)^2}$

=>$\dfrac{1}{\sqrt{1 + a^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1 + b^2}} \ge \dfrac{2}{\sqrt{1 + (\dfrac{a + b}{2})^2}}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b

$-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$ ban chứng minh cái đó luôn đi 

$-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$ 

<=> $\sqrt{x^2-x+1}<\sqrt{x^2+x+1}+1$

<=> $\sqrt{(2x-1)^2+3}<\sqrt{(2x+1)^2+3}+2$

Áp dụng BĐT phụ mình nói ở trên ta có: 

 $\sqrt{(2x+1)^2+\sqrt{3}^2}+\sqrt{(-2)^2+0^2}\geq \sqrt{(2x+1-2)^2+(\sqrt{3}+0)^2}$

<=> $\sqrt{(2x+1)^2+3}+2\geq \sqrt{(2x-1)^2+3}$

=> Dấu "=" ko xảy ra => đpcm

CM: $$-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}<1$$ Với mọi x. cái này mình không lầm thì nó liên quan đến bdt minkovsky thì phải

Ta cần chứng minh: $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}<1$ 

<=> $\sqrt{x^2+x+1}<1+\sqrt{x^2-x+1}$

<=> $\sqrt{4x^2+4x+4}<2+\sqrt{4x^2-4x+4}$

<=> $\sqrt{(2x+1)^2+3}<2+\sqrt{(2x-1)^2+3}$  (1)

 Áp dụng BĐT : $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$ với mọi a,b,c,d ( Tự chứng minh bằng tương đương )

 Ta có : $\sqrt{(2x-1)^2+\sqrt{3}^2}+\sqrt{2^2+0^2}\geq \sqrt{(2x-1+2)^2+(\sqrt{3}+0)^2}$

          <=> $2+\sqrt{(2x-1)^2+3}\geq \sqrt{(2x+1)^2+3}$ => Thoả mãn (1)

=>  $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\leq 1$

Dấu "=" xảy ra <=> $0.(2x-1)=2\sqrt{3}$ <=> $0=2\sqrt{3}$ ( Vô lí )

Vậy dấu "=" không xảy ra =>  $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}<1$ 

Còn cái $-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$ đổi thành $\sqrt{x^2-x+1}< \sqrt{x^2+x+1}+1$ rồi chứng minh tương tự như trên nha!

2. P= $x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45$

P=$x^2-2x(y+6)+y^2+12y+36+5y^2-10y+5+4$

P=$x^2-2x(y+6)+(y+6)^2+5(y-1)^2+4$

P=$(x-y-6)^2+5(y-1)^2+4\geq 4$

Dấu "=" xảy ra khi $y=1$ và $x=7$

P/s: Mình nghĩ bài 2 này không có GTLN đâu bạn nhé ^^!

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a^2  + b^2  + c^2  = \frac{5}{3}$

Chứng minh: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{{abc}}$

Đề sai khi thay $a=b=c=\sqrt{\frac{5}{9}}$ nhé bạn!!

Cho $a,b,c\epsilon [1;3]$. Chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 12$

Cho a,b,c>0 thoả : $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Chứng minh: $ab+bc+ca-abc\leq 2$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$

PT tương đương: $\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}-\sqrt{2x-1}+8-2x^2=0$

   <=>$\frac{\frac{x+7}{x+1}-(2x-1)}{\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}+\sqrt{2x-1}}+8-2x^2=0$

   <=> $\frac{\frac{8-2x^2}{x+1}}{\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}+\sqrt{2x-1}}+8-2x^2=0$

   <=> $\frac{8-2x^2}{(x+1)(\frac{x+7}{x+1}+\sqrt{2x-1})}+8-2x^2=0$

   <=>$(8-2x^2)\left [ \frac{1}{(x+1)(\frac{x+7}{x+1}+\sqrt{2x-1})}+1 \right ]=0$

   => $8-2x^2=0$ ( Vì $\frac{1}{(x+1)(\frac{x+7}{x+1}+\sqrt{2x-1})}+1>0$ với mọi  $x\geq \frac{1}{2}$ )

   <=> $4-x^2=0$

   <=> x=2 ( nhận ) hoặc x=-2 ( loại )

 Vậy S={2} 

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow ax+by+cz\leq \sqrt{(\sum a^2)(\sum x^2)}$

Chia cả $2$ vế của BĐT cho $\sqrt{(\sum a^2)(\sum x^2)}$ ta phải chứng minh

$\sqrt{\frac{a^2x^2}{(\sum a^2)(\sum x^2)}}+\sqrt{\frac{b^2y^2}{(\sum a^2)(\sum x^2)}}+\sqrt{\frac{c^2z^2}{(\sum a^2)(\sum x^2)}}\leq 1$

Nhưng BĐT này luôn đúng vì theo $AM-GM$ cho $2$ số thì

$\sum \sqrt{\frac{a^2x^2}{(\sum a^2)(\sum x^2)}}\leq \sum \frac{\sum \frac{a^2}{\sum a^2}+\sum \frac{x^2}{\sum x^2}}{2}=1$ (đpcm)

Nếu căn 2 vế bất đẳng thức thì lúc này  bạn phải chứng minh BĐT này nè:

 $\Leftrightarrow |ax+by+cz|\leq \sqrt{(\sum a^2)(\sum x^2)}$ 

Tại a,b,c,x,y,z là số thực, đâu biết âm hay dương đâu mà bỏ trị, hơn nữa lỡ a,b,c,x,y,z đều bằng 0 thì sao bạn chia dưới mẫu được ?

Cho x,y không âm thoả : $x^3+y^3+xy=x^2+y^2$

Tìm GTNN và GTLN của $\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}$