quangnghia

$\frac{cot^2x-tan^2x}{cos2x}=16(1+cos4x)$

để ý 1 tí thì: $cot^{2}x-tan^{2}x=(cotx-tanx)(cotx+tanx)=(\frac{cosx}{sinx}-\frac{sinx}{cosx})(\frac{cosx}{sinx}+\frac{sinx}{cosx})=\frac{2cos2x}{sin2x}.\frac{2}{sin2x}=\frac{4cos2x}{\frac{1+cos4x}{2}}$

Thay vào sau đó phương trình chỉ còn 1 ẩn là cos4x. Tới đây bài toán được giải quyết xong

Tìm x nguyên để GT biểu thức A=$\frac{2x}{\sqrt{x-4}}$ nguyên.   

Mình xin giải bài này như sau:

Đặt $\frac{2x}{\sqrt{x-2}}=k$

$\Rightarrow 4x^{2}=k^{2}(x-2)$

$\Rightarrow 4x^{2}-k^{2}x+2k^{2}=0$

Đến đây bạn xét Denta, tìm ra chặn của k, k thuộc số nguyên, dễ dàng chọn được k. Với mỗi giá trị k, dễ dàng kiểm tra xem có giá trị x nào thoả mãn hay không

dương làm bằng niềm tin ak???

Có cách khác đây anh 

Toc Ngan

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó ta có: 

$b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}$

$a^{2}-ac+c^{2}\leq (a+c)^{2}$

$a^{2}-ab+b^{2}\leq (a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2}$

Nên: $\prod (a^{2}-ac+b^{2})\leq (a+c)^{2}b^{2}((a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2})$

Ta đặt: $x=\frac{a+c-b}{2}, y=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Do vậy BĐT được viết lại dưới dạng sau:

$(y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})$

Sử dụng AM-GM:

$\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})(y^{2}+3x^{2})\leq (\frac{4}{3}y^{2})^{3}=27\Rightarrow (y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})\leq 12$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$

   

thấy đề thớt cho dương á

Bài này áp dụng $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ cũng được

cosi nó mới pro ))

Sao bạn quy đồng kì vậy Bạn coi lại đi

sr bạn, mình nhầm nhưng cái phân số thứ 2 mẫu phải là x+1 chứ nhỉ

Tôi muốn các bạn chứng minh bằng AM-GM chứ chebyshev thì quá dễ cho tất cả......  

ok, chiều bạn luôn

$3a^{5}+a=a^{5}+a^{5}+a^{5}+a\geq 4a^{4}$

chứng minh tương tự và cộng theo vế ta được $3(a^{5}+b^{5}+c^{5})+a+b+c\geq 4(a^{4}+b^{4}+c^{4})$   

$3(a^{5}+b^{5}+c^{5})\geq 4(a^{4}+b^{4}+c^{4})-3$

ta có $a^4+1+1+1\geq 4a, b^{4}+1+1+1\geq 4b, c^{4}+1+1+1\geq 4c$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 3$

$\geq 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})+(a^{4}+b^{4}+c^{4})-3\geq 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Bài toán kết thúc

2) $20(\frac{x-2}{x-1})^{2}-5(\frac{x+2}{x-1})^{2}+48(\frac{x^2-4}{x^2-1})=0$

bài số 2 thì quy đồng lên ta được

$20(x-2)^{2}-5(x+2)^{2}+48(x^{2}-4)=0$

đặt x-2=a. x+2=b thì

$20a^{2}-5b^{2}+48ab=0$

$\Rightarrow a=\frac{b}{10}$ hay $a=\frac{-5b}{2}$

Tới đây bạn giải tiếp được rồi

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn: $a+b+c=3$

CMR: $a^{5}+b^{5}+c^{5}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}$

Bài 2:

Cho $a_{1},a_{2},.....,a_{n}$ là các số dương thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=n$

CMR: $a_{1}^{k+1}+a_{2}^{k+1}+...+a_{n}^{k+1}\geq a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}$

Với $k$ là số thực dương: $k\geq 2$

Bài này có thể dùng bất đẳng thức chebyshev cho các dãy $(a,b,c), (a^{4},b^{4},c^{4})$. Bạn có thể xem bất đẳng thức ở http://diendantoanho...thức-chebyshev/

Cho \[\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=1\] . Tìm min của $A={{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ 

ta có $x^{3}+x^{3}+\frac{4\sqrt{2}}{x^{2}}+\frac{4\sqrt{2}}{x^{2}}+\frac{4\sqrt{2}}{x^{2}}\geq 10\sqrt{2}$

$\Rightarrow 2x^{3}+\frac{12\sqrt{2}}{x^{2}}\geq 10\sqrt{2}$

chứng minh tương tự ta được$\Rightarrow 2y{3}+\frac{12\sqrt{2}}{y^{2}}\geq 10\sqrt{2}$

công theo vế ta được

$2(x^{3}+y^{3})+12\sqrt{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})\geq 20\sqrt{2}$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq 4\sqrt{2}$

$\left\{\begin{matrix} (x+y)(xy+y+5)=-8 & \\ x^{2}+y^{2}+x(y+1)=3& \end{matrix}\right.$