Robben98

Bài toán 3. Chứng minh số tập con thực sự và khác rỗng của một tập có n phần tử là ${{2}^{n}}-1$ 

Cho tập $S$ có $n$ phần tử thì số tập con của $S$ là $2^{n}$ (kể cả tập rỗng)

Bài toán trên chứng minh bằng nguyên lý quy nạp

Chứng minh:

Bước 1: $n=1\Rightarrow$ tập $S$ có $2$ tập con là chính nó và tập rỗng.

Bước 2: Giả sử $n=k$ thì số tập con của $S$ là $2^{k}$

Bước 3:Ta cần chứng minh với $n=k+1$ thì số tập con của $S$ là $2^{k+1}$

Đặt $A=\begin{Bmatrix} a_{1};a_{2};...;a_{k} \end{Bmatrix}$ và $B=\begin{Bmatrix} a_{1};a_{2};...;a_{k};a_{k+1} \end{Bmatrix}$

Do $A\subset B$ nên số tập con của B là:

     * Các tập con của A có $2^{k}$ tập

     * Các tập con của A thêm phần tử $a_{k+1}$ ta có: $2^{k}$ tập

Dẫn đến số tập con của tập có $k+1$ phấn tử là $2^{k+1}$ tập

Do đó số tâp con của tập có $n$ phần tử là $2^{n}$ tập

Vậy số tập con của tập có $n$ phần tử và khác rỗng là $2^{n}-1$ tập

Cho tứ diện ABCD và 4 điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng M, N, P, Q thẳng hàng khi và chỉ khi 

\[\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}.\frac{\overline{NB}}{\overline{NC}}.\frac{\overline{PC}}{\overline{PD}}.\frac{\overline{QD}}{\overline{QA}}=1\]

Định lý Menelaus chỉ có phần thuận.Chứng minh rằng: $\overline{M,N,P,Q}\Rightarrow \frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}.\frac{\overline{NB}}{\overline{NC}}.\frac{\overline{PC}}{\overline{PD}}.\frac{\overline{QD}}{\overline{QA}}=1$

Chứng minh:

Trong $mp(ABC)$ gọi $E=AC\cap MN$

Theo định lý Menelaus $\Delta ABC$ và $\overline{M,N,E}$ ta có:

$\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}.\frac{\overline{NB}}{\overline{NC}}.\frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}=1(1)$

Theo định lý Menelaus $\Delta ACD$ và $\overline{P,Q,E}$ ta có:

$\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}}.\frac{\overline{PC}}{\overline{PD}}.\frac{\overline{QD}}{\overline{QA}}=1(2)$

Nhân $(1)$ với $(2)$ vế theo vế ta có: $\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}.\frac{\overline{NB}}{\overline{NC}}.\frac{\overline{PC}}{\overline{PD}}.\frac{\overline{QD}}{\overline{QA}}=1$

Cho $a+\frac{1}{a}$ là số nguyên

Chứng minh rằng  $a^{n}+\frac{1}{a^{n}}$ là số nguyên

Bài này chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Đặt $P_{n}=a^{n}+\frac{1}{a^{n}}$

Bước 1: $n=1=>P_{1}=a+\frac{1}{a}\in Z$

Bước 2: $n=2=>P_{2}=a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=(a+\frac{1}{a})^{2}-2\in Z$

Bước 3: Giả sử $n=k$ thì $P_{k}=a^{k}+\frac{1}{a^{k}}\in Z$

Bước 4: Ta cần chứng minh $n=k+1$ ta có $P_{k+1}=a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}\in Z$

Thật vậy: $P_{k+1}=a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}=(a+\frac{1}{a})(a^{k}+\frac{1}{a^{k}})-(a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}})=P_{1}.P_{k}-P_{k-1}\in Z$

Vậy: $P_{n}=a^{n}+\frac{1}{a^{n}}\in Z$

Giải phương trình $2x^{2}-11x+23=4\sqrt{x+1}$ $(1)$

Cách 2: Dùng bất đẳng thức

 Áp dụng bđt AM-GM cho $2$ số dương:

     $(x+1)+4\geq 4\sqrt{x+1}$

 Kết hợp với $(1)$ suy ra:

     $2x^{2}-11x+23\leq x+5<=>x^{2}-6x+9\leq 0<=>(x-3)^{2}\leq 0<=>x=3$

Thử lại thấy $x=3$ là nghiệm của $(1)$

Vậy: $S=\left \{ 3 \right \}$