Algebra

KỲ THI OLYMPIC 30/4 LẦN THỨ XXI 

Bài 1(4 điểm)

Giải hệ phương trình : 

$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}+\frac{3}{x+y}=4\\ 2(4-3y)\sqrt{2x^{2}-1}=10y^{2}-20y+3x+4 \end{matrix}\right.$$

Bài 2(4 điểm)

Cho $\Delta ABC$. 1 đường thẳng song song $BC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $D,E$. $P$ là điểm trong tam giác $ADE$. $PB,PC$ theo thứ tự cắt $DE$ tại $M,N$.   $O_{1},O_{2}$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDN, PEM$. Gọi $I$ là giao điểm của $AP$ với $O_{1}O_{2}$. Tính $\widehat{AIO_{1}}$

Bài 3(3 điểm)

Cho a,b,c là các số thực dương sao cho $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

 Tìm max: $T=\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}$

Bài 4(3 điểm)

Cho 10 điểm thuộc mp tọa độ Oxy. Biết mỗi điểm đều có tọa độ nguyên. Tìm số tam giác ít nhất tạo bởi 3 trong 10 điểm trên có diện tích nguyên.

Bài 5(3 điểm)

Có 8 phong thư và 8 tem thư được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách dán tem vào thư sao cho có ít nhất 1 tem được đánh số trùng với số của phong thư.

Bài 6(3 điểm)

Tìm hàm $f:N*\rightarrow N*$ thỏa mãn: 

$f(m+f(n))=n+f(m+2015)$

Ps: năm nay 4 câu mới có vàng nhé !! 

@Juliel fixed

 

$\frac{a}{ab+1}=a-\frac{a^2b}{ab+1}\geq \frac{\sqrt{a^3b}}{2}$

Làm tương tự ta có:

$VT\geq a+b+c-\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}}{2}$

Ta có BĐT quen thuộc là:$3(a^3b+b^3c+c^3a)\leq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \sum \sqrt{a^3b}\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^2=3$

Vậy ta có đpcm dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

 

giải thích giúp mình bđt này đi bạn

Cho $a,b,c\geq \frac{-3}{4}: a+b+c=1$.Chứng minh $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}+\frac{c}{1+c^{2}}\leq \frac{9}{10}$

Cho x,y,z>0 và $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1 . \\ CMR: \frac{x^{2}+yz}{\sqrt{2x^{2}(y+z)}}+\frac{y^{2}+zx}{\sqrt{2y^{2}(z+x)}}+\frac{z^{2}+xy}{\sqrt{2z^{2}(x+y)}}\geq 1.$

$\frac{x^{2}+yz}{\sqrt{2x^{2}(y+z)}}+\frac{y^{2}+zx}{\sqrt{2y^{2}(z+x)}}+\frac{z^{2}+xy}{\sqrt{2z^{2}(x+y)}}= \frac{1}{\sqrt{2}}(\sum \frac{x}{\sqrt{y+z}}+\sum \frac{yz}{x\sqrt{y+z}})$

$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{\sum \sqrt{x+y}}+\frac{1}{xyz}(\sum \frac{y^{2}z^{2}}{\sqrt{y+z}}))\geq \frac{1}{\sqrt{6(x+y+z)}}+\frac{(xy+yz+zx)^{2}}{xyz\sqrt{6(x+y+z)}}\geq \frac{1}{\sqrt{6(x+y+z)}}+\frac{3xyz(x+y+z)}{xyz\sqrt{6(x+y+z)}}= \frac{1}{\sqrt{6(x+y+z)}}+\sqrt{\frac{3(x+y+z)}{2}}\geq 1$

Cho $a,b,c>0$. CMR:$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)} \geq \frac{3}{2}$

$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)}=\frac{a^4}{a^{2}b(b+c)}+\frac{b^4}{b^{2}c(c+a)}+\frac{c^4}{c^{2}a(a+b)}$

$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc(a+b+c)}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}+\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}= \frac{3}{2}$

Cho  $x,y,z \geq 0,x+y+z \leq 3$.Tìm Min của

$$P=\frac{2}{x^3}+\frac{2}{y^3}+\frac{2}{z^3}+\frac{1}{x^2+y^2-xy}+\frac{1}{y^2+z^2-yz}+\frac{1}{z^2-zx+x^2}$$

$P=\sum (\frac{x^{3}+y^{3}}{2x^{3}y^{3}}+\frac{x+y}{x^{3}+y^{3}})+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}$

$\geq \sum (\frac{x^{3}+y^{3}}{2x^{3}y^{3}}+\frac{2\sqrt{xy}}{x^{3}+y^{3}})+\frac{1}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{3}$

$\geq 2\sum \sqrt{\frac{\sqrt{xy}}{x^{3}y^{3}}}+\frac{1}{9}(\frac{9}{x+y+z})^{3}$

$\geq 6\sqrt[6]{\frac{xyz}{(xyz)^{6}}}+3=6\sqrt[6]{\frac{1}{(xyz)^{5}}}+3\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{((\frac{x+y+z}{3})^{3})^{5}}}+3\geq 9$

Cho tam giác có độ dài 3 cạnh là $a,b,c$ có chu vi bằng 4. C/m

$27\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc \right )\geq 208$

 $BDT\Leftrightarrow 27(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)=27(a+b+c)^{2}-27.2(ab+bc+ca)+27abc\geq 208$

$\Leftrightarrow abc+\frac{224}{27}\geq 2(ab+bc+ca)$  (@@)

Mặt khác theo bđt Schur: 

$(a+b+c)^{3}+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 4^{3}+9abc\geq 4^{2}(ab+bc+ca)\Leftrightarrow abc+\frac{64}{9}\geq \frac{16}{9}(ab+bc+ca)$(1)

Lại có $\frac{2}{9}(ab+bc+ca)\leq \frac{2}{27}(a+b+c)^{2}= \frac{32}{27}$(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được (@@) (đpcm).

 

Tìm GTLN của biểu thức :

$P = \frac{x}{1+x^{2}} + \frac{y}{1+y^{2}} + \frac{z}{1+z^{2}}$

Trong đó x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z = 1   

 

Ta có $x^{2}+1=x^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}\geq \frac{2}{3}x+\frac{8}{9}\Rightarrow \frac{x}{x^{2}+1}\leq \frac{9x}{2(3x+4)}$

$\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}(\sum \frac{3x}{3x+4})=\frac{3}{2}(3-\sum \frac{4}{3x+4})\leq \frac{3}{2}(3-\frac{4.9}{3(x+y+z)+12}=\frac{9}{10}$

Hình gửi kèm

 

1,cho a,b,c là các số thực dương. chứng minh rằng:

$(1+\frac{1}{a})^4+(1+\frac{1}{b})^4+(1+\frac{1}{c})^4 \geq 3(1+\frac{3}{2+abc})^4$

2, cho: $xyz+yzt+ztx+txy=x+y+z+t+\sqrt{2014}$

Chứng minh: $(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)(t^2+1) \geq 2014$

 

1.Áp dụng BDT $27(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a+b+c)^{4}$:

$27((1+\frac{1}{a})^4+(1+\frac{1}{b})^4+(1+\frac{1}{c})^4) \geq(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{4}$

BDT quy về chứng minh

$(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{4}\geq 3^{4}(1+\frac{3}{2+abc})^4$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(1+1+abc)\geq 9$(đúng theo AM-GM)

2. $xyz+yzt+ztx+txy=x+y+z+t+\sqrt{2014}$

$\Leftrightarrow x(yz-1)+t(yz-1)+y(tx-1)+z(tx-1)=\sqrt{2014}$

$\Leftrightarrow (yz-1)(x+t)+(tx-1)(y+z)=\sqrt{2014}$

Theo CBS: $2014=((yz-1)(x+t)+(tx-1)(y+z))^{2}\leq ((yz-1)^{2}+(y+z)^{2})((x+t)^{2}+(xt-1)^{2})=(x^{2}+1)(y^{2}+1)(z^{2}+1)(t^{2}+1)$