dogsteven

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số: $y=\left | x^2+x+16 \right |+\left | x^2+x-6 \right |$ đặt min, tìm giá trị đó.

 

$|x^2+x+16|+|6-x-x^2| \geqslant 22$

$\text{min y}=22 \Leftrightarrow x \in [-3;2]$

Áp dụng BDT Minkovsky và C-S:

$VT \geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\left (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right )^2} \geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\dfrac{81}{(x+y+z)^2}}$

Phần còn lại là điểm rơi $\text{AM-GM}$, bạn tự giải tiếp.

Anh giải ra được $(0; 4)$ mà $x\in (0;3)$ là tập hợp con của $(0;4)$ nên BDT đúng.

P/s: Cái này có vẻ là tiếp tuyến thì đúng hơn vì cái $\dfrac{d}{dx}f(x)|_{x=x_0}$ trong máy là tính đạo hàm rồi.

Minkovsky:

$P=\sqrt{(1.5-x)^2+6.75}+\sqrt{(x+1.5)^2+6.75} \geqslant 6$

$P \geqslant \dfrac{(x+y)^2}{2-x-y}+\dfrac{1}{x+y}+x+y $

Khảo sát với $t=x+y$ trên $(0;2)$

Sai rồi Nó tương đương với $0\leq x<4$

 

Ta cần c/m: 

$\dfrac{4+\sqrt{x}}{4-x}\geq \frac{13}{18}x+\frac{17}{18}$

 

Lạ nhỉ, tại sao nó lại cũng ra $x\in [0;4)$ =))

Cho em hỏi là cái BDT của em với của anh nó khác nhau ở điểm nào vậy ạ 

Coi $x_1$ là biến thì vế trái là một hàm tuyến tính theo $x_1$ nên đạt GTLN tại $x_1=0$ hoặc $x_1=1$. Tương tự với các biến khác thì VT sẽ là 1 số nguyên.

$2(x_1+x_2+...+x_n)-2(x_1.x_2+x_2.x_3+...+x_n.x_1)=n-[(1-x_1)(1-x_2) +(1-x_2)(1-x_3)+...+(1-x_n)(1-x_1)] -(x_1.x_2+x_2.x_3+...+x_n.x_1) \le n$

$VT \leqslant \left [\dfrac{n}{2} \right ]$

Câu dễ nhất trước.

Bài 5:

$\dfrac{4+\sqrt{x}}{4-x} \geqslant \dfrac{13}{18}(x-1)+\dfrac{5}{3}$ đúng với mọi $x \in (0;3)$

$f(a)=\sqrt{\dfrac{a}{8b+c}}$

$f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a(8b+c)}}$

$f'(\dfrac{8b+c}{9})=\dfrac{3}{2(8b+c)}$

$f(\dfrac{8b+c}{9})=\dfrac{1}{3}$

Ta sẽ chứng minh: $\sqrt{\dfrac{a}{8b+c}} \ge \dfrac{3a}{2(8b+c)}+\dfrac{1}{6}$

Áp dụng vào: $VT \geqslant \dfrac{3}{2}(\dfrac{a}{8b+c}+\dfrac{b}{8c+a}+\dfrac{c}{8a+b})+\dfrac{1}{2} \geqslant \dfrac{3(a+b+c)^2}{18(ab+bc+ca)}+\dfrac{1}{2}\ge 1$

Anh chị xem lại cái BDT trên có đúng không đã, em lười chứng minh lắm

Bài 21:

$D,E,F$ là trung điểm $BC, CA, AB$

Giả sử $M\in AFDC, BFEC$

$MB+MC < BF+FE+EC$  và $MA+MC< AF+FD+DC$

Cộng lại.

Bài 21:

Gọi $K$ và $K'$ là giao điểm của $AD$ với $(\omega_1); (\omega_2)$

Theo phương tích điểm $A$: $AK.AD=AN.AB=AM.AC=AK'.AD$

Suy ra $K\equiv K'$ hay $K$ là giao $(\omega_1); (\omega_2)$ và $A,K, D$ thẳng hàng.

Dễ thấy $QP \bot AD$

Gọi $H'$ là giao của $QP$ với đường cao $AR$ ở đỉnh $A$ của $ABC$

Theo phương tích điểm $A$: $AH'.AR=AK.AD=AN.AQ=AH.AR$ nên $H\equiv H'$

Bài 4:

(a) $\Delta OAB$ và $\Delta OCD$ vuông tại $O$.

(b) $\dfrac{BC+AD}{2} \geqslant 2r$ (quan hệ cạnh trong tam giác vuông)

$[ABCD]_{min} \Leftrightarrow \alpha = 90^{o}; \beta = 45^{o}$

Bài 3:

$A=\dfrac{1}{a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}}$

By biến đổi tương đương chứng minh đượng: $x^2+\dfrac{1}{x^2}\geqslant -15x+\dfrac{47}{4}$ với $x>0$

Áp dụng vào ta được $a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \geqslant -15(a+b) +\dfrac{47}{2} \geqslant \dfrac{17}{2}$

$\Rightarrow A\leqslant \dfrac{2}{17}$

Bài 4:

b) Lấy $a=7; b=14$

$5(a+b)^2=5.441$

$ab=98$

$\Rightarrow$ Đề sai.

Bài 5:

(a) Dễ.

(b) Dễ chứng minh $AO \bot MN$

$AD.BC=2.AD.AO=2.AI.AH=AH^2=BH.CH$

(c) Phương tích điểm $P$:  $PK.PA=PN.PM=PC.PB \Rightarrow K \in (O; OB) \Rightarrow \widehat{BKC}=90^{o}$

(d) Gọi $Q$ là tâm ngoại tiếp $BCNM$

Theo 1 part ở câu (b) và $AH \bot BC \rightarrow OQ = \dfrac{AH}{2}$