DANH0612

$=\int_{-\frac{\Pi }{2}}^{\frac{\Pi }{2}}d\psi \int_{0}^{cos\psi }\left ( r^{2} +1\right )rdr=\int_{-\frac{\Pi }{2}}^{\frac{\Pi }{2}}(\frac{cos^{4}\psi }{4}+\frac{cos^{2}\psi}{2} )d\psi$

$= \int_{-\frac{\Pi }{2}}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{cos4\psi +12cos2\psi +11}{32}= \frac{11\Pi }{32}$

phuơng pháp lượng giac hoa : đặt x=cost    $(0\leq t\leq \Pi )$

điều kiện $x\neq 0$

đặt $t=x-\frac{1}{x}$

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}= (x-\frac{1}{x})(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}})=(x-\frac{1}{x})[(x-\frac{1}{x})^{2}+3]=t(t^{2}+3)$

pt$\Rightarrow (t-1)(t^{2}+t-m+3)=0$

a) với m=2 

pt $\Rightarrow (t-1)(t^{2}+t+1)=0\Rightarrow t=1$ vì $t^{2}+t+1 =(t+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}> 0$

b) ta có $t=x-\frac{1}{x}\Rightarrow x^{2}-tx-1=0$ ( luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi t) 

vì x₁.x₂=-1 nên phương trình $ x^{2}-tx-1=0$ có 1 ngiệm dương và 1 nghiệm âm

do đó để pt đề bài cho có đúng 2 nghiệm dương thì pt $ (t-1)(t^{2}+t-m+3)=0$ có đúng 2 nghiệm vậy pt $t^{2}+t-m+3=0$ có nghiệp kép khác 1

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-4(-m+3)=0\\ 1+1-m+3\neq 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m=\frac{11}{4}$

roi đường thẳng luôn tiếp xúc voi (C) la d: y = ax+b

phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{(m-1)x+m)}{x-m}= ax+b (x\neq m)$

$\Rightarrow ax^{2}+\left [b+1-m(a+1) \right ]x-m(b+1)= 0$

ta có: với x=m $pt \Rightarrow -m^{2}=0$ vì $m\neq 0$ nên x=m không phải là nghiệm cua pt

 $\Delta =0$

$\Leftrightarrow \left [ b+1-m(a+1) \right ]^{2}+4a(b+1)m=0$

$\Leftrightarrow (a+1)^{2}m^{2}+\left [ 4a(b+1)-2(b+1)(a+1) \right ]m+(b+1)^{2}=0$  

vì phương trình theo biến m trên có nghiệm $m=R\setminus \left \{ 0 \right \}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a+1)^{2}=0\\ 4a(b+1)-2(b+1)(a+1)=0\\ (b+1)^{2}=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-1\end{matrix}\right.$

vậy đường thẳng y=-x-1 luôn tiếp xúc với (C)