Mikhail Leptchinski

Đặt $u=x^2+1$,$v=y$. Ta có:$PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{uv}+(u-1)v=u^2 \Leftrightarrow \sqrt{uv}-v=u^2-uv$

$\Leftrightarrow \frac{v(u-v)}{\sqrt{uv}+v}=u(u-v)\Leftrightarrow (u-v)(\frac{1}{\sqrt{\frac{u}{v}}+1}-u)=0\Leftrightarrow u=v$ (vì $u>1$)

Thế xuống PT (2) giải hệ

Bạn nên giải hết cả bài đi  thế mới hay,không nên giải như thế này vì chưa rõ nhiều bài đoạn xử lí phương trình như thế nào mà.Nhiều bài cho tưởng dễ nhưng không dễ đâu .Mong các bạn lần sau giải nên FULL lời giải + đáp số nhé mới được công nhận

Bài toán 24:  Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{(x^2+1)y}+x^2y=(x^2+1)^2 & & \\ \sqrt{y}=\frac{(x^2+1)^3}{6xy^2-32x^3} & & \end{matrix}\right.$

Em là thành viên mới của VMF (đăng ký thành viên được 3 ngày) nên nếu em đặt topic này ở đây là không phù hợp cũng mong các admin thông cảm và nhắc nhở em. Em có 1 điều cần sự đóng góp của các bạn nhưng thật sự em không biết nên đặt topic này ở đâu cho phù hợp nên mạo muội đặt ở box Bất Đẳng Thức và Cực Trị Toán THPT vì vấn đề của em là xoay quanh Bất Đẳng Thức. Mở bài dài dòng nhưng vấn đề của em rất đơn giản: 

Bất đẳng thức là một câu rất khó trong đề thi đại học.Nếu anh muốn được điểm cao trong đại học,em nghĩ việc đầu tiên nên làm là ôn kĩ nhưng câu cho điểm.Sau đó luyện dần những bài khó theo chuyên đề thầy cô giáo cho.Vì thi đại học nhiều người ra làm được hết nhưng mất điểm ở những câu được coi là cho điểm ở đại học cũng như thế, giả sử mình làm hết được 8 điểm mà người khác làm được 9 bài nhưng họ 8,75 thì ai bảo mình giỏi hơn họ.Đi thi hơn nhau ở chỗ này.Còn về cách học,ai cũng biết học phần nào cũng từ dễ đến khó.Đừng ham khi học những câu phương trình hệ phương trình,hình học phẳng Oxy,bất đẳng thức mà đòi học những cái khó.Nên mua sách từ cơ bản -> nâng cao anh ạ

Đấy là BĐT lớp 9 đi thi ĐH ko có chuyện cho kiểu chứng minh dễ như vậy đâu mà thường cho chứng minh BĐT dồn vế 1 biến rồi dùng đạo hàm đây là một ví dụ minh họa:
Nên quen BĐT dạng này thì mới mong được 10 ai rảnh thì vào làm thử không dễ đâu

Lời giải của bài

Đánh giá $(a-1)(b+1)(c+1)$ đầu tiên.Dự đoán dấu bằng xảy ra khi:$a=3;b=c=1$ nên áp dụng cô si ta có:

$(a-1)+(b+1)+(c+1)\geq 3.\sqrt[3]{(a-1)(b+1)(c+1)}<=>(a-1)(b+1)(c+1)\leq \frac{(a+b+c+1)^3}{27}$

Từ đó gợi lên ta ý tưởng đánh giá:$\sqrt{a^2+b^2+c^2-4a+5}\geq x.(a+b+c)+y$ đề dồn biến một ẩn theo $a+b+c$

Ta có:$\sqrt{a^2+b^2+c^2-4a+5}=\sqrt{(a-2)^2+b^2+c^2+1}\geq \sqrt{(\frac{a+b+c-1}{4})^2}=\frac{a+b+c-1}{2}$

Từ đó suy ra:$P\leq \frac{1}{a+b+c-1}-\frac{27}{(a+b+c+1)^3}$

Đặt $a+b+c+1=t$ ($t>3$)

Xét hàm:$f(t)=\frac{1}{t-2}-\frac{27}{t^3}$

Khảo sát hàm số rồi ...

Max $P=\frac{1}{8}$

Giải phương trình

 ​$\sqrt{5x^2+21x+16}-4\sqrt{2x+2}=\sqrt{x^2-2x-20}$

Giải phương trình: ​$\sqrt{5x^2+21x+16}-4\sqrt{2x+2}=\sqrt{x^2-2x-20}$

Lời giải:

Điều kiện:$\left\{\begin{matrix}5x^2+21x+16\geq 0 & & \\ x+1\geq 0 & & \\ x^2-2x-20\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

          <=>$x\geq \sqrt{21}+1$

Phương trình trở thành:$\sqrt{5x^2+21x+16}=4\sqrt{2x+2}+\sqrt{x^2-2x-20}$

                                <=>$5x^2+21x+16=16(2x+2)+x^2-2x-20+8\sqrt{(2x+2)(x^2-2x-20)}$

                                <=>$(5x^2-9x+4)^2=64(2x^3-4x^2-40x+2x^2-4x-40)$

                                <=>$25x^4-218x^3+249x^2+2744x+2576=0$

                                <=>$(5x^2-21,8x-30)^2+73,76x^2+1436x+1676=0$

Vì $x\geq \sqrt{21}+1$

Nên điểm mấu chốt phải để ý đến điều kiện để giải.Mong có cách khác hay hơn

Giai các phương trình sau

1,$(2x^2-7x+3)(2x^2+25x+75)=-224x^2$

2,$(2x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)=5(2x-1)^2$

3,$x^2+4x-4=24(1-\frac{1}{x})^2$

Lời giải hơi trâu nhưng em cứ làm vậy ai có ý tưởng hay và chuẩn hơn thì post lên mọi người tham khảo nhé:

1,$(2x^2-7x+3)(2x^2+25x+75)=-224x^2$

Lời giải:

Khai triển phương trình ta có:

Phương trình <=>$4x^4+36x^3+205x^2-450x+250=0$                $(1)$

 Phân tích:Nếu ta tách cái này về:

$x^2.(2x+9)^2+124x^2-450x+225=0$ thì rất khó xử lý cái ngoài $>0$ để phương trình vô nghiệm

Do đó :Ta nghĩ đến tách dạng:$(ax^2+bx+c)^2+gx^4+dx^2+ex+f=0$

Ta có: $(1)$ trở thành:$(\sqrt{2}x^2+9\sqrt{2}x-11)^2+2x^4+(43+22\sqrt{2})x^2-x(450-198\sqrt{2})+104=0$

Giờ ta xử lý:$(43+22\sqrt{2})x^2-x(450-198\sqrt{2})+104=0$ >0 vì $(\sqrt{2}x^2+9\sqrt{2}x-11)^2+2x^4>0$ mọi $x$

Bấm máy tính ta làm tròn số :$43+22\sqrt{2}=74,11->74$;$450-198\sqrt{2}=170$ 

Phương trình ta làm tròn là:$74x^2-170x+104=0$

                                     <=>$(\sqrt{74}x-\frac{85}{\sqrt{74}})^2+\frac{471}{74}=0$

Ta thấy:$(\sqrt{74}x-\frac{85}{\sqrt{74}})^2+\frac{471}{74}>0$ với mọi $x$

Do đó:Phương trình vô nghiệm

2,$(2x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)=5(2x-1)^2$

Lời giải:

Dùng máy tính $Casio$ nhẩm nghiệm ta thấy $x=1$ là nghiệm nên phân tích nhân tử

Phương trình

<=>$8x^4-4x^3-22x^2+24x-6=0$

<=>$2(x-1)^2.(4x^2+6x-3)=0$

Từ đó có:$x=1$ hoặc $4x^2+6x-3=0$

Giải phương trình kia có nghiệm:$x=\frac{-3-\sqrt{21}}{4};x=\frac{-3+\sqrt{21}}{4}$

3,$x^2+4x-4=24(1-\frac{1}{x})^2$

Lời giải:

Khai triển phương trình có:

      $x^4+4x^3-28x^2+28x-24=0$

<=>$\left [ x^2+2(1+\sqrt{7})x -2(1+\sqrt{7})\right ]\left [ x^2+2(1-\sqrt{7})+\frac{24}{2(1+\sqrt{7})} \right ]=0$

Với:$x^2+2(1+\sqrt{7})x-2(1+\sqrt{7})=0$ ta có

Phương trình có 2 nghiệm là

$x=-1-\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}};x=-1+\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}}$

Với:$x^2+2(1-\sqrt{7})+\frac{24}{2(1+\sqrt{7})}=0$ ta có

$\Delta '=(1-\sqrt{7})^2-\frac{24}{2(1+\sqrt{7})}=-0,5...<0$ nên phương trình vô nghiệm

Do đó:Phương trình có 2 nghiệm:$x=-1-\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}};x=-1+\sqrt{7}-\sqrt{10+4\sqrt{7}}$

  Giải hệ phương trình trên tập số thực :

$$\begin{cases}(x-2y)(3x+8y+4\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16})=-6\\(y-4x)(3y+2x+2\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16})=-10\end{cases}$$

Lời giải:

Điều kiện xác định:$x^2-4xy+4y^2-16\geq 0<=>(x-2y)^2-4^2\geq 0<=>(x-2y)^2 \geq 16$

Từ phương trình $(1)$

Với $x-2y=0$ ta có:0=-6 => vô lý

Với $x-2y\neq 0$ ta có:$4\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16}=\frac{-6}{x-2y}-3y-8y$

                                                                          $=\frac{-6-(3x+8y)(x-2y)}{x-2y}$

                                                                          $=\frac{-6-(3x^2-6xy+8xy-16y^2)}{x-2y}$

                                                                          $=\frac{3x^2-6-2xy+16y^2}{x-2y}$

                                    $<=>2\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16}=\frac{3x^2-2xy+16y^2-6}{2(x-2y)}$ thay vào phương trình $(2)$ ta có:

      $(y-4x)\left [ 3y+2x+\frac{-3x^2-2xy+16y^2-6}{2(x-2y)} \right ]=-10$

$<=>(y-4x)\left [ 2(3y+2x)(x-2y)-3x^2-2xy+16y^2-6 \right ]=-20(x-2y)$

$<=>(y-4x)\left [ 2(3xy-6y^2+2x^2-4xy)-3x^2-2xy+16y^2-6 \right ]=-20(x-2y)$

$<=>(y-4x)(x^2-4xy+4y^2-6)=-20(x-2y)$

$<=>(y-4x)\left [ (x-2y)^2-6 \right ]=-20(x-2y)$

_Với $(x-2y)^2=6$ ta có:

$x^2-4xy+4y^2-16=6-16=-10<0$ nên không thỏa mãn điều kiện

_Với $(x-2y)^2\neq 6$ ta có:$y-4x=\frac{-20(x-2y)}{(x-2y)^2-6}$

Ta có :phương trình $(1)$ trở thành:

$(x-2y)\left [ -5(x-2y)-2(y-4x)+4\sqrt{(x-2y)^2-16} \right ]=-6$ thay $y-4x=\frac{-20(x-2y)}{(x-2y)^2-6}$ vào phương trình ta có:

$(x-2y)(-5(x-2y)+\frac{40(x-2y)}{(x-2y)^2-6}+\sqrt{(x-2y)^2-16})=-6$

Đặt $\sqrt{(x-2y)^2-16}=t$ ($t\geq 0$)

=>$\left\{\begin{matrix}(x-2y)^2=t^2+16 & & \\ (x-2y)^2-6=y^2+10 & & \end{matrix}\right.$ thay vào phương trình có:

      $-5(t^2+16)+\frac{40t^2+16}{t^2+10}+t+6=0$

<=>$-5(t^2+16)(t^2+10)+40t^2+16+(t+6)(t^2+10)=0$

<=>$-5(t^4+10t^2+16t^2+160)+40t^2+16+t^3+10t+6t^2+60=0$

<=>$-5t^4-130t^2-800+40t^2+16t+t^3+10t+6t^2+60=0$

<=>$5t^4-t^3+84t^2-26t+740=0$

<=>$(t^4-t^3+\frac{1}{4}t^2)+(t^2-26t+169)+4t^4+\frac{331}{4}t^2+571=0$

<=>$t^2(t-\frac{1}{2})^2+(t-13)^2+4t^4+\frac{331}{4}t^2+571=0$

Ta có:$t^2(t-\frac{1}{2})^2+(t-13)^2+4t^4+\frac{331}{4}t^2+571\geq 571>0$

Suy ra :Phương trình vô nghiệm

Do đó:Hệ phương trình không có nghiệm $x,y$ thỏa mãn đề bài

1. $x^{3}+3x^2-x+1-2\sqrt[3]{6x+2}=0$

2.

$\left\{\begin{matrix} x-y+\frac{2y}{x}=-2 & \\ 2xy-2y^2+x=0& \end{matrix}\right.$

1,

      $x^{3}+3x^2-x+1-2\sqrt[3]{6x+2}=0$

<=>$(x+1)^{3}+2(x+1)=(6x+2)+2\sqrt[3]{6x+2}$

      $a^3+2a=b^3+2b$

<=>$(a-b)(a^2+ab+b^2)+2(a-b)=0$

<=>$(a-b)(a^2+ab+b^2+2)=0$

Từ đây suy ra 2 trường hợp:

_Với:$a=b$ ta có:$x+1=\sqrt[3]{6x+2}$

              <=>$x^3+3x^2+3x+1-6x-2=0$

              <=>$x^3+3x^2-3x-1=0$

              <=>$(x-1)(x^2+4x+1)=0$

phương trình có 3 nghiệm:$x=1;x=-2+\sqrt{3};x=-2-\sqrt{3}$

_Với:$a^2+ab+b^2+2=0$ ta có

   <=>$(a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2+2\geq 2>0$ nên phương trình vô nghiệm

Do đó:Phương trình có 3 nghiệm là:$x=1;x=-2+\sqrt{3};x=-2-\sqrt{3}$

2,$\left\{\begin{matrix} x-y+\frac{2y}{x}=-2 & \\ 2xy-2y^2+x=0& \end{matrix}\right.$

Điều kiện:$x\neq 0$

Phương trình $(2)$:$2y(x-y)+x=0$

Với $y=0$ ta có:$x=0$ vô lí

Với $y\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix}(x-y)+\frac{2y}{x}=-2 & & \\ 2(x-y)+\frac{x}{y}=0 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $x-y=a$;$\frac{y}{x}=b$ ta có:

      $\left\{\begin{matrix}a+2b=-2 & & \\ 2a+\frac{1}{b}=0 & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix}2a+4b=-4 & & \\ 2a+\frac{1}{b}=0 & & \end{matrix}\right.$

Trừ vế cho vế ta có:$4b-\frac{1}{b}=-4 <=>4b^2+4b-1=0$

Từ đó có:$b=\frac{-1+\sqrt{2}}{2};b=\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$

Từ đó bạn thay vào tính $a$ và giải hệ:

P/S:bài hệ số xấu quá nên mình nêu ý tưởng thôi 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớ nhất của biểu thức:

$$A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$$
 

Cách nữa:

Dự đoán:Max $A=\frac{1}{7^4}$

Tachứng minh:$\frac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}\leq \frac{1}{7^4}$

                          <=>$(1+3x)(\frac{x+8y}{x})(\frac{y+9z}{z})(\frac{z+6}{z})\geq 7^4$

                          <=>$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geq 7^4$

Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có:

$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geq (1+\sqrt[4]{3x.\frac{8y.9z.6}{xyz}})^4=7^4$ => điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra:$x=2;y=\frac{3}{2};z=1$

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{a^3}{b^2+8c^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^2+8a^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^2+8b^2}}\geq \sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}}$

Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ 

$\left\{\begin{matrix} x+y+z+t=12 & & \\ xyzt=xy+xz+xt+yz+yt+zt+27 & & \end{matrix}\right.$

                                                               Lời giải hơi trâu

Vì $x,y,z,t>0$ nên áp dụng bất đẳng thức cô si 4 số ta có:

Phương trình 1:$12=x+y+z+t\geq 4\sqrt[4]{xyzt}<=>3\geq \sqrt[4]{xyzt}<=>81\geq xyzt$(1)

Áp dụng bất đẳng thức cô si 9 số cho phương trình (2) ta có:

$xyzt=xy+yz+xz+xt+yz+yt+zt+9+9+9\geq 9\sqrt[9]{(xyzt)^3.9^3}<=>(xyzt)^9\geq 9^{12}.(xyzt)^3<=>(xyzt)^6\geq 9^{12}<=>xyzt\geq 9^2=81$ (2)

Từ (1)(2) ta có:$xyzt=81$

Dấu bằng xảy ra khi:$x=y=z=t$

                                 $xy=yz=xz=xt=yz=yt=zt=9$

                                 $x+y+z+t=12$

<=>$x=y=z=t=3$

Do đó:nghiệm nguyên dương của hệ là:$x=y=z=t=3$

Góp ý:Mình nghĩ đề bài không cần cho $x,y,z,t$ nguyên dương vì khi sử dụng bất đẳng thức cô si đánh giá dấu bằng thì $x=y=z=t$

$<=> 3(\sqrt{5x+4}-2)+3(\sqrt{x+4}-2)-4x^2-8x=0$

$<=> 3.\frac{5x}{\sqrt{5x+4}+2}+3.\frac{x}{\sqrt{x+4}+2}-4x(x+2)=0$

$<=>x(\frac{15}{\sqrt{5x+4}+2}+\frac{3}{\sqrt{x+4}+2}-4(x+2))=0$

Chứng minh được cái sau <0

Bạn chứng minh được cái sau <0 không.Cái bên trong bấm vẫn còn nghiệm

Bài phương trình vô tỉ này khá khó vì còn một nghiệm nữa vô tỉ và $x=0$.Bạn xem lại lời giải mình nhé!

Cho em hỏi sao có cái đoạn này.

Câu này là câu cuối trường chuyên Hùng Vương trên mình

Lời giải

Ta có: $\sum \frac{1}{ab}\leqslant \sum \frac{1}{a^2}\Rightarrow 7\sum \frac{1}{a^2}\leqslant 6\sum \frac{1}{a^2}+2015$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\leqslant 2015$

Áp dụng bất đẳng thức:$a+b+c\leq \sqrt{3}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Từ đó có:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2)}}\leq \sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{3}(\sum \frac{1}{2a^2+b^2})}=\sqrt{\sum \frac{1}{2a^2+b^2}}$

Áp dụng bất đẳng thức:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Từ đó có:$P\leq \sqrt{\frac{1}{9}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2})}=\sqrt{\frac{1}{3}.2015}=\frac{\sqrt{6045}}{3}$

Chả hiểu sao em đăng 1 bài ở BOX Đại Số THCS, tiêu đề đặt cũng đúng mà cũng bị hachinh2013 nhắc nhở. Anh chị Ban Quản Trị giải thích giùm em với ạ???.

http://diendantoanho...rằnga3b3c33abc/

_Mình kiểm tra thì thấy bạn bị nhắc nhở vì sai BOX .Nếu bạn bảo đăng 1 bài ở BOX Đại Số THCS mà bạn lại bị nhắc nhở sai Box ?Bạn thử xem lại xem lúc đầu bạn đăng đúng BOX chưa? Nếu đúng BOX thì nên nhờ BQT giải quyết.Cảm ơn bạn 

Giải phương trình:$\sqrt{2x-1}=x.(3-\sqrt{3x-2}-\sqrt{3x+2})$

Đề thi thử trường THPT chuyên KHTN vòng 1 + vòng 2