JayVuTF

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Đăng ký: 10-12-2014
Offline Đăng nhập: Riêng tư

Tìm kiếm

Received

#551966 Chứng minh $\cos\frac{\pi}{7}+\c...

Gửi bởi JayVuTF trong 06-04-2015 - 21:27

2) Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

$\sin A\sin B\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$

và

$\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$

với $A,B,C$ là các góc của $\Delta ABC$.

a/$sin A+ sin B +sin C=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+sinC$

=$2sin(\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2})cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}$

=$2cos\frac{C}{2}(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2})$

=$2cos\frac{C}{2}(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2})=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$

b/ TT

rainbow99 yêu thích

#549900 Chứng minh với $a,b,c$ không âm thì $abc\geq (a+b-c)(b+c-...

Gửi bởi JayVuTF trong 28-03-2015 - 20:21

Áp dụng bất đẳng thức phụ $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} $ ta có

$(a+b-c)(a+c-b)\leq \frac{(a+b-c+a+c-b)^2}{4}=a^2 $

Lập các BĐT tương tự nhân lại có đpcm

Đã chắc bộ 3 số $(a+b-c ; a+c-b ; b+c-a)$ không âm chưa mà dùng Cosi

Theo mình bài phải thêm đk $a ;b; c$ là 3 cạnh tam giác

rainbow99 và yeudiendanlamlam thích

#548454 Cho a, b, c$> 0$ ; abc=1. Tìm GTLN: $\frac{1...

Gửi bởi JayVuTF trong 20-03-2015 - 21:51

Cho a, b, c$> 0$ ; abc=1. Tìm GTLN: $\frac{1}{a+2b+3}+\frac{1}{b+2c+3}+\frac{1}{c+2a+3}$

$a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}=3$

Ta có: $a^2+2b+3=a^2+2b+1+2 \geq 2(a+b+1)$

Tương tự ta được:

$VT \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1} + \dfrac{c}{c+a+1)}$

Ta sẽ cm $\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{c+a+1} \leq 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{-b-1}{a+b+1}+\dfrac{-c-1}{b+c+1}+\dfrac{-a-1}{c+a+1} \leq -2$

$\Leftrightarrow \dfrac{b+1}{a+b+1}+\dfrac{c+1}{b+c+1}+\dfrac{a+1}{c+a+1} \geq 2$

$\Leftrightarrow \dfrac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}+\dfrac{(c+1)^2}{(c+1)(b+c+1)}+\dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(c+a+1)} \geq 2$ (*)

Theo Cauchy-Schwarz:

$VT(*) \geq \dfrac{(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3}$

Mà $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3\leq \dfrac{1}{2}[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+9]$

$\leq \dfrac{1}{2}(a+b+c+3)^2$

$\Rightarrow VT(*) \geq 2=VP(*)$

Vậy bđt được cm

Nguon HM

Ngoc Hung và rainbow99 thích

#548045 $\sum \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}...

Gửi bởi JayVuTF trong 18-03-2015 - 20:06

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

$3=\sum ab \geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}\rightarrow abc\leq 1$

$\frac{abc}{1+a^{2}(b+c)}=\frac{1}{\frac{1}{abc}+\frac{3}{bc}-1}\leq \frac{1}{\frac{1}{abc}+\frac{3}{bc}-1}\leq \frac{1}{\frac{3}{bc}}=\frac{bc}{3}$

$\rightarrow \sum \frac{abc}{1+a^{2}(b+c)}\leq \frac{1}{3}\sum ab=1$

$\rightarrow \sum \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

rainbow99 và baotranthaithuy thích

#548041 $\sum \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}...

Gửi bởi JayVuTF trong 18-03-2015 - 20:00

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

$3=\sum ab \geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}\rightarrow abc\leq 1$

$1+a^{2}(b+c)\geq abc+a^{2}(b+c)=a.\sum ab=3a$

$\rightarrow \sum\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}\leq \sum \frac{1}{3a}=\frac{1}{3}.\frac{\sum ab}{abc}=\frac{1}{abc}$

rainbow99 và huythcsminhtan thích

#547895 Đề thi học sinh giỏi trường QL I năm học 2014-2015

Gửi bởi JayVuTF trong 17-03-2015 - 22:35

Câu 4:

2. Cho $a,b\in \mathbb{R}$ thỏa mãn: $(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{4}}$

$ P=\sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{4}}\geq\sqrt{(4+4)^2+(a^2+(2b)^2)}$

$(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}\leftrightarrow a+2b+ab=\frac{5}{2}$

$a^{2}+1\ge 2a$

$4b^{2}+1\geq 4b$

$\frac{1}{2}(4a^{2}+b^{2})\geq 2ab$

$\rightarrow \frac{3}{2}(a^{2}+4b^{2})\geq 2(a+2b+ab)-2=3$

$\rightarrow a^{2}+4b^{2}\geq 2$

thay vào $\rightarrow P\geq 2\sqrt{17}$

rainbow99, phan huong và manata36 thích

#547832 $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^...

Gửi bởi JayVuTF trong 17-03-2015 - 20:51

2,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc>1$ và $a^{3}>36$

Chứng minh $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

$VT-VP=\dfrac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab-bc+2bc+\dfrac{a^{2}}{12}=(\dfrac{a}{2}-b-c)^{2}+\dfrac{a^{2}-36bc}{12}>0$

$\Rightarrow đpcm $

Cách khác:

Từ giả thiết suy ra $a>0và bc>0$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\dfrac{a^2}{3}+(b+c)^2-3bc-a(b+c)\ge 0\\ \iff \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}\ge 0$

Vì $a^3>36 nên \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}> \left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{1}{4}= \left(\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2 >0 $

Bài này trong VMF có ,trong topic BDT của CD13

rainbow99 và yeutoanmaimai1 thích

#544361 $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^...

Gửi bởi JayVuTF trong 15-02-2015 - 21:54

1,Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=2$ Chứng minh $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq 1$

Dùng Cosi cx ra $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a$

TT $\rightarrow$ ◘

Nguyen Huy Hoang và yeutoanmaimai1 thích

#543689 $\frac{1}{x^{3}(y+z)}+\frac...

Gửi bởi JayVuTF trong 10-02-2015 - 20:37

Bài 1

cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

AD cauchy

$a^2.(1-a^2)^2=\dfrac{1}{2}.2a^2.(1-a^2).(1-a^2) \leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3})^3=\dfrac{4}{27}$

$\Leftrightarrow a.(1-a^2) \leq \dfrac{2}{3\sqrt{3}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{ a.(1-a^2)} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{a.(1-a^2)} \geq \dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b^2+c^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$

TT\Rightarrow dpcm

dhdhn, Nguyen Huy Hoang, baotranthaithuy và 1 người khác yêu thích

#543322 Tìm Min:$A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}...

Gửi bởi JayVuTF trong 07-02-2015 - 17:57

$A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy$

x,y>0 và $x+y\leq 1$

Ta có $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy=(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+(4xy+\frac{1}{4xy})+\frac{5}{4xy} \geq \frac{4}{(a+b)^{2}}+2+\frac{5}{(a+b)^{2}}\geq 11$

CÁi này chắc là tìm min :luoi:

cahoangduy yêu thích

#541094 Giải và biện luận phương trình: $4x^2+4mx+m^2-3m+1=0$

Gửi bởi JayVuTF trong 17-01-2015 - 16:27

Giải tại http://diendan.hocma...195&postcount=2

A4 Productions yêu thích

#538778 ĐỀ THI HỌC KÌ TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN-THÁI NGUYÊN

Gửi bởi JayVuTF trong 22-12-2014 - 15:19

Câu 1: (1 điểm) Tìm tập xác định của hàm số sau $y=\frac{x-1}{x^{2}-3x+2}+\sqrt{4-x^{2}}$

làm câu dễ nhất vậy

$TXD :x^{2}-3x+2 \neq 0 và 4-x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow -2\leq x <2 ;x\neq 1$

rainbow99 và Phuong Mark thích

#538769 Giải phương trình $x^{2}+x+2=\sqrt{5x+5}+\...

Gửi bởi JayVuTF trong 22-12-2014 - 14:23

$DKXD: x \geqslant \frac{-2}{3}.PT\Leftrightarrow x^{2}-x-1=(\sqrt{5x+5}-(x+2)) + (\sqrt{3x+2}-(x+1))$ .\Rightarrow x^{2}-x-1=\frac{-x^{2}+x+1}{\sqrt{3x+2}+x+1}+\frac{-x^{2}+x+1}{\sqrt{5x+5}+x+2}$.\Leftrightarrow (x^{2}-x-1)(1+\frac{1}{\sqrt{3x+2}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{5x+5}+x+2})=0$.\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$

sửa lại bài viết đi bạn

khó nhìn quá :icon6: