BĐT cần chứng minh tương đương với:
$7(ab+bc+ca)\leqslant 2+9abc \Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)\leqslant 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9abc$
Có: $ab+bc+ca \leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Theo BĐT Schur ta có:$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)+ 9abc \geqslant 2(ab+bc+ca)(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)$
suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$