Tran Thanh Truong

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: 

$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn  $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{x}{y(1+x^2)}+\frac{y}{z(1+y^2)}+\frac{z}{x(1+z^2)}$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn  $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

$\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{9}{4}$

1) Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

2) Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{6abc}{ab^2+bc^2+ca^2}\geq 5$

3) Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

$\left ( \frac{a}{2a+b} \right )^{3}+\left ( \frac{b}{2b+c} \right )^{3}+\left ( \frac{c}{2c+a} \right )^{3}\geq \frac{1}{9}$

4) Cho  các số thực dương a,b,c. CMR:

$\left ( a+\frac{1}{b}-1 \right )\left ( b+\frac{1}{c}-1 \right )+\left ( b+\frac{1}{c}-1 \right )\left (c+\frac{1}{a}-1 \right )+\left (c+\frac{1}{a}-1 \right )\left ( a+\frac{1}{b}-1 \right )\geq 3$

Giá trị lớn nhất của $A = x + \sqrt{2-x}$

$\sqrt{2-x}=A-x\Leftrightarrow 2-x=A^2-2Ax+x^2\Leftrightarrow x^2-x(2A-1)+A^2-2$

Coi PT trên là PT bậc hai ẩn x và xét điều kiện có nghiệm của PT. Khi đó sẽ tìm được GTLN của A.

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{b}{\sqrt{a+c-b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn $xyz=8$ . Chứng minh rằng:

$\frac{x^{2}}{\sqrt{(x^{3}+1)(y^{3}+1)}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{(y^{3}+1)(z^{3}+1)}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{(z^{3}+1)(x^{3}+1)}}\geq \frac{4}{3}$

Ta có $(x+y+z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 => \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{99}{20}$

Mặt khác, ta có $x+y+z + \frac{400}{1089x}+\frac{400}{1089y}+\frac{400}{1089z} +\frac{689}{1089x}+\frac{689}{1089y}+\frac{689}{1089z} \geq 3.2\sqrt{\frac{400}{1089}} + \frac{689}{1089} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq \frac{1489}{220}$

Cảm ơn bạn

Bài 1:

Bài 6: 

Bài 5: 

Bài 4: 

3)  Tìm GTNN, GTLN của biểu thức:  

2)  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:  

1)  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: