hieu31320001

Câu 9

Ta có

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự

$\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}}$

$\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân 3 BĐT trên vế theo vế , ta có

$\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)} \geq \frac{8abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2

Câu 3

Ta có P=$\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}=\sum \frac{a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^{2}}}=\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})=\frac{3}{2}$ (Do ab+bc+ca=1)

 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng BĐT Svác-xơ và BĐT AM-GM.

Ta có:

$\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{2x^{2}y}+\frac{1}{2x^{2}y}+\frac{1}{2xy^{2}}+\frac{1}{2xy^{2}}\geq \frac{25}{(x+y)^{3}+xy(x+y)}\geq \frac{25}{(x+y)^{3})+\frac{(x+y)^{2}}{4}}= \frac{25}{1+\frac{1}{4}}=20$

 Đẳng thức xảy ra khi x=y=1/2

Ta có : vì a+b+c=1 nên a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)

Khi đó $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\sum \sqrt{\frac{bc.bc}{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})=\frac{a+b+c}{2}$

      Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3

21/ Cho a,b,c >0 t/m a+b+c=1. CMR: $(a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})\geq 64$
 

Đề câu này chắc là tích không phải tổng.

          $a+\frac{1}{a}=\frac{1}{a}(1+a)=\frac{1}{a}(a+b+c+a)\geq 4\sqrt[4]{\frac{bc}{a^{2}}}$

Tương tự $b+\frac{1}{b}\geq 4\sqrt[4]{\frac{ca}{b^{2}}}$ và$c+\frac{1}{c}\geq 4\sqrt[4]{\frac{ab}{c^{2}}}$      .Nhân 3 BĐT trên vế theo vế ta được đpcm

          Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3

Ta có : $1+\frac{1}{a}=\frac{1}{a}\left ( a+1 \right )=\frac{1}{a}\left ( a+a+b+c \right )\geq \frac{1}{a}.4.\sqrt[4]{a^{2}bc}=4.\sqrt[4]{\frac{bc}{a^{2}}}$

      Tương tự $1+\frac{1}{b}\geq 4\sqrt[4]{\frac{ac}{b^{2}}}$ và $1+\frac{1}{c}\geq 4\sqrt[4]{\frac{ab}{c^{2}}}$

  Nhân 3 BĐT trên vế theo vế ta có đpcm

Cho $0 \leq x,y,z \leq 1$. Chứng minh rằng

$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$