Đến nội dung


supermember

Đăng ký: 01-09-2006
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 23:04
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Chuyên đề 1 - Bài Toán Đại số với tham số .

27-09-2022 - 23:29

Bài 40. Tìm tất cá các giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình: $$\begin{cases}\sqrt{2\left({x+y+1}\right)}+2xy-x-y+2=x^2y+y^2x+\sqrt{x+y}\\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+2\sqrt{xy}=m \end{cases}$$ có nghiệm.
 

 

Có bạn nào biết nguồn bài này từ đâu không? Bài này unsolved lâu rồi nên supermember muốn biết chắc chắn đây là bài toán đúng đề.


Trong chủ đề: Chuyên đề 1 - Bài Toán Đại số với tham số .

25-09-2022 - 10:35

Bài 35(Chọn đội tuyển Tỉnh THPT Tây Thụy Anh-Thái Bình) Tìm $m$ để phương trình sau đây có nghiệm
$$\sqrt x + \sqrt {x - 4} - \sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 3} = m\sqrt {{x^2} + 9} $$

 

Bài này không sử dụng đạo hàm, mà nó phải dùng đến phương pháp so sánh cơ bản của hàm số đơn điệu:

 

Điều kiện: $ x \geq 4$

Ta viết lại phương trình dưới dạng tương đương:

 

$ \left( \sqrt{x} -  \sqrt{x -3} \right) - \left( \sqrt{x-1} -  \sqrt{x -4} \right) = m \sqrt{x^2+9}$

 

$ \Leftrightarrow \frac{x+3}{ \sqrt{x} +  \sqrt{x -3}} - \frac{x+3}{ \sqrt{x-1} +  \sqrt{x -4}} = m \sqrt{x^2+9}$

 

$  \Leftrightarrow  f(x) = \frac{x+3}{ \sqrt{x^2+9}} \cdot \left( \frac{1}{ \sqrt{x} +  \sqrt{x -3}} - \frac{1}{ \sqrt{x-1} +  \sqrt{x -4}}  \right)= m $

 

Rõ ràng bằng cảm quan, ta đã thấy ngay: 

 

Nhận xét 1: $ g(x) = \frac{1}{ \sqrt{x} +  \sqrt{x -3}} - \frac{1}{ \sqrt{x-1} +  \sqrt{x -4}}  <0$ với mọi $x \geq 4$ và khi $ x $ tiến dần ra $ + \infty$  thì $g(x)$ tiến dần đến $0$

 

Nhận xét 2: $ h(x) = \frac{x+3}{ \sqrt{x^2+9}} >1$  với mọi $x \geq 4$ và khi $ x $ tiến dần ra $ + \infty$  thì $h(x)$ tiến dần đến $1$

 

Nên bài toán sẽ được giải quyết nếu ta chỉ ra được: $g(x)$ đơn điệu tăng trên $ [4; + \infty )$; $h(x)$ đơn điệu giảm trên $ [4; + \infty )$  $(1)$

 

Khi đó ta thấy ngay rằng : tập hợp những giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán chính là đoạn $ [ f(4) ; 0)$ tức là  đoạn: $ \big[ \frac{1 - \sqrt{3}}{5} ; 0  \big) $

 

Giờ thì làm chân phương thôi, không màu mè gì đâu:

 

Giả sử $ 4 \leq x_1 <  x_2$ , ta đi chứng minh: $  \frac{1}{ \sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3}} - \frac{1}{ \sqrt{x_1-1} +  \sqrt{x_1 -4}} <  \frac{1}{ \sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3}} - \frac{1}{ \sqrt{x_2-1} +  \sqrt{x_2 -4}} $ $ \ (*)$

 

Thật vậy ; $(*)$ tương đương với:

 

$ \frac{1}{ \sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3}} - \frac{1}{ \sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3}}  < \frac{1}{ \sqrt{x_1-1} +  \sqrt{x_1 -4}} - \frac{1}{ \sqrt{x_2-1} +  \sqrt{x_2 -4}} $

 

$  \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2 -3} - \sqrt{x_1 -3}}{ (\sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3})(\sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3})} <  \frac{ \sqrt{x_2 -1 } - \sqrt{x_1 -1} + \sqrt{x_2 -4} - \sqrt{x_1 -4}}{ (\sqrt{x_1 -1} +  \sqrt{x_1 -4})(\sqrt{x_2 - 1} +  \sqrt{x_2 - 4})}$

 

$ \Leftrightarrow \frac{  \frac{x_2- x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} + \frac{x_2- x_1}{\sqrt{x_2 -3} + \sqrt{x_1 -3}}}{ (\sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3})(\sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3})} <  \frac{ \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2 -1 } + \sqrt{x_1 -1}} + \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2 -4} + \sqrt{x_1 -4}}}{ (\sqrt{x_1 -1} +  \sqrt{x_1 -4})(\sqrt{x_2 - 1} +  \sqrt{x_2 - 4})}$

 

$ \Leftrightarrow \frac{  \frac{1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} + \frac{1}{\sqrt{x_2 -3} + \sqrt{x_1 -3}}}{ (\sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3})(\sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3})} <  \frac{ \frac{1}{\sqrt{x_2 -1 } + \sqrt{x_1 -1}} + \frac{1}{\sqrt{x_2 -4} + \sqrt{x_1 -4}}}{ (\sqrt{x_1 -1} +  \sqrt{x_1 -4})(\sqrt{x_2 - 1} +  \sqrt{x_2 - 4})}$

 

Bất đẳng thức sau cùng là  đúng, vì rõ ràng: $  \sqrt{x_2} + \sqrt{x_1} > \sqrt{x_2 -1 } + \sqrt{x_1 -1} > 0 ; \sqrt{x_2 -3} + \sqrt{x_1 -3} >  \sqrt{x_2 -4} + \sqrt{x_1 -4}  > 0 $  

 

Suy ra: $  0< \frac{1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} + \frac{1}{\sqrt{x_2 -3} + \sqrt{x_1 -3}} <  \frac{1}{\sqrt{x_2 -1 } + \sqrt{x_1 -1}} + \frac{1}{\sqrt{x_2 -4} + \sqrt{x_1 -4}} ; (\sqrt{x_1} +  \sqrt{x_1 -3})(\sqrt{x_2} +  \sqrt{x_2 -3}) >  (\sqrt{x_1 -1} +  \sqrt{x_1 -4})(\sqrt{x_2 - 1} +  \sqrt{x_2 - 4}) >0$

 

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, do đó $(*)$ đúng, và $g(x)$ theo đó là hàm đơn điệu tăng trên $ [4; + \infty )$

 

Giả sử $ 4 \leq x_1 < x_2$ , ta đi chứng minh: $  \frac{x_1 +3 }{ \sqrt{x^2_1 +  9}} >  \frac{x_2 +3 }{ \sqrt{x^2_2 +  9}} $ $ \ (**)$

 

$  \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{x^2_1 +  9}}{x_1 +3 } < \frac{ \sqrt{x^2_2 +  9}}{x_2 +3 }   \Leftrightarrow   \frac{ x^2_1 +  9}{x^2_1 +6x_1 +9 }   < \frac{ x^2_2 +  9}{x^2_2 +6x_2 +9 }$

 

$    \Leftrightarrow  ( x^2_1 +  9) ( x^2_2 +6x_2 +9) < ( x^2_2 +  9) (x^2_1 +6x_1 +9)$

$    \Leftrightarrow 6 x_1 x_2 (x_2 - x_1) + 54 (x_1 - x_2) >0$

$    \Leftrightarrow (x_2 - x_1)\left( 6 x_1 x_2  - 54 \right) >0$

 

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, do $   4 \leq x_1 < x_2 \implies 6 x_1 x_2  > 6 .9 = 54 \implies 6 x_1 x_2  - 54 >0 $

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, do đó $(**)$ đúng, và $h(x)$ theo đó là hàm đơn điệu giảm trên $ [4; + \infty )$

 

Từ các nhận xét & chứng minh trên, ta thấy $(1)$ đúng, Suy ra: giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên  $ [4; + \infty )$ đạt được tại $x =4$, tương ứng $ f(4) = \frac{1 - \sqrt{3}}{5}$

$f(x)$ lại là hàm sơ cấp , xác định trên $ [4; + \infty )$, nên liên tục trên $ [4; + \infty )$, ngoài ra $f(x)$ đơn điệu tăng trên $ [4; + \infty )$ với $ \lim_{ x \to + \infty} f(x) = 0$

 

Nên tập giá trị của $f(x)$ trên $ [4; + \infty )$ sẽ là đoạn: $ \big[ \frac{1 - \sqrt{3}}{5} ; 0  \big) $, đây cũng chính là tập những giá trị tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Và bài toán theo đó đã được giải quyết hoàn toàn.

 

Lưu ý: Để chứng minh $f(x)$ là hàm đơn điệu tăng một cách chặt chẽ hơn nữa thì có thể làm như sau:

 

Với  mọi $x_1; x_2$ thỏa $   4 \leq x_1 < x_2$ thì $ f(x_1) - f(x_2) = g(x_1)h(x_1) - g(x_2)h(x_2) =  g(x_1)h(x_1) - g(x_1)h(x_2) + g(x_1)h(x_2)- g(x_2)h(x_2) = g(x_1) \cdot \left( h(x_1)-h(x_2)\right) + h(x_2) \cdot \left( g(x_1)-g(x_2) \right) <0 \implies f(x_1) < f(x_2)$


Trong chủ đề: Chuyên đề 1 - Bài Toán Đại số với tham số .

23-09-2022 - 22:30

Bài $39$ này lời giải của bạn Le Tuan Canhh ở trên là sai.

 

Đề bài là:

 

Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$

 

Bạn đang hiểu sai đề là: biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số $m$

 

Nên làm như trên không có điểm. :icon6:


Trong chủ đề: Chuyên đề 1 - Bài Toán Đại số với tham số .

22-09-2022 - 22:30

Bài $39$:  Giải và biện luận phương trình sau theo tham số $m$:

 

$ x^4 - 2x^3 + x = m$


Trong chủ đề: $M=\max\limits_{\left[ -1;1 \right]}...

07-09-2022 - 16:33

Bài này lời giải đáp án gọn hơn 1 chút như sau:

 

Đặt $ f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx +c \ ; \  g(x) = 4x^3 -3x \ ; \  h(x) = f(x) - g(x)$

 

Phản chứng, giả sử $ M <1$ , suy ra: $ -1< f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx +c < 1 $ với mọi  $x \in [ -1 ;1]$ $ (*)$

 

Mặt khác, để ý một loạt các đẳng thức sau: $g(-1) = -1 \ ; \  g \left ( \frac{-1}{2} \right) = 1 \ ; \  g \left ( \frac{1}{2} \right) = -1 \ ; \  g(1) = 1$  $(**)$

 

Kết  hợp $(*)$ với $(**)$ thì ta có : $h(-1) >0 \  ; \  h  \left ( \frac{-1}{2} \right)  <0 \ ; \  h \left ( \frac{1}{2} \right) >0 \ ; \  h(1) = 1 <0$

 

Theo tính chất hàm liên tục, ta thấy rằng $h(x)$ là đa thức bậc không quá $2$ nhưng lại có ít nhất $3$ nghiệm $x_1; x_2; x_3$ thỏa mãn $ -1 < x_1 < \frac{-1}{2} < x_2 < \frac{1}{2} < x_3 < 1$

 

Nên chĩ có thể xảy ra trường hợp $ h(x) \equiv 0$ , vô lý vì ở trên đã chỉ ra $h(-1) >0$

 

Mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử ban đầu là sai và ta có đpcm.