Đến nội dung


supermember

Đăng ký: 01-09-2006
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 23:51
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Tính $f \left( \frac{1}{7} \right...

Hôm qua, 12:02

Thực ra thì điều kiện hàm số liên tục là thừa. Nếu bỏ đi điều kiện liên tục của hàm số thì để hoàn tất bài toán, ta chỉ cần làm như sau:

 

Lời giải 2 (dựa trên ý tưởng của thầy Nghiêm Quốc Chánh):

+ Cho $x=0,y=1\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).0+a.1=a$     

+ Cho $x=0,y=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{4} \right )=(1-a).0+a.a=a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{2},y=1\Rightarrow f\left ( \frac{3}{4} \right )=(1-a).a+a.1=2a-a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{4},y=\frac{3}{4}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).a^2+a.(2a-a^2)=3a^2-2a^3$

 

 

Suy ra: $ a= 3a^2 - 2a^3 \implies 1 = 3a - 2a^2 \implies (2a-1)(a-1) = 0  \implies  a = \frac{1}{2}$ do $ 0< a<1$

 

Thay $ x = 0 ; y =  \frac{2}{7}$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{1}{7} \right) = a f \left(  \frac{2}{7} \right) $  $(4)$

 

 

Thay $ x = 0 ; y =  \frac{4}{7}$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{2}{7} \right) = a f \left(  \frac{4}{7} \right) $  $(5)$

 

Từ $(4); (5)$; ta suy ra:  $ f \left(  \frac{1}{7} \right) = a^2 f \left(  \frac{4}{7} \right) $

 

$ \implies  f \left(  \frac{4}{7} \right)  = \frac{f \left(  \frac{1}{7} \right)}{a^2}$  $(6)$

 

Thay $ x =  \frac{1}{7} ; y =  1$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{4}{7} \right)  = (1-a) f \left(  \frac{1}{7} \right) + a$

 

$ \implies \frac{1}{a^2} \cdot f \left( \frac{1}{7} \right) = (1-a) f \left( \frac{1}{7} \right) +a$ , ở đây sử dụng đẳng thứ $(6)$

 

$ \implies  f \left(  \frac{1}{7} \right)  = \frac{ a^3}{1- (1-a) a^2}$  $(7)$

 

Thay $ a = \frac{1}{2}$ vào đẳng thức $(7)$ , ta có được:  $ f \left(  \frac{1}{7} \right)  = \frac{ 1}{7}$

 

Bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn :)


Trong chủ đề: Thương Em

05-04-2022 - 09:08

Trong lá thư tuyệt mệnh, nếu để ý kỹ, ta sẽ thấy 2 chi tiết cảm động:

 

1. Thằng bé xin lỗi em mình. Nó chỉ nghĩ là trước có 2 anh em thì mẹ nó có mắng thì cũng 2 anh em nghe chung, giờ nó mất rồi thì chỉ còn em nó chịu nghe mắng chửi, càm ràm. Nó đã chết mà nó vẩn thương em nó.

2. Thằng bé không hề 1 câu nào oán trách mẹ mình. Có thể nó còn quá nhỏ nên nó chưa đủ câu từ để trách cứ ai, sau cùng, dù bố mẹ nó là nguyên nhân đẩy nó đến chết, nó cũng chỉ nói là: mẹ nó cũng muốn tốt, nhưng mẹ nó luôn làm theo ý mình và luôn làm quá mọi chuyện.


Trong chủ đề: Tìm số nguyên dương h bé nhất sao cho : $U_{n+h}-U_{n} \vdots 1...

08-01-2022 - 11:08

Ok, let's go! Hi vọng là giải đúng, giải từ từ nha, các bạn nếu nhìn vào thấy chưa xong thì đừng giận: 

Xét dãy phụ: $ v_n = u_n +a $ Trong đó ta dùng phương pháp hệ số bất định để tìm $ a$ thỏa mãn $ 20+a = 9a$ thì khi đó dãy truy hồi thu được có dạng:

$ v_{n+1} = 4v_n + 5 v_{n-1}$ với mọi $ n \geq 2$ . Dễ thấy $ a = \frac{5}{2}$

$(v_n)$ là dãy truy hồi tuyến tính cấp $2$, $ v_0 =  \frac{45}{2} ; v_1 = \frac{205}{2}$, phương trình đặc trưng của dãy này là: $ x^2 - 4x -5 = 0$ có $2$ nghiệm:

 

$ x_1 = -1 ; x_2 = 5$ nên $ v_n = a \cdot (-1)^n + b \cdot 5^n$ với mọi $ n \in \mathbb{N}$

 

Do đã có trước $2$ giá trị $ v_0; v_1$ nên dễ dàng giải hệ tuyến tính  $2$ ẩn để tìm ra : $ a = \frac{5}{3}; b = \frac{125}{6}$

 

Suy ra: $ v_n = \frac{ 5^{n+3} + 10 \cdot (-1)^n }{6}$

 

Ta đi chứng minh $h$ phải là số chẵn.

Thật vậy, giả sử $h$ là số lẻ thì: $ u_{n+h} - u_n  = \frac{ 5^{n+3}  (5^h -1)+ 10 \cdot (-1)^n  \cdot ( (-1)^h -1)}{6}  =\frac{ 5^{n+3}  (5^h -1) - 20 \cdot (-1)^n }{6}$


Trong chủ đề: Tìm số nguyên dương h bé nhất sao cho : $U_{n+h}-U_{n} \vdots 1...

30-12-2021 - 08:56

Bài này làm gồm những bước sau:

 

Bước 1: Xác định công thức tổng quát của dãy $(u_n)$, tính ra được $u_n$ theo $n$

Bước 2: Phân tích $1998$ là tích các thừa số nguyên tố.

 

Bước 3: Sử dụng kiến thức cơ bản: cấp của một số nguyên theo modulo của hợp số là bội chung nhỏ nhất của các cấp của số nguyên đó theo modulo từng thừa số nguyên tố. Cụ thể: Giả sử $h$ là cấp của số nguyên $a$ theo modulo $n$, $n = p^{ \alpha_1}_1  p^{ \alpha_2}_2 \cdots p^{ \alpha_k}_k$ thì $h$ sẽ là bội chung nhỏ nhất của $ h_1; h_2; ...; h_k$ với $h_1; h_2;...; h_k$ lần lượt là cấp của $a$ theo modulo $p^{ \alpha_1}_1;  p^{ \alpha_2}_2; \cdots ;p^{ \alpha_k}_k$

 

Bước 4: Tính cụ thể ra các giá trị $h_1 ; h_2 ; ...; h_k$, cái này thì có những bổ đề để tính cụ thể ra :)


Trong chủ đề: $\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}...

18-12-2021 - 19:13

Liệu rằng có thể sử dụng phương pháp đã trình bày trong bài BĐT ở TOPIC https://diendantoanh...lâm-đồng-2022/ để giải quyết bài toán này không?

Supermember nghĩ rằng làm được, các bạn hãy thử xem :)

 

Ok, let's go!. Hi vọng là giải đúng!

Từ giả thiết bài toán ta suy ra: $ a = \frac{b-c}{1+bc}$

 

Do giả thiết bài toán $a;b ; c$ là những số thực dương nên hiển nhiên phải có: $b >c$

 

Do đó $ \mathcal{P} (a;b;c) = \frac{2}{1+a^2} - \frac{2}{1+b^2} + \frac{3}{1+c^2} = \frac{2}{1+ \frac{(b-c)^2}{(1+bc)^2}} - \frac{2}{1+b^2} + \frac{3}{1+c^2} $

 

$=  \frac{2 (1+bc)^2}{(1+b^2)(1+c^2)}- \frac{2}{1+b^2} + \frac{3}{1+c^2} =  \frac{2}{1+c^2}  \cdot \frac{ (1+bc)^2 - (1+c^2)}{1+b^2}  + \frac{3}{1+c^2}$     $(1)$

 

Với mỗi giá trị $c$ cố định, Ta sẽ đi khảo sát hàm số : $ f(x) =  \frac{ (1+xc)^2 - (1+c^2)}{1+x^2} = \frac{ 2cx+  c^2 x^2 - c^2}{1+x^2} $ trên $ (c; +\infty)$

 

Thật vậy, $ f^{'}(x) =   \frac{ (2c^2 x+2c)(1+x^2) - 2x(2cx+  c^2 x^2 - c^2) }{(1+x^2)^2}  =   \frac{ 2c(1 +2cx -x^2) }{(1+x^2)^2}$

 

Do đó $ f^{'}(x) =0 \Leftrightarrow 1 + 2cx - x^2 = 0  \Leftrightarrow (x-c)^2 = c^2 +1 \Leftrightarrow x = x_0= \sqrt{c^2+1} +c$

 

Từ kiến thức cơ bản về dấu của tam thức bậc $2$, Ta dễ thấy rằng $f(x)$ đơn điệu tăng trên $(c; x_0 ]$ và đơn điệu giảm trên $ [x_0 ; + \infty)$ do đó:

 

$ f(x) \leq f(x_0)$ với mọi $x$ thuộc $  (c; +\infty)$

 

Xét khai triển $f(x_0)$ thì bằng tính toán và rút gọn, ta có: $ f(x_0) = c^2 + \frac{c}{c + \sqrt{1+c^2}}$

 

Suy ra $ \mathcal{P} (a;b;c) \leq \frac{2}{1+c^2}  \cdot \left( c^2 + \frac{c}{c + \sqrt{1+c^2}} \right)   + \frac{3}{1+c^2} = g(c)$      $(2)$

 

Đoạn kết của bài toán chỉ còn là đi khảo sát hàm $ g(c)$ này trên $ (0; \infty)$ mà thôi. Tuy rằng không phải dễ nhưng cũng sẽ không quá khó :)

 

Ta dùng kỹ năng cơ bản về các " lượng liên hợp", thật vậy:

$ g(c) = \frac{2}{1+c^2}  \cdot \left( c^2 + \frac{c \cdot (  \sqrt{1+c^2} -c) }{(c + \sqrt{1+c^2}) \cdot (  \sqrt{1+c^2} -c) } \right)   + \frac{3}{1+c^2} $

 

$ = \frac{2}{1+c^2}  \cdot \left( c^2 + c \cdot (  \sqrt{1+c^2} -c ) \right)  + \frac{3}{1+c^2} $

 

$ \implies g(c) = \frac{2c}{ \sqrt{1+c^2}}  + \frac{3}{1+c^2} $      $(3)$

 

Đặt ẩn phụ $ t =  \sqrt{1+c^2}$ và rõ ràng $ t> 1$

 

$g(c) = \frac{ 2 \sqrt{t^2-1}}{t} + \frac{3}{t^2} = h(t)$ . Ta khảo sát hàm $h(t)$ trên $(1; + \infty)$

 

Ta có $ h^{'}(t) = \frac{2t - 6 \sqrt{t^2-1}}{t^3 \sqrt{t^2-1}} =  \frac{2(9 - 8t^2)}{ t^3 \cdot \sqrt{t^2-1} \cdot ( t+ 3 \sqrt{t^2-1} )} $ Thì $ h^{'}(t) = 0  \Leftrightarrow  9-8t^2 =0 \Leftrightarrow  8t^2 =9 \Leftrightarrow t = t_0 = \frac{3}{ 2 \sqrt{2}} $

 

Ta dễ thấy $ h(t)$ là hàm đồng biến trên $ (1; t_0 ]$ và là hàm nghịch biến trên $ [t_0 ; +\infty)$

 

Do đó $ g(c) = h(t) \leq h(t_0) = \frac{10}{3} $       $(4)$

 

Do đó , từ $(1); \ (2); \ (3); \ (4)$, ta suy ra:

 

Giá trị lớn nhất của $  \mathcal{P} (a;b;c)$ là $ \frac{10}{3} $, đạt được khi $ c = \frac{1}{ 2 \sqrt{2}} ; b = \sqrt{2} ;  a =  \frac{1}{ \sqrt{2}}$

 

Bài Toán Theo đó được giải quyết hoàn toàn. Và thực ra ta còn giải được bài toán ở dạng khó hơn là tìm GTLN thay vì chỉ đi chứng minh bất đẳng thức.