Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


supermember

Đăng ký: 01-09-2006
Offline Đăng nhập: 31-01-2023 - 20:32
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}...

24-01-2023 - 21:46

Bài này làm thế này nè:

 

 

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$

 

Trước hết, ta có bổ đề: $\lim_{n \to + \infty } \sqrt[n] n=1 $ $  (*)$

 

Chứng minh bổ đề này bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $n$ số gồm 1 số $n$ và $n-1$ số $1$. Sau đó áp dụng dụng định lý giới hạn kẹp với chú ý: $ 1 < \sqrt[n] n$ .

 

Bây giờ, Đặt $f(n) = q^n \cdot n$

 

$ \ln f(n) = n \cdot \ln q + \ln n = - n \cdot \ln \frac{1}{q} + \ln ( \sqrt[n] n )^n  = n \ln \sqrt[n] n -  n \cdot \ln \frac{1}{q}  = n \cdot \ln \frac{ \sqrt[n] n}{\frac{1}{q}}  = n \cdot \ln (q\cdot \sqrt[n] n)$

 

Dễ thấy khi $n$ tiến dần ra vô cùng thì:  $q\cdot \sqrt[n] n$ tiến dần đến giá trị $ q$ là hằng số dương nhỏ hơn $1$ (Do $(*)$) , Suy ra  $\ln (q\cdot \sqrt[n] n)$ tiến dần đến giá trị hằng số $ \ln q$  là số âm, Suy ra $  n \cdot \ln (q\cdot \sqrt[n] n)$ tiến dần đến $ - \infty$

 

Suy ra $\lim_{n \to + \infty } \ln f(n) = - \infty$

 

Suy ra:  $\lim_{n \to + \infty} n \cdot q^n = \lim_{n \to + \infty} f(n) = \lim_{n \to + \infty } e^{\ln f(n)} = 0$

 

Và từ đây ta có điều phải chứng minh


Trong chủ đề: Tìm hệ số $x^3$ trong khai triển đa thức

19-01-2023 - 23:17

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

 

Bài này cách đơn giản nhất là như sau:

 

Đặt $y = f(x) =x-1$

 

Rõ ràng theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

 

$ P(x) = (x^2 + y)^5 = \binom{5}{0}x^{10}+ \binom{5}{1}x^{8}y + \binom{5}{2}x^{6}y^2+ \binom{5}{3}x^{4}y^3+ \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5  = G(x) + \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5 $

 

Rõ ràng trong khai triển của đa thức $G(x)$ thì hệ số của $x^0 ; x^1 ; x^2 ; x^3$ đều bằng $0$, nên hệ số của $x^3$ trong khai triển $P(x)$ cũng chính là hệ số $x^3$ trong khai triển $ \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5 $

 

$ = \binom{5}{4}x^{2} (x-1)^4+ \binom{5}{5} (x-1)^5 $

 

Bằng $ \binom{5}{4} \binom{4}{3} (-1)^3 + \binom{5}{2} (-1)^2  = 5 \cdot 4 \cdot (-1) + \frac{4 \cdot 5}{2} = -20+10 = -10$


Trong chủ đề: Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn $(x+y)^4+5z=63x$

31-12-2022 - 10:14

Bài này chỉ đơn giản là nhận xét: $x <4$

 

Nếu $x \geq 4$ thì vế trái lớn hơn $ x^4 \geq 4^3 x = 64x > 63x $ suy ra vế trái lớn hơn vế phải.

 

Như vậy, ta chỉ cần đi xét 3 trường hợp $ x =1 ; x=2; x = 3$

 

Trường hợp $1$: Với $ x = 1$ thì phương trình trở thành: $ (y+1)^4 + 5z = 63$

 

Tiếp tục vét cạn thì dễ thấy $y$ chỉ có thể nhận giá trị bằng $1$ vì $3^4 > 63$

Thử với $y =1$ thì cũng không có được nghiệm nguyên nào, vì phương trình $5z = 47$ hiển nhiên không thể có nghiệm nguyên $( 5 \not | 47 )$ nên loại trường hợp này.

 

Trường hợp $2$:  Với $ x = 2$ thì  phương trình trở thành: $ (y+2)^4 + 5z = 126$

Tiếp tục vét cạn thì dễ thấy $y$ chỉ có thể nhận giá trị bằng $1$ vì $4^4 > 126$

Thử với $y =1$ thì được nghiệm nguyên $ x = 2; y = 1; z= 9$

 

Trường hợp $3$: Với $ x = 3$ thì  phương trình trở thành: $ (y+3)^4 + 5z = 189$

Vô nghiệm vì $4^4 > 189$

 

Nên phương trình đã cho chỉ có nhiệm nguyên dương duy nhất $ (x;y;z) = (2;1;9)$


Trong chủ đề: $\sum {\frac{{{a^2}}}{{2{a^2} + {{\left( {b + c - a}...

21-12-2022 - 17:41

Bài này hay, các bạn cùng nhau giải nhé.


Trong chủ đề: $ f(x) + f(y) = \left( f(x+y) + \frac{1}{x+...

06-11-2022 - 14:57

Bài này nghiệm hàm là $ f(x) = x - \frac{1}{x}$, chứng minh bằng việc tính các giá trị: $ f(1); f(2)$ rồi bằng quy nạp theo $n$ để chứng minh: $f(n) = n - \frac{1}{n}$ với mọi số nguyên dương $n$.