Đến nội dung

supermember

supermember

Đăng ký: 01-09-2006
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:57
****-

#737965 Tìm các số tự nhiên n sao cho $3^{2^{2n}}+10$ là số nguyên tố.

Gửi bởi supermember trong Hôm qua, 18:39

Bài này làm như thế này.

 

Dễ thấy $n = 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán, vì $ 3^{2^{0}} + 10 = 3^1 + 10 = 13$ là số nguyên tố.

 

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $ 3^{2^{2n}} + 10 = 3^{4^{n}} + 10$ chia hết cho $13$ , và do số này hiển nhiên lớn hơn $13$ nên nó không thể là số nguyên tố.

 

Thật vậy, với $n =1$ thì $ 3^{2^{2}} + 10 =  3^4 + 10 = 91 = 7 \cdot 13 $ , chia hết cho $13$.

 

Vậy khẳng định đúng với $n=1$.

 

Giả sự khẳng định đúng đến $n$, tức là : $ 3^{4^{n}} + 10$ chia hết cho $13$ $(*)$ thì khi đó:

 

 $ 3^{2^{2(n+1)}} + 10 = 3^{4^{n+1}} + 10 =  (3^{4^{n+1}} - 3^{4^{n}}) + (3^{4^{n}}  + 10)  \ (**)  $

 

Mà: $(3^{4^{n+1}} - 3^{4^{n}}) = 3^{4^{n}} \cdot \left( 3^{3\cdot 4^{n}} - 1 \right) =  3^{4^{n}} \cdot \left( (3^{3})^{4^{n}} - 1 \right) = 3^{4^{n}} \cdot \left( 27^{4^{n}} - 1 \right)$

 

$27 \equiv 1  \pmod {13}$ $ \implies 27^{4^{n}} \equiv 1 \pmod{13}  \implies  13 | 27^{4^{n}} - 1$

 

Suy ra: $(3^{4^{n+1}} - 3^{4^{n}}) $ chia hết cho $13$ $(***)$

 

Từ $(**)$; $(**)$; $(***)$ suy ra khẳng định  đúng đến $n+1$ và do đó, theo nguyên lý quy nạp Toán Học thì khẳng định được chứng minh hoàn toàn.

 

Dẫn đến kết luận: Chỉ có duy nhất một số tự nhiên thõa mãn yêu cầu bài toán là $n=0$.




#737897 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n,$ số $2^{3^...

Gửi bởi supermember trong 21-03-2023 - 12:00

Bài này giải như thế này.

 

Bước 1: Ta đi chứng minh mọi ước nguyên tố của số $2^{3^{n}}+1$ đều phải có dạng $8k+3$ hoặc $8k+1$.

 

Thật vậy, giả sử : $ 2^{3^{n}}+1 \equiv 0 \pmod p \implies  2^{3^{n}} \equiv -1  \pmod p $

 

$ \implies  2^{3^{n} +1} \equiv -2  \pmod p  \implies  \left(2^{\frac{3^{n} +1}{2}} \right)^2 \equiv -2  \pmod p $

 

Tức là $-2$ là số chính phương $ \pmod p$.

 

$ \implies \big( \frac{-2}{p} \big) =   \big( \frac{-1}{p} \big) \cdot \big( \frac{2}{p} \big) =1$

 

Nên chỉ có thể xảy ra $2$ trường hợp:

 

Trường hợp $1$:  $\big( \frac{-1}{p} \big) = \big( \frac{2}{p} \big) =1$ 

Mà : $ \big( \frac{-1}{p} \big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} ;  \big( \frac{2}{p} \big) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ 

Tức là : $p$ phải có dạng $8k+1$ 

 

Trường hợp $2$:  $\big( \frac{-1}{p} \big) = \big( \frac{2}{p} \big) = -1$ 

Mà : $ \big( \frac{-1}{p} \big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} ;  \big( \frac{2}{p} \big) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ 

Tức là :  $p$ phải có dạng $8k+3$ 

 

Mà rõ ràng  $2^{3^{n}}+1$  cũng có dạng $8k+1$, suy ra khi viết $2^{3^{n}}+1$ dưới dạng tích của các ước số nguyên tố (không nhất thiết phân biệt), thì phải có đúng một số chẵn các ước nguyên tố dạng $8k+3$. Các ước nguyên tố lẻ còn lại (nếu có) thì có dạng $8k+1$. Ta gọi tính chất này là tính chất $ \alpha$.

 

Bước $2$: Ta đi chứng minh số $  (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ cũng có tính chất $ \alpha$ .

 

Thật vậy, rõ ràng: $  2^{3^{n+1}}+1 = (2^{3^{n}}+1) \cdot ( (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1)$ mà  $  2^{3^{n+1}}+1 ; \ 2^{3^{n}}+1 $ đều có tính chất  $ \alpha$. Nên hiển nhiên $  (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ cũng có tính chất $ \alpha$ .

 

Bước $3$: Ta đi chứng minh $  (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ phải có ít nhất $1$ ước nguyên tố $p$ dạng $8k+3$ mà $ p$ không phải ước nguyên tố của $2^{3^{n}}+1$ $(*)$.

 

Chứng minh điều này không khó:

 

$   \left( 2^{3^{n}}+1 \right)^2 -  \big( (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1 \big) = 3 \cdot 2^{3^{n}}  \ \ (**)$ 

 

Ta để ý điều sau: $ 3 $ $  ||   (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1 $ , chứng minh đơn giản bằng cách viết: $ 2^3 = 3^2 -1$.

 

Nên để $ (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ có tính chất $ \alpha$ thì  $ (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$  phải có ít nhất một ước nguyên tố lẻ $p$ khác $3$ có dạng $ p = 8k+3$, nếu $p$ cũng là ước số của số  $2^{3^{n}}+1$ thì từ  $(**)$ suy ra $ p |  3 \cdot 2^{3^{n}} $ , vô lý.

 

Do đó $(*)$ được chứng minh.

 

Bước $4$: Chứng minh khẳng định bài toán bằng quy nạp.

 

Với $n=1$, $2$ ta dễ thấy khẳng định bài toán đúng do:

 

 Số $2^{3^{1}}+1 = 3^2$ có đúng $1$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3$

 

Số $2^{3^{2}}+1 = 3^3 \cdot 19$ có đúng $2$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3 ; \ 19$

 

Giả sử khẳng định đúng đến $n$, $ n \geq 2$ thì:

 

 $  2^{3^{n+1}}+1 = (2^{3^{n}}+1) \cdot ( (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1)$ , trong đó  $  2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố phân biệt dạng $8k+3$ (Giả thiết quy nạp). Còn $ (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $1$ ước nguyên tố dạng $8k+3$, số nguyên tố này không phải ước của $  2^{3^{n}}+1$ (theo  $(*)$ ) .

 

Suy ra $  2^{3^{n+1}}+1$ phải có ít nhất $n+1$ ước nguyên tố phân biệt dạng $8k+3$.

 

Do đó, khẳng định đúng đến $n+1$, và theo nguyên lý quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số nguyên dương $n$.

 

Ta thấy rằng bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.




#737790 $a^2-ab+b^2$ là ước của $2b^2+ab$

Gửi bởi supermember trong 16-03-2023 - 13:40

Không ngờ là phương pháp sử dụng ở đây : https://diendantoanh...ố-chính-phương/ lại hữu dụng như vậy, đem áp dụng vào bài này giải được liền.

 

Thật vậy, giả sử $(a; b)$ là cặp số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

dễ thấy là phải tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho: $ k = \frac{2b^2 +ab}{a^2 - ab+ b^2}$

 

$ \Leftrightarrow ka^2 - kab+kb^2 = 2b^2 +ab  \Leftrightarrow  ka^2 - (k-1)ba +(k-2)b^2 = 0 \ (*)$

 

Ta coi $(*)$ là phương trình bậc $2$ ẩn $a$, thì từ công thức tính nghiệm phương trình bậc $2$ : $ a_{1;2} = \frac{ (k-1)b \pm \sqrt{\triangle}}{2k}$ ta dễ thấy là để có nghiệm $a$ là số nguyên thì điều kiện cần là biệt số $\triangle$ phải là số chính phương.

 

$ \triangle = (k-1)^2 b^2 - 4k(k-2) b^2 = b^2 \cdot ( 1+6k-3k^2)$ là số chính phương khi và chỉ khi $ ( 1+6k-3k^2)$ là số chính phương.

 

Do với $ k \geq 3$ thì $ 1+ 6k-3k^2 = 1 - 3k(k-2) \leq  1 - 6 < 0$ nên chỉ có thể xảy ra trường hợp $ k \in \{1; 2 \}$

 

Trường Hợp $1$: $ k =1$ thì   : $ 2b^2 +ab =a^2 - ab+ b^2  \Leftrightarrow (a-b)^2 = 2b^2 \ (**)$

 

Rõ ràng nhận xét là $ a \neq b$ do $2b^2$ là số nguyên dương.

 

Tuy nhiên, Đẳng thức $(**)$ này cũng không bao giờ xảy ra do : $ 2 | v_2 ((a-b)^2) $ trong khi $ 2 \ \not | v_2 ( 2b^2)$ . Nên ta loại được trường hợp này.

 

Trường hợp $2$: $ k=2$ thì  $ 2b^2 +ab =2a^2 - 2ab+ 2b^2  \Leftrightarrow 2a = 3b$

 

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = 3m & \\ b=2m \end{matrix}\right.$ . Trong đó $m $ là số nguyên dương tùy ý.

 

Thử lại thấy thỏa mãn.

 

Kết luận: Tất cả các cặp số $(a;b)$ thỏa yêu cầu bài toán là các cặp số dạng $ (3m; 2m)$ trong đó $m$ là số nguyên dương tùy ý.

 

Bài Toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.




#737735 Tìm tất cả các giá trị của $a,b$ sao cho phương trình $x^...

Gửi bởi supermember trong 14-03-2023 - 18:53

Để dễ nhìn và tránh các dấu trừ dễ bị nhầm thì sửa đề 1 chút thành : $x^3 -ax^2 +bx- 3a =0$

Như vậy, các số $a; b$ nếu có đều sẽ là các số nguyên dương, ta đỡ phải làm việc với các số âm.

 

nói chung dễ quá vì bản chất của nó là giải phương trình nghiệm nguyên dạng cơ bản.

 

Giả sử phương trình đã cho có $3$ nghiệm nguyên dương $ x_1 ; \  x_2 ; \ x_3$ thì theo định lý Viet, ta có:

 

$ P(x)= (x-x_1) (x-x_2) (x-x_3) \equiv x^3 -ax^2 +bx-3a$

 

Dẫn đến: $ x_1 + x_2 + x_3 =  a  \implies  3( x_1 + x_2 + x_3) = 3a = x_1 x_2 x_3 \ (*)$ 

 

Không giảm tổng quát, ta giả sử $ 1 \leq x_1 \leq x_2 \leq x_3$

 

Dễ thấy là $ x_1 \leq 3$ vì nếu $ x_1 \geq 4$ thì :   $x_1 x_2 x_3 \geq 16x_3 > 9x_3 \geq  3( x_1 + x_2 + x_3)$

 

Do đó, ta sẽ xét $3$ trường hợp sau:

 

TH1: $x_1 =3$ thì  $(*)$ tương đương với: $3 + x_2+ x_3 = x_2 x_3 \Leftrightarrow (x_2 -1)(x_3 -1) = 4 \Leftrightarrow  x_2 = x_3 = 3 $ hoặc $ x_2 =2$ và $x_3 = 5$ . Loại trường hợp sau vì rõ ràng phải có $ x_1 \leq x_2$ 

 

Như vậy ta thu được $ x_1 = x_2 = x_3 = 3$ từ đây tính ra $ a= 9; b = 27$

 

TH2: $x_1 =2$ thì  $(*)$ tương đương với: $6 + 3x_2+ 3x_3 = 2 x_2 x_3 \Leftrightarrow (2x_2 -3)(2x_3 -3) = 21 \Leftrightarrow  x_2 = 2 ; x_3 = 12 $ hoặc $ x_2 =3 ; x_3 = 5$

 

 

Như vậy ta thu được $ x_1 = x_2 = 2; x_3 = 12$  hoặc $x_1 = 2; x_2 = 3 ; x_3 =5$ từ đây tính ra $ a= 16; b = 52$ hoặc $ a= 10; b = 31$

 

TH3: $x_1 =1$ thì  $(*)$ tương đương với: $3 + 3x_2+ 3x_3 = x_2 x_3 \Leftrightarrow (x_2 -3)(x_3 -3) = 12 \Leftrightarrow  x_2 = 4 ; x_3 = 15 $ hoặc $ x_2 =5 ; x_3 = 9$ hoặc $ x_2 =6 ; x_3 = 7$

 

 

Như vậy ta thu được $ x_1 = 1; x_2 = 4; x_3 = 15$  hoặc $x_1 = 1; x_2 = 5 ; x_3 =9$ hoặc $x_1 = 1; x_2 = 6 ; x_3 =7$

 

từ đây tính ra $ a= 20; b = 79$ hoặc $ a= 15; b = 59$ hoặc $ a= 14; b = 55$

 

Ta thu được các bộ nhiệm $ (a;b)$ như sau: $ (9; 27); \ (16;52); \ (10;31); \ (20;79); \ (15;59); \ (14;55)$

 

Vậy, kết luận các cặp số thỏa yêu cầu bài toán là: $(-9; 27); \ (-16;52); \ (-10;31); \ (-20;79); \ (-15;59); \ (-14;55)$ .

 

Bài Toán Theo Đó được giải quyết Hoàn Toàn. :wub:




#737722 Cho x,y là các số nguyên dương ,...Chứng mỉnh rằng tồn tại số tự nhiên z sao...

Gửi bởi supermember trong 14-03-2023 - 13:42

Hi vọng là giải đúng

 

Từ điều kiện bài toán, ta thấy rõ ràng phải tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $ k = \frac{y^2 +x-1}{xy+1}$

 

$ \implies y^2 + x -1 = k(xy+1) \implies y^2 - kxy + x -1 - k = 0 \ (*)$

 

Xem $(*)$ là phương trình bậc $2$ ẩn $y$, thì rõ ràng do $(*)$ có nghiệm nguyên dương, nên từ công thức tính nghiệm của phương trình bậc $2$ : $ y_{1,2} = \frac{ -b  \pm \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}$ thì ta dễ thấy biệt số $ \bigtriangleup = k^2 x^2 - 4(x-1-k) = k^2 x^2 +4 + 4k - 4x$ phải là số chính phương.

 

Ta xét $2$ trường hợp:

 

TH1: $ kx =1 \Leftrightarrow k = x = 1$

 

Thì khi đó $(*)$ tương đương với $ y(y-1) = 1$, phương trình này  vô nhiệm vì $y ; \ y-1$ là $2$ số nguyên liên tiếp nên bắt buộc phải có $1$ số chẵn trong $2$ số này , suy ra tích: $y(y-1)$ là số chẵn. Trong khi $1$ là số nguyên dương lẻ.

 

Do đó, không thể xảy ra trường hợp này.
 

Nên do đó, ta chỉ cần xét trường hợp $2$ là $ kx \geq 2$.

 

Ta có đánh giá sau: $ k^2 x^2 -4kx +4 < \bigtriangleup = k^2 x^2 - 4(x-1-k) = k^2 x^2 +4 + 4k - 4x = a^2 < k^2 x^2 + 4kx + 4$

 

Suy ra $ (kx-2)^2 < a^2 < (kx+2)^2$

 

Mà $kx -2 \geq 0$, Do đó chỉ có thể xảy ra $2$ trường hợp:

 

$ a^2 = k^2x^2 $ hoặc $ a^2 = (kx \pm 1)^2$

 

Bằng kiểm tra trực tiếp thì dễ thấy không thể xảy ra trường hợp: $  a^2 = k^2 x^2 +4 + 4k - 4x = (kx \pm 1)^2$ vì đẳng thức này tương đương với:

 

$ 4k-4x \pm 2kx = -3$, Vô lý, do vế trái và vế phải khác tính chẵn lẽ.

 

Nên chỉ cần xét trường hợp: $ a^2 = k^2x^2 =  k^2 x^2 +4 + 4k - 4x $

 

Ta thu được đẳng thức tuyệt đẹp : $ x = k+1   \ (**)$

 

Thay $(**)$ vào $(*)$ ta có: $ y^2 - kxy  = 0  \implies y = kx = k^2 +k$

 

Đến đây thì dễ lắm rồi : $ x+y+z + xyz = (x+y) + z(xy+1)= k^2 + 2k+1 + z(k^3+2k^2 +k) = (k+1)^2 + zk(k+1)^2 + z $

 

 

 

Chọn ngay số $ z =  (k+1)^2 \cdot ( k(k+1)^2 -1) $ thì có ngay $  x+y+z + xyz = k^2 (k+1)^6$ là số chính phương.

 

Và do đã chỉ ra cách để chọn số $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán, nên bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn trọn vẹn.

 

Chú ý:

 

Cách chọn $z$ hoàn toàn không phải duy nhất, mà có thể chọn được vô số số $z$ , chẳng hạn như có thể chọn $ z = \frac{  \big( \left[ k(k+1)^2 +1 \right]^2 \pm 1 \big)^{2n} -1}{k(k+1)^2+1} \cdot (k+1)^2$ , trong đó $n$ là số nguyên dương tùy ý.




#737637 Tính Chất của ước số lẻ của số dạng $5x^2 +1$

Gửi bởi supermember trong 11-03-2023 - 10:28

Bài Toán:

 

Chứng minh rằng mọi ước số nguyên dương lẻ của số dạng $5x^2 +1$ đều có chữ số hàng chục là số chẵn.

 

Trong đó $x$ là số nguyên.




#737597 chứng minh $(a_1^2+1)(a_2^2+1) ... (a_{2023}^2+1)$ không...

Gửi bởi supermember trong 07-03-2023 - 20:37

Sai đề rồi, lấy phản ví dụ $ a_1 = a_2 = .... = a_{2023} =1$




#737595 Tính $P(6), P(7)$ biết $P(1)=1, P(2)=4, P(3)=9, P(4)=16, P(5)=...

Gửi bởi supermember trong 07-03-2023 - 15:05

Bài này làm như thế này:

 

Xét $ H(x) = P(x) - x^2 - (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

 

Dễ dàng kiểm tra: $ H(x)$ là đa thức hệ số thực bậc không quá $4$ lại có đến $5$ nghiệm thực phân biệt là $1; 2 ; 3 ; 4 ; 5$

 

Suy ra $ H(x) \equiv 0$

 

Suy ra $P(x) = x^2 + (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

 

Suy ra $ P(6) = 5! + 6^2 = 156; P(7) = 6! + 7^2 = 769$

 

Không rõ là cấp 2 có được sử dụng kiến thức về số nghiệm thực tối đa của đa thức không. nếu không được sử dụng thì buộc phải giải hệ phương trình 5 ẩn, này thì hơi tốn nhiều sức.




#736903 Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}...

Gửi bởi supermember trong 24-01-2023 - 21:46

Bài này làm thế này nè:

 

 

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$

 

Trước hết, ta có bổ đề: $\lim_{n \to + \infty } \sqrt[n] n=1 $ $  (*)$

 

Chứng minh bổ đề này bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $n$ số gồm 1 số $n$ và $n-1$ số $1$. Sau đó áp dụng dụng định lý giới hạn kẹp với chú ý: $ 1 < \sqrt[n] n$ .

 

Bây giờ, Đặt $f(n) = q^n \cdot n$

 

$ \ln f(n) = n \cdot \ln q + \ln n = - n \cdot \ln \frac{1}{q} + \ln ( \sqrt[n] n )^n  = n \ln \sqrt[n] n -  n \cdot \ln \frac{1}{q}  = n \cdot \ln \frac{ \sqrt[n] n}{\frac{1}{q}}  = n \cdot \ln (q\cdot \sqrt[n] n)$

 

Dễ thấy khi $n$ tiến dần ra vô cùng thì:  $q\cdot \sqrt[n] n$ tiến dần đến giá trị $ q$ là hằng số dương nhỏ hơn $1$ (Do $(*)$) , Suy ra  $\ln (q\cdot \sqrt[n] n)$ tiến dần đến giá trị hằng số $ \ln q$  là số âm, Suy ra $  n \cdot \ln (q\cdot \sqrt[n] n)$ tiến dần đến $ - \infty$

 

Suy ra $\lim_{n \to + \infty } \ln f(n) = - \infty$

 

Suy ra:  $\lim_{n \to + \infty} n \cdot q^n = \lim_{n \to + \infty} f(n) = \lim_{n \to + \infty } e^{\ln f(n)} = 0$

 

Và từ đây ta có điều phải chứng minh




#736867 Tìm hệ số $x^3$ trong khai triển đa thức

Gửi bởi supermember trong 19-01-2023 - 23:17

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

 

Bài này cách đơn giản nhất là như sau:

 

Đặt $y = f(x) =x-1$

 

Rõ ràng theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

 

$ P(x) = (x^2 + y)^5 = \binom{5}{0}x^{10}+ \binom{5}{1}x^{8}y + \binom{5}{2}x^{6}y^2+ \binom{5}{3}x^{4}y^3+ \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5  = G(x) + \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5 $

 

Rõ ràng trong khai triển của đa thức $G(x)$ thì hệ số của $x^0 ; x^1 ; x^2 ; x^3$ đều bằng $0$, nên hệ số của $x^3$ trong khai triển $P(x)$ cũng chính là hệ số $x^3$ trong khai triển $ \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5 $

 

$ = \binom{5}{4}x^{2} (x-1)^4+ \binom{5}{5} (x-1)^5 $

 

Bằng $ \binom{5}{4} \binom{4}{3} (-1)^3 + \binom{5}{2} (-1)^2  = 5 \cdot 4 \cdot (-1) + \frac{4 \cdot 5}{2} = -20+10 = -10$




#736569 Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn $(x+y)^4+5z=63x$

Gửi bởi supermember trong 31-12-2022 - 10:14

Bài này chỉ đơn giản là nhận xét: $x <4$

 

Nếu $x \geq 4$ thì vế trái lớn hơn $ x^4 \geq 4^3 x = 64x > 63x $ suy ra vế trái lớn hơn vế phải.

 

Như vậy, ta chỉ cần đi xét 3 trường hợp $ x =1 ; x=2; x = 3$

 

Trường hợp $1$: Với $ x = 1$ thì phương trình trở thành: $ (y+1)^4 + 5z = 63$

 

Tiếp tục vét cạn thì dễ thấy $y$ chỉ có thể nhận giá trị bằng $1$ vì $3^4 > 63$

Thử với $y =1$ thì cũng không có được nghiệm nguyên nào, vì phương trình $5z = 47$ hiển nhiên không thể có nghiệm nguyên $( 5 \not | 47 )$ nên loại trường hợp này.

 

Trường hợp $2$:  Với $ x = 2$ thì  phương trình trở thành: $ (y+2)^4 + 5z = 126$

Tiếp tục vét cạn thì dễ thấy $y$ chỉ có thể nhận giá trị bằng $1$ vì $4^4 > 126$

Thử với $y =1$ thì được nghiệm nguyên $ x = 2; y = 1; z= 9$

 

Trường hợp $3$: Với $ x = 3$ thì  phương trình trở thành: $ (y+3)^4 + 5z = 189$

Vô nghiệm vì $4^4 > 189$

 

Nên phương trình đã cho chỉ có nhiệm nguyên dương duy nhất $ (x;y;z) = (2;1;9)$




#736448 Tìm công thức tính $u_n$ theo $n$

Gửi bởi supermember trong 25-12-2022 - 23:03

Dãy $(u_n)_{n \geq 1}$ thỏa mãn: $u_1 = 1 ; u_{n+1} = u_n + 2^{2n-1} \cdot u^{2}_n$ với mọi $n \geq 1$

 

Tìm công thức tính $u_n$ theo $n$




#736385 $\sum {\frac{{{a^2}}}{{2{a^2} + {{\left( {b + c - a}...

Gửi bởi supermember trong 21-12-2022 - 17:41

Bài này hay, các bạn cùng nhau giải nhé.




#736380 THAM THÌ THÂM

Gửi bởi supermember trong 20-12-2022 - 23:40

Câu chuyện bi hài kịch
Cô ABC là một nhân viên văn phòng. Sau khi kết hôn khoảng 10 năm, do bản tính rất rất tiết kiệm nên tuy 2 vợ chồng đều có đồng lương không cao nhưng cũng có trong tay được khoảng X tỷ ( X <5).
Cũng như bao người khác, cô ABC muốn chấm dứt những ngày đi thuê nhà. Do đó, cô liên tục lướt FB để tìm căn nhà ngon bổ rẻ. Và khi cô gọi cho 1 anh sales BĐS tên XYZ, cô nói 1-2 cái gạch đầu dòng yêu cầu của cô, anh XYZ nghe xong 1-2 cái gạch đầu dòng và mừng vì tưởng gặp được khách xộp.
Nhưng sau đó 1 tháng thì XYZ vỡ mộng, cô ABC này đòi hỏi những yêu cầu mà XYZ nghĩ phải lớn hơn số tiền cô này có tầm vài tỷ. Và cô ABC này không chấp nhận bất kỳ khiếm khuyết nào :
- Nhà không vuông vức - NEXT
- Nhà bị quy hoạch 1 phần - NEXT
- Nhà hẻm 2m trở xuống - NEXT
Sau khi nghe hết những tâm tư, nguyện vọng , giãi bày, mong muốn, ước mơ của cô ABC về 1 căn nhà không có thật, XYZ thỏ thẻ:
Dạ, nãy giờ em cũng chăm chú lắng nghe, chị mạn phép cho em hỏi: giờ với những yêu cầu của chị thì gần như không tìm được, chỉ có 1 trường hợp hy hữu là nhà gần mồ mả , kết hợp thêm với yếu tố chủ vỡ nợ Bitcoin thì may ra.... Mà thật ra thì nhà gần mộ mà mình sống hiền lành tử tế thì cũng không sao...
anh XYZ vừa dứt lời thì ABC cắt lời ngay: Không, không, không được nha, nhà tôi có con nhỏ, tôi không đồng ý.
XYZ nghe xong, anh biết, khách này mình chắc không nên mất thêm thời gian, anh nhẹ nhàng cho khách đó vào diện low potential.
Bẵng đi 1 tháng, XYZ tình cờ biết tin cô ABC mua nhà rồi. anh tự trách mình và buồn vì mình đã nỗ lực hết sức mà không sales được. Cái xong, quả đất tròn, vô tình 1 ngày anh nghe được MNP (1 người quen biết cô ABC) kể: bà đó mua nhà xong khóc ròng rồi.
XYZ hỏi: Ủa, sao vậy? Bả lựa kỹ lắm mà? Mỗi lần nói chuyện với tao bả nói 1 trang A4 các tiêu chuẩn đòi hỏi phải có khi mua nhà đó.
MNP: Thì bởi vì kỹ quá nên bả bị nó lừa
XYZ: Ủa, là sao, nói cụ thể đi
MNP: Bà đó sau khi mày bỏ, thì có 1 thằng sales khác nhảy vào, đưa ra 1 căn nhà vừa to, hẻm xe tải, không quy hoạch, lại có 1 khoảng sân trước nhà rộng lắm, nên bả cùng ông chồng nghe cái diện tích to thì khoái lắm. Đến xem, cầm sổ đỏ chụp lại, đi kiểm tra quy hoạch thấy ok hết, giá lại rẻ gần bằng nửa thị trường nên ham. Ngay ngày hôm sau là đi cọc liền. Ngày tân gia, buổi tối đó đồng nghiệp cả công ty đến đông lắm, tay bắt mặt mừng chúc mừng vợ chồng cô này mua được nhà NGON BỔ RẺ.
Thì đến 8h tối, 2 cái xe rác to chà bá đậu ngay trước nhà, hóa ra khoảng sân rộng ngay trước nhà đó từ lâu đã được dùng làm điểm tập kết rác. Nó thối um lên. ngồi trong nhà nghe rõ mùi rác.
Thì phải rồi:
- Đòi hẻm xe tải - OK, hẻm này xe rác vô được
- Đòi phải hẻm thông tứ tung- Ok, hẻm thông nên tiện tập kết rác từ các ngóc ngách đổ về
- Đòi phải khu yên tĩnh, không nhậu , không loa kẹo kéo - Ok. Tối cứ 8h là mùi thúi rình thì ai thèm nhậu ở đó.
Và thằng sales BĐS kia thì còn đểu ở chỗ, nó gài: Chủ nhà này là 2 giáo sư về hưu. lớn tuổi nên 7h30 tối là ngủ rồi, có đi xem nhà thì xem ban ngày :)))) Nó gài vậy vì nó biết thừa 8h là xe tập kết rác ở đó.
Cô ABC này kỹ tính quá nên cô không biết là trước khi cô và chồng đi xem nhà thì nó đã đi nói với mấy bà già hàng xóm nhiều chuyện quanh nhà đó: Lát có khách đến xem nhà, cô nói tốt giùm con nha, bán được con gửi cô tiền cà phê. Thế là căn nhà trong mắt cô ABC thành ra như là viên ngọc quý bị xót lại, còn thằng XYZ hôm bữa là thằng TÀO LAO.
XYZ nghe xong mỉm cười nói cay đắng: THAM THÌ THÂM, THẾ THÔI.



#735609 $ f(x) + f(y) = \left( f(x+y) + \frac{1}{x+y...

Gửi bởi supermember trong 06-11-2022 - 14:57

Bài này nghiệm hàm là $ f(x) = x - \frac{1}{x}$, chứng minh bằng việc tính các giá trị: $ f(1); f(2)$ rồi bằng quy nạp theo $n$ để chứng minh: $f(n) = n - \frac{1}{n}$ với mọi số nguyên dương $n$.