Bài này làm như thế này.
Dễ thấy $n = 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán, vì $ 3^{2^{0}} + 10 = 3^1 + 10 = 13$ là số nguyên tố.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $ 3^{2^{2n}} + 10 = 3^{4^{n}} + 10$ chia hết cho $13$ , và do số này hiển nhiên lớn hơn $13$ nên nó không thể là số nguyên tố.
Thật vậy, với $n =1$ thì $ 3^{2^{2}} + 10 = 3^4 + 10 = 91 = 7 \cdot 13 $ , chia hết cho $13$.
Vậy khẳng định đúng với $n=1$.
Giả sự khẳng định đúng đến $n$, tức là : $ 3^{4^{n}} + 10$ chia hết cho $13$ $(*)$ thì khi đó:
$ 3^{2^{2(n+1)}} + 10 = 3^{4^{n+1}} + 10 = (3^{4^{n+1}} - 3^{4^{n}}) + (3^{4^{n}} + 10) \ (**) $
Mà: $(3^{4^{n+1}} - 3^{4^{n}}) = 3^{4^{n}} \cdot \left( 3^{3\cdot 4^{n}} - 1 \right) = 3^{4^{n}} \cdot \left( (3^{3})^{4^{n}} - 1 \right) = 3^{4^{n}} \cdot \left( 27^{4^{n}} - 1 \right)$
$27 \equiv 1 \pmod {13}$ $ \implies 27^{4^{n}} \equiv 1 \pmod{13} \implies 13 | 27^{4^{n}} - 1$
Suy ra: $(3^{4^{n+1}} - 3^{4^{n}}) $ chia hết cho $13$ $(***)$
Từ $(**)$; $(**)$; $(***)$ suy ra khẳng định đúng đến $n+1$ và do đó, theo nguyên lý quy nạp Toán Học thì khẳng định được chứng minh hoàn toàn.
Dẫn đến kết luận: Chỉ có duy nhất một số tự nhiên thõa mãn yêu cầu bài toán là $n=0$.
- perfectstrong, hxthanh, thanhng2k7 và 1 người khác yêu thích