supermember

Thực ra thì điều kiện hàm số liên tục là thừa. Nếu bỏ đi điều kiện liên tục của hàm số thì để hoàn tất bài toán, ta chỉ cần làm như sau:

 

Lời giải 2 (dựa trên ý tưởng của thầy Nghiêm Quốc Chánh):

+ Cho $x=0,y=1\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).0+a.1=a$     

+ Cho $x=0,y=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{4} \right )=(1-a).0+a.a=a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{2},y=1\Rightarrow f\left ( \frac{3}{4} \right )=(1-a).a+a.1=2a-a^2$   

+ Cho $x=\frac{1}{4},y=\frac{3}{4}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).a^2+a.(2a-a^2)=3a^2-2a^3$

 

 

Suy ra: $ a= 3a^2 - 2a^3 \implies 1 = 3a - 2a^2 \implies (2a-1)(a-1) = 0  \implies  a = \frac{1}{2}$ do $ 0< a<1$

 

Thay $ x = 0 ; y =  \frac{2}{7}$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{1}{7} \right) = a f \left(  \frac{2}{7} \right) $  $(4)$

 

 

Thay $ x = 0 ; y =  \frac{4}{7}$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{2}{7} \right) = a f \left(  \frac{4}{7} \right) $  $(5)$

 

Từ $(4); (5)$; ta suy ra:  $ f \left(  \frac{1}{7} \right) = a^2 f \left(  \frac{4}{7} \right) $

 

$ \implies  f \left(  \frac{4}{7} \right)  = \frac{f \left(  \frac{1}{7} \right)}{a^2}$  $(6)$

 

Thay $ x =  \frac{1}{7} ; y =  1$ vào $(1)$; ta có:

 

$ f \left(  \frac{4}{7} \right)  = (1-a) f \left(  \frac{1}{7} \right) + a$

 

$ \implies \frac{1}{a^2} \cdot f \left( \frac{1}{7} \right) = (1-a) f \left( \frac{1}{7} \right) +a$ , ở đây sử dụng đẳng thứ $(6)$

 

$ \implies  f \left(  \frac{1}{7} \right)  = \frac{ a^3}{1- (1-a) a^2}$  $(7)$

 

Thay $ a = \frac{1}{2}$ vào đẳng thức $(7)$ , ta có được:  $ f \left(  \frac{1}{7} \right)  = \frac{ 1}{7}$

 

Bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn

Cho số $ 0<a<1$ và hàm số $f$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:

 

$1/$ $ f(0) =0 \ ; \  f(1) =1$

 

$2/$ $ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a)f(x) + af(y)$  với mọi $x;y$ thỏa mãn $ 0 \leq x \leq y \leq 1$

 

 

Hãy tính $f \left( \frac{1}{7} \right)$

Chứng minh rằng với các số thực không âm $a;b;c;d$ thỏa : $a^2 + b^2 + c^2 +d^2 =3$ , ta luôn có bất đẳng thức sau đúng:

 

$ abcd + 3 \geq a+b+c+d$ 

Tìm tất cả hàm $f:  \mathbb{R}^{+} \mapsto  \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:

 

$(x+y)f(f(x)y) = x^2 f( f(x) + f(y)) $ với mọi $x,y \in \mathbb{R}^{+}$

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

 

$f(f(f(x)+y)+y)=4f(x) + 6y$ với mọi  $x,y \in \mathbb{R}$

Tìm tất cả các hàm số $ f: \mathbb{N}^{*} \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:

 

$1/$ $f(2) =2$

 

$2/$ $f(mn) = f(m)f(n)$ với mọi cặp số nguyên dương $(m;n)$ nguyên tố cùng nhau

 

$3/$ $ f(m) < f(n)$ với mọi  $m <n$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại một số nguyên lẻ $n$ và  một đa thức hệ số nguyên $Q(x)$ sao cho đa thức $ 1 + pn^2 + \prod_{i=1}^{2p-2} Q( x^{i})$ có ít nhất một nghiệm nguyên.

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N}^{*}  \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:

 

$1/$ $ f(2) =2$

 

$2/$ $  f(mn) = f(m)f(n)$ với mọi số nguyên dương $m;n$

 

$3/$ $ f(m) < f(n)$ với mọi $m <n$

Trong lá thư tuyệt mệnh, nếu để ý kỹ, ta sẽ thấy 2 chi tiết cảm động:

 

1. Thằng bé xin lỗi em mình. Nó chỉ nghĩ là trước có 2 anh em thì mẹ nó có mắng thì cũng 2 anh em nghe chung, giờ nó mất rồi thì chỉ còn em nó chịu nghe mắng chửi, càm ràm. Nó đã chết mà nó vẩn thương em nó.

2. Thằng bé không hề 1 câu nào oán trách mẹ mình. Có thể nó còn quá nhỏ nên nó chưa đủ câu từ để trách cứ ai, sau cùng, dù bố mẹ nó là nguyên nhân đẩy nó đến chết, nó cũng chỉ nói là: mẹ nó cũng muốn tốt, nhưng mẹ nó luôn làm theo ý mình và luôn làm quá mọi chuyện.

Hôm qua đọc xong tin thằng bé 16 tuổi ở Hà Nội tự tử mà không ngủ được. Liệu rằng đây có phải là trường hợp sau cùng không? Khi mà bệnh thành tích trong giáo dục và tính sỹ diện hão của các bậc phụ huynh thì không thay đổi.

Ok, let's go! Hi vọng là giải đúng, giải từ từ nha, các bạn nếu nhìn vào thấy chưa xong thì đừng giận: 

Xét dãy phụ: $ v_n = u_n +a $ Trong đó ta dùng phương pháp hệ số bất định để tìm $ a$ thỏa mãn $ 20+a = 9a$ thì khi đó dãy truy hồi thu được có dạng:

$ v_{n+1} = 4v_n + 5 v_{n-1}$ với mọi $ n \geq 2$ . Dễ thấy $ a = \frac{5}{2}$

$(v_n)$ là dãy truy hồi tuyến tính cấp $2$, $ v_0 =  \frac{45}{2} ; v_1 = \frac{205}{2}$, phương trình đặc trưng của dãy này là: $ x^2 - 4x -5 = 0$ có $2$ nghiệm:

 

$ x_1 = -1 ; x_2 = 5$ nên $ v_n = a \cdot (-1)^n + b \cdot 5^n$ với mọi $ n \in \mathbb{N}$

 

Do đã có trước $2$ giá trị $ v_0; v_1$ nên dễ dàng giải hệ tuyến tính  $2$ ẩn để tìm ra : $ a = \frac{5}{3}; b = \frac{125}{6}$

 

Suy ra: $ v_n = \frac{ 5^{n+3} + 10 \cdot (-1)^n }{6}$

 

Ta đi chứng minh $h$ phải là số chẵn.

Thật vậy, giả sử $h$ là số lẻ thì: $ u_{n+h} - u_n  = \frac{ 5^{n+3}  (5^h -1)+ 10 \cdot (-1)^n  \cdot ( (-1)^h -1)}{6}  =\frac{ 5^{n+3}  (5^h -1) - 20 \cdot (-1)^n }{6}$

Bài này làm gồm những bước sau:

 

Bước 1: Xác định công thức tổng quát của dãy $(u_n)$, tính ra được $u_n$ theo $n$

Bước 2: Phân tích $1998$ là tích các thừa số nguyên tố.

 

Bước 3: Sử dụng kiến thức cơ bản: cấp của một số nguyên theo modulo của hợp số là bội chung nhỏ nhất của các cấp của số nguyên đó theo modulo từng thừa số nguyên tố. Cụ thể: Giả sử $h$ là cấp của số nguyên $a$ theo modulo $n$, $n = p^{ \alpha_1}_1  p^{ \alpha_2}_2 \cdots p^{ \alpha_k}_k$ thì $h$ sẽ là bội chung nhỏ nhất của $ h_1; h_2; ...; h_k$ với $h_1; h_2;...; h_k$ lần lượt là cấp của $a$ theo modulo $p^{ \alpha_1}_1;  p^{ \alpha_2}_2; \cdots ;p^{ \alpha_k}_k$

 

Bước 4: Tính cụ thể ra các giá trị $h_1 ; h_2 ; ...; h_k$, cái này thì có những bổ đề để tính cụ thể ra

Liệu rằng có thể sử dụng phương pháp đã trình bày trong bài BĐT ở TOPIC https://diendantoanh...lâm-đồng-2022/ để giải quyết bài toán này không?

Supermember nghĩ rằng làm được, các bạn hãy thử xem

 

Ok, let's go!. Hi vọng là giải đúng!

Từ giả thiết bài toán ta suy ra: $ a = \frac{b-c}{1+bc}$

 

Do giả thiết bài toán $a;b ; c$ là những số thực dương nên hiển nhiên phải có: $b >c$

 

Do đó $ \mathcal{P} (a;b;c) = \frac{2}{1+a^2} - \frac{2}{1+b^2} + \frac{3}{1+c^2} = \frac{2}{1+ \frac{(b-c)^2}{(1+bc)^2}} - \frac{2}{1+b^2} + \frac{3}{1+c^2} $

 

$=  \frac{2 (1+bc)^2}{(1+b^2)(1+c^2)}- \frac{2}{1+b^2} + \frac{3}{1+c^2} =  \frac{2}{1+c^2}  \cdot \frac{ (1+bc)^2 - (1+c^2)}{1+b^2}  + \frac{3}{1+c^2}$     $(1)$

 

Với mỗi giá trị $c$ cố định, Ta sẽ đi khảo sát hàm số : $ f(x) =  \frac{ (1+xc)^2 - (1+c^2)}{1+x^2} = \frac{ 2cx+  c^2 x^2 - c^2}{1+x^2} $ trên $ (c; +\infty)$

 

Thật vậy, $ f^{'}(x) =   \frac{ (2c^2 x+2c)(1+x^2) - 2x(2cx+  c^2 x^2 - c^2) }{(1+x^2)^2}  =   \frac{ 2c(1 +2cx -x^2) }{(1+x^2)^2}$

 

Do đó $ f^{'}(x) =0 \Leftrightarrow 1 + 2cx - x^2 = 0  \Leftrightarrow (x-c)^2 = c^2 +1 \Leftrightarrow x = x_0= \sqrt{c^2+1} +c$

 

Từ kiến thức cơ bản về dấu của tam thức bậc $2$, Ta dễ thấy rằng $f(x)$ đơn điệu tăng trên $(c; x_0 ]$ và đơn điệu giảm trên $ [x_0 ; + \infty)$ do đó:

 

$ f(x) \leq f(x_0)$ với mọi $x$ thuộc $  (c; +\infty)$

 

Xét khai triển $f(x_0)$ thì bằng tính toán và rút gọn, ta có: $ f(x_0) = c^2 + \frac{c}{c + \sqrt{1+c^2}}$

 

Suy ra $ \mathcal{P} (a;b;c) \leq \frac{2}{1+c^2}  \cdot \left( c^2 + \frac{c}{c + \sqrt{1+c^2}} \right)   + \frac{3}{1+c^2} = g(c)$      $(2)$

 

Đoạn kết của bài toán chỉ còn là đi khảo sát hàm $ g(c)$ này trên $ (0; \infty)$ mà thôi. Tuy rằng không phải dễ nhưng cũng sẽ không quá khó :)

 

Ta dùng kỹ năng cơ bản về các " lượng liên hợp", thật vậy:

$ g(c) = \frac{2}{1+c^2}  \cdot \left( c^2 + \frac{c \cdot (  \sqrt{1+c^2} -c) }{(c + \sqrt{1+c^2}) \cdot (  \sqrt{1+c^2} -c) } \right)   + \frac{3}{1+c^2} $

 

$ = \frac{2}{1+c^2}  \cdot \left( c^2 + c \cdot (  \sqrt{1+c^2} -c ) \right)  + \frac{3}{1+c^2} $

 

$ \implies g(c) = \frac{2c}{ \sqrt{1+c^2}}  + \frac{3}{1+c^2} $      $(3)$

 

Đặt ẩn phụ $ t =  \sqrt{1+c^2}$ và rõ ràng $ t> 1$

 

$g(c) = \frac{ 2 \sqrt{t^2-1}}{t} + \frac{3}{t^2} = h(t)$ . Ta khảo sát hàm $h(t)$ trên $(1; + \infty)$

 

Ta có $ h^{'}(t) = \frac{2t - 6 \sqrt{t^2-1}}{t^3 \sqrt{t^2-1}} =  \frac{2(9 - 8t^2)}{ t^3 \cdot \sqrt{t^2-1} \cdot ( t+ 3 \sqrt{t^2-1} )} $ Thì $ h^{'}(t) = 0  \Leftrightarrow  9-8t^2 =0 \Leftrightarrow  8t^2 =9 \Leftrightarrow t = t_0 = \frac{3}{ 2 \sqrt{2}} $

 

Ta dễ thấy $ h(t)$ là hàm đồng biến trên $ (1; t_0 ]$ và là hàm nghịch biến trên $ [t_0 ; +\infty)$

 

Do đó $ g(c) = h(t) \leq h(t_0) = \frac{10}{3} $       $(4)$

 

Do đó , từ $(1); \ (2); \ (3); \ (4)$, ta suy ra:

 

Giá trị lớn nhất của $  \mathcal{P} (a;b;c)$ là $ \frac{10}{3} $, đạt được khi $ c = \frac{1}{ 2 \sqrt{2}} ; b = \sqrt{2} ;  a =  \frac{1}{ \sqrt{2}}$

 

Bài Toán Theo đó được giải quyết hoàn toàn. Và thực ra ta còn giải được bài toán ở dạng khó hơn là tìm GTLN thay vì chỉ đi chứng minh bất đẳng thức.

Bài này có lời giải khác đơn giản & tự nhiên hơn.

Chờ chút đi ăn cơm. Lát post lên.

 

Bắt đầu: Hi vọng là giải đúng   
 

Xét tam thức bậc $2$  : $ g(x) = x^2 - x +1$

 

Ta thấy rằng bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $ 3(x^2 - x+1) g(y) g(z) \geq x^2 y^2 z^2 + xyz +1$

 

Tức là ta cần đi chứng minh $  d(x) = (3g(y)g(z) - y^2 z^2 ) x^2 - (3g(y)g(z) +yz)x + (3g(y)g(z) -1) \geq 0$

 

Vế trái của bất đẳng thức này là tam thức bậc $2$ ẩn $x$, một cách tự nhiên, ta xét $ \Delta$ của tam thức này:

 

$  \Delta = (3g(y)g(z) +yz)^2 - 4 \left( 3g(y)g(z) - y^2 z^2 \right) \cdot  \left( 3g(y)g(z) -1 \right)$

 

$ = 9 g^2 (y) g^2 (z) + 6yzg(y)g(z) + y^2 z^2 - 36 g^2 (y) g^2 (z) + 12 g(y)g(z) + 12 y^2 z^2 g(y)g(z) - 4y^2 z^2 $

 

$ = -27g^2 (y) g^2 (z) + 6yzg(y)g(z) - 3y^2 z^2 + 12 g(y)g(z) + 12 y^2 z^2 g(y)g(z)$

 

$ \implies  \Delta = -3 \left( g(y)g(z) - yz \right) ^2 - 12 g(y)g(z) \left( 2g(y)g(z) -  y^2 z^2 -1 \right)$   $ ( \bigstar )$

 

Mục đích sau cùng của ta là đi chứng minh $ \Delta \leq 0$ và để chứng minh điều này, ta sẽ đi chứng minh:

 

$ 2g(y)g(z) -  y^2 z^2 -1 \geq 0$   $ ( \bigstar   \bigstar)$

 

Thật vậy, nếu ta tiếp tục sử dụng kỹ thuật như từng dùng ở trên, thì ta dễ thấy là $ ( \bigstar   \bigstar)$ tương đương với:

 

$  h(y) = (z^2 - 2z+2)y^2 - 2(z^2-z+1)y + (2z^2 - 2z +1) \geq 0$

 

Tiếp tục xét $ \Delta^{'}_{h}$ thì ta có:

 

$ \Delta^{'}_{h} = (z^2-z+1)^2 - (z^2 - 2z+2) \cdot (2z^2 - 2z +1) = z^4 + z^2 +1 - 2z^3 -2z+ 2z^2 - 2z^4 + 2z^3 - z^2 + 4z^3 - 4z^2 + 2z - 4z^2 + 4z -2$

 

$ = -z^4 + 4z^3 - 6z^2 + 4z -1 = -(z-1)^4 \leq 0$ với mọi $ z \in \mathbb{R}$

 

Ta có: $h(y)$ là tam thức bậc $2$ có hệ số của $y^2$ là $ z^2 - 2z+2 = (z-1)^2 +1 >0$ và định thức $ \Delta^{'}_{h} \leq 0$ với mọi $ z \in \mathbb{R}$

 

Suy ra $ h(y) \geq 0$ với mọi  $ y \in \mathbb{R}$

 

Suy ra  $ ( \bigstar   \bigstar)$ được chứng minh hoàn toàn.

 

Từ $    ( \bigstar ); ( \bigstar   \bigstar)$ ta suy ra:  $  \Delta \leq 0$ với mọi $y;z \in \mathbb{R}$

 

Suy ra $  d(x)$ là tam thức bậc $2$ có hệ số $x^2$ là  $3g(y)g(z) - y^2 z^2 > 2g(y)g(z) -  y^2 z^2 -1  \geq 0$ và định thức $  \Delta \leq 0$ với mọi $y;z \in \mathbb{R}$

 

Nên theo kiến thức cơ bản về tam thức bậc $2$ thì hiển nhiên $ d(x) \geq 0$ với mọi $ x \in \mathbb{R}$

 

Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : $ x=y=z=1$

 

Và ta còn thu được kết quả mạnh hơn nhiều:

 

Bất đẳng thức đã cho vẫn đúng khi $x;y;z \in \mathbb{R}$ và điều kiện đã cho là thừa .

Hy vọng là giải đúng 

Bài này đề đúng phải phát biểu là: Chứng minh rằng kể từ một chỉ số nguyên dương $n$ nào đó thì mọi hệ số của đa thức $(x^2-3x+3)(x+1)^n$ đều là số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của  chỉ số nguyên dương $n$ này.

 

 

Ta thử $1$ vài giá trị $n$ đầu tiên để tạo đà:

 

* $n=1$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $x^2$ trong khai triển $ (x^2 - 3x+3)(x+1)$ là $ -2 <0$

 

* $ n =2$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $x^3$ trong khai triển $ (x^2 - 3x+3)(x^2+ 2x+1)$ là $ -1 <0$

 

* $ n = 3$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^4 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x^3+ 3x^2 +3x+1)$ là $0$
Vậy rõ ràng là $n \ge 4$

 

Khi $n \geq 4$ thì do $P(x)$ là đa thức bậc $n+2$ và: $ [x^{n+2}] P(x) = 1 >0$, $  [x^{n+1}] P(x) = n-3 >0$, $ [x^1] P(x) = 3n-3 >0$, $ [x^0] P(x) = 3 >0$

 

Nên ta chỉ cần xét các hệ số của $x^k$ với $ 2 \leq k \leq n$

 

$ [x^{k}] P(x) = \binom{n}{k-2} - 3 \binom{n}{k-1} + 3 \binom{n}{k}$

 

$ = \frac{n!}{ (k-2)! \cdot (n-k+2)!}  - \frac{3n!}{ (k-1)! \cdot (n-k+1)!} + \frac{3n!}{ k! \cdot (n-k)!}  $

 

$ = \frac{n!}{ k! \cdot (n-k+2)!}  \cdot \left( k(k-1) -3k(n-k+2) + 3(n-k+1)(n-k+2) \right)$ 

 

$ = \frac{n!}{ k! \cdot (n-k+2)!}  \cdot \left( 7k^2 -(9n+16)k + (3n^2+9n+6) \right)$ 

 

Xét tam thức bậc $2$  : $Q(k) = 7k^2 -(9n+16)k + (3n^2+9n+6)$

 

Ta có $ \Delta = (9n+16)^2 - 28(3n^2+9n+6) = -3n^2 + 36n+ 88 = -3(n-6)^2 + 196 < 0$ với mọi $n \geq 15$

 

Mà $Q(k)$ là tam thức bậc $2$ ẩn $k$ có hệ số của $k^2$ là $7>0$ , suy ra nếu $n \geq 15$ thì $Q(k) >0$ với mọi $k \in \mathbb{R}$

Từ đây suy ra với $n \geq 15$ thì  mọi hệ số của $ P(x)$ đều là số nguyên dương.

 

Do đó, khẳng định thứ nhất của bài toán đã được chứng minh.

 

Để tìm giá trị $n$ nhỏ nhất thỏa bài toán thì ta chỉ cần thử trực tiếp từ $4$ đến $14$. Quá trình này không khó, tạm thời đi ngủ để tối nay chờ MU xuống hạng.

 

Tiếp tục: MU thắng nhưng sau mùa này nhiều khả năng vẫn xuống giải hạng nhất.
 
* $ n = 4$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^3 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x^4+ 4x^3+6x^2 +4x+1)$ là $4- 18+ 12 = -2 < 0$

 

* $ n = 5$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^4 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^5$ là $ \binom{5}{2} - 3 \binom{5}{3} + 3 \binom{5}{4} = -5 <0$

 

* $ n = 6$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^5 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^6$ là $ \binom{6}{3} - 3 \binom{6}{4} + 3 \binom{6}{5} = -7 <0$

 

* $ n = 7$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^6 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^7$ là $ \binom{7}{4} - 3 \binom{7}{5} + 3 \binom{7}{6} = -7 <0$

 

* $ n = 8$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^7 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^8$ là $ \binom{8}{5} - 3 \binom{8}{6} + 3 \binom{8}{7} = -4 <0$

 

* $ n = 9$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^7 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^9$ là $ \binom{9}{5} - 3 \binom{9}{6} + 3 \binom{9}{7} = -18 <0$

 

* $ n = 10$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^8 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^{10}$ là $ \binom{10}{6} - 3 \binom{10}{7} + 3 \binom{10}{8} = -15 <0$

 

* $ n = 11$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^8 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^{11}$ là $ \binom{11}{6} - 3 \binom{11}{7} + 3 \binom{11}{8} = -33 <0$

 

* $n = 12$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^9 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^{12}$ là $ \binom{12}{7} - 3 \binom{12}{8} + 3 \binom{12}{9} = -33 <0$

 

* $ n = 13$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^9 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^{13}$ là $ \binom{13}{7} - 3 \binom{13}{8} + 3 \binom{13}{9} = 0$

 

* $ n = 14$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^{10} $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^{14}$ là $ \binom{14}{8} - 3 \binom{14}{9} + 3 \binom{14}{10} = 0$

 

Do đó $ n_{ \min} = 15$ và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.