Thực ra thì điều kiện hàm số liên tục là thừa. Nếu bỏ đi điều kiện liên tục của hàm số thì để hoàn tất bài toán, ta chỉ cần làm như sau:
Lời giải 2 (dựa trên ý tưởng của thầy Nghiêm Quốc Chánh):
+ Cho $x=0,y=1\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).0+a.1=a$
+ Cho $x=0,y=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{4} \right )=(1-a).0+a.a=a^2$
+ Cho $x=\frac{1}{2},y=1\Rightarrow f\left ( \frac{3}{4} \right )=(1-a).a+a.1=2a-a^2$
+ Cho $x=\frac{1}{4},y=\frac{3}{4}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2} \right )=(1-a).a^2+a.(2a-a^2)=3a^2-2a^3$
Suy ra: $ a= 3a^2 - 2a^3 \implies 1 = 3a - 2a^2 \implies (2a-1)(a-1) = 0 \implies a = \frac{1}{2}$ do $ 0< a<1$
Thay $ x = 0 ; y = \frac{2}{7}$ vào $(1)$; ta có:
$ f \left( \frac{1}{7} \right) = a f \left( \frac{2}{7} \right) $ $(4)$
Thay $ x = 0 ; y = \frac{4}{7}$ vào $(1)$; ta có:
$ f \left( \frac{2}{7} \right) = a f \left( \frac{4}{7} \right) $ $(5)$
Từ $(4); (5)$; ta suy ra: $ f \left( \frac{1}{7} \right) = a^2 f \left( \frac{4}{7} \right) $
$ \implies f \left( \frac{4}{7} \right) = \frac{f \left( \frac{1}{7} \right)}{a^2}$ $(6)$
Thay $ x = \frac{1}{7} ; y = 1$ vào $(1)$; ta có:
$ f \left( \frac{4}{7} \right) = (1-a) f \left( \frac{1}{7} \right) + a$
$ \implies \frac{1}{a^2} \cdot f \left( \frac{1}{7} \right) = (1-a) f \left( \frac{1}{7} \right) +a$ , ở đây sử dụng đẳng thứ $(6)$
$ \implies f \left( \frac{1}{7} \right) = \frac{ a^3}{1- (1-a) a^2}$ $(7)$
Thay $ a = \frac{1}{2}$ vào đẳng thức $(7)$ , ta có được: $ f \left( \frac{1}{7} \right) = \frac{ 1}{7}$
Bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn
- Nesbit, perfectstrong và chanhquocnghiem thích