Biết a, b, c là 3 số thực dương khác 0 và tm abc=1. CMR
$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geqslant \frac{3}{4}$
Quy đồng trức tiếp ta cần cm $:$
$ a+b+c +ab+bc+ac \geq 6$ . Bất đẳng thức hiển nhiên đúng theo $AM-GM$
20-05-2016 - 12:01
Biết a, b, c là 3 số thực dương khác 0 và tm abc=1. CMR
$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geqslant \frac{3}{4}$
Quy đồng trức tiếp ta cần cm $:$
$ a+b+c +ab+bc+ac \geq 6$ . Bất đẳng thức hiển nhiên đúng theo $AM-GM$
15-05-2016 - 22:46
Ta có $: a+b+c\geq \frac{9}{a+b+c} \Rightarrow a+b+c\geq 3 $
Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ cho hai bộ đơn điệu cùng chiều ta có $:$
$\sum a(a^{4}-1) \geq \frac{1}{3} * (\sum a)(\sum a^{4}-1)\geq 0$
Vì $ : 27\sum a^{4} \geq (a+b+c)^{4} \Rightarrow \sum a^{4} \geq 3 $
15-05-2016 - 18:53
$(a^{2},b^{2},c^{2} ) \rightarrow (a,b,c) $.
Lúc này ta cần tìm min của $:M=\sum\frac{a}{\sqrt{b}} $ và ta có $a+b+c\geq 1$
Áp dụng bđt $AM-GM$ ,ta cần chứng minh $:$
$M=\sum\frac{a}{\sqrt{b}} \geq \sum\frac{\frac{2a}{\sqrt{3}}}{b+\frac{1}{3}}\geq \sqrt{3} (1)$
$(1) \Leftrightarrow \sum\frac{a}{3b+1} \geq \frac{1}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta được $:$
$\sum\frac{a}{3b+1} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ac)+a+b+c} \geq \frac{1}{2} $
$\Leftrightarrow 2(a+b+c)^{2} \geq 3(ab+bc+ac) +a+b+c$
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng vì $:$
$$(a+b+c)^{2} \geq 3(ab+bc+ac) $$
$$(a+b+c)^{2}\geq a+b+c $$
05-05-2016 - 21:18
Đã sửa dấu , Sao lại không xảy ra vậy?
05-05-2016 - 17:32
2)Cho $0<x,y,z<1$ và $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$
Tìm Min $P=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}$
Chia cả hai vế cho $xyz$ ta được $: 1=\left(\frac{1}{x}-1\right) \left(\frac{1}{y}-1\right)\left( \frac {1}{z}-1\right)$
Đặt $: (\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})=(a;b;c) $ . Ta được $:$
$ P= a+b+c+ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}$ và $1=(a-1)(b-1)(c-1)$
$\Rightarrow 1 \leq \left(\frac{a+b+c-3}{3}\right)^3 \Leftrightarrow a+b+c \geq 6 ((a-1),(b-1),(c-1)>0)$
Mà $ : P\geq a+b+c +\frac{9}{a+b+c} $
Đặt $:a+b+c=t => P \geq \frac{t}{4} +\frac{9}{t} +\frac{3t}{4} \geq \frac{15}{2} $
Đẳng thức xảy ra khi $:a=b=c \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học