Black Pearl

giải phương trình sau $(5x^2-25x+30)(2-x)+x^4-8x^2+17=0$

$\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$. $M$ thuộc cung $BC$ không chứa $A$. $A',B',C'$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC,CA,AB$. CMR:

a. $\frac{BC}{MA'}=\frac{CA}{MB'}+\frac{AB}{MC'}$

b. $B'C'$ đi qua trung điểm của đoạn nối giữa trực tâm $H$ của $\triangle ABC$ với $M$

Cho $x,y,z>0$

CMR $A=\sqrt[3]{4(x^3+y^3)}+\sqrt[3]{4(y^3+z^3)}+\sqrt[3]{4(x^3+z^3)}+2(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2})\geq 12$

Cho các số $a,b> 1$ và$a+b\leq 4$

Tìm min của $A=\frac{a^4}{(b-1)^2}+\frac{b^4}{(a-1)^2}$

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Thái Bình 2016-2017

Câu 1.(3,0 điểm) Cho $2x=\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}+1}$

                          Tính $P=\sqrt{\frac{x^4-2x^3+4x^2-12x-11}{2x^2-6x+2}}$

Câu 2.(3,0 điểm) Cho hai hàm số: $y=(m^2+2)x-m^3-3m+1$ và $y=x-2m+1$ có đồ thị lần lượt là $d_{1},d_{2}$. Gọi $A(x_{0},y_{0})$ là giao điểm của $d_{1},d_{2}$

a) Tìm tọa độ điểm $A$

b) Tìm $m$ nguyên để biểu thức $T=\frac{x_{0}^2+3x_{0}+3}{y_{0}^2-3y_{0}+3}$ nhận giá trị nguyên 

Câu 3.(4,0 điểm)

1) Giải phương trình: $2x^2-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$

2) Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} 2x^2y^2+x^2y-xy-x-1=0\\ x^2y^2-x^2y+6x^2-x-1=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác $MNP$ cân tại $P$ . Gọi $H$ là trung điểm của $MN$, $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $PM$. Dựng đường thẳng qua $P$ vuông góc với $NK$ và cắt $HK$ tại $I$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của $HK$.

Câu 5.(4,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông cân tai $A$. Trên tia đối tia $AC$ lấy điểm $M$ sao cho $0<AM<AC$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$, $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $BC$, $MK$ cắt $AB$ tại $H$. Gọi $E$,$F$ lần lượt là trung điểm của $CH$ và $BM$

a) Chứng minh rằng tứ giác $AFKE$ là hình vuông

b) Chứng minh rằng $AK$,$EF$,$OH$ đồng quy

Câu 6.(2,0 điểm) Tìm số nghiệm nguyên dương $(x;y)$ của phương trình $x^2-y^2=100.110^{2n}$ với $n$ là số nguyên dương cho trước. Chứng minh rằng số nghiệm này không thể là số chính phương

Câu 7.(2,0 điểm)Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ac(a^3+b^3)}$