cristianoronaldo

Bài 3:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$(\sum a)(\sum \frac{1}{a})= \sqrt{(\sum a^2+2\sum bc)(\sum \frac{1}{a^2}+2\sum \frac{1}{bc})}$

                          $\geq$$\sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}+2\sqrt{(\sum bc)(\sum \frac{1}{bc})}$

                          $= \sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}+2\sqrt{(\sum a)(\sum \frac{1}{a})}$

Như vậy ta có:

$[\sqrt{(\sum a)(\sum \frac{1}{a})}-1]^2\geq 1+\sqrt{(\sum a^2)(\sum \frac{1}{a^2})}$

Lấy căn bậc hai ta được KQ của bài toán.

Dấu ''='' xảy ra khi ....

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\geq 1$.Cmr:

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta đều có:

$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}$

Bài 3:Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\sqrt{\sum a.\sum \frac{1}{a}}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{\sum a^2.\sum \frac{1}{a^2}}}$

Bài 4:Cho x,y,z là các số thực dương.Cmr:

$\sum \frac{1+yz+zx}{(1+x+y)^2}\geq 1$

                  _THE END_

Bài 1

   Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $\sum a=3$

   Chứng minh

  $B=\sum\frac{1}{2+a^2b}\geq 1$

Bài 2

  Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $\sum a^2=1$

  Chứng minh

$\sum\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq 2+\sum ab$

Bài 3

   Cho a.b.c là các số thực dương

   Chứng minh

$\sqrt{\sum c^2(a^2+b^2)^2}\geq \frac{54(\prod a)^3}{(\sum a)^2\sqrt{\sum (ab)^4}}$

Bài 1:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{a^2b}{2+a^2b}\leq 1$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:$a^2b+1+1\geq \sqrt[3]{a^2b}$

=>$\frac{a^2b}{2+a^2b}\leq \frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}= \frac{1}{3}.\sqrt[3]{a^4b^2}= \frac{1}{3}.\sqrt[3]{a^2.ab.ab}\leq \frac{1}{9}.(a^2+2ab)$

Tương tự ta cũng có:

$\frac{b^2c}{2+b^2c}\leq \frac{1}{9}.(b^2+2bc)$

$\frac{c^2a}{2+c^2a}\leq \frac{1}{9}.(c^2+2ca)$

Cộng theo vế ta được:

B$\leq \frac{1}{9}.(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)= \frac{1}{9}.(a+b+c)^2= 1$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

Mình cùng góp ý một bài:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.Cmr:

$\sum \sqrt{a+b}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.(1+\sum ab)$

dấu = xảy ra khi nào

Dấu = xảy ra khi x=1, y=-1, z=0 hoặc x=-1, y=1, z=0

1. Cho a,b,c>0. CM: $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$

2. Cho a,b,c>0 t/m: ab+bc+ca=3.CM: $\sum \frac{a}{2a^{2}+bc}\geq abc$

Bài 1:

Đặt a+b=x, b+c=y ,c+a=z thì ta được:a=$\frac{x+z-y}{2}$

                                                           b=$\frac{x+y-z}{2}$

                                                           c=$\frac{y+z-x}{2}$

Như vậy ta được:VT=$\frac{\frac{x+z-y}{2}+\frac{3(y+z-x)}{2}}{x}+\frac{\frac{y+z-x}{2}+\frac{3(x+z-y)}{2}}{y}+\frac{2(x+y-z)}{z}$

                                =$\frac{2z+y-x}{x}+\frac{2z+x-y}{y}+\frac{2x+2y-2z}{z}$

                                =$2.(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2.(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})-4$

                                   $\geq 2.2+2.2+2-4=6$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c

Cho a,b,c>0 t/m $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

       Cm: $\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}$$\leq 2$

Bạn ơi, đề sai rồi ta phai cm VT$\leq \frac{1}{2}$

cho x,y,z >0

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2$

Tìm giá trị nhỏ nhất của

$A= 2016xy-yz-zx$

Ta có:

A=2016xy-yz-zx=2016xy-z(x+y)$\geq 2016xy-\frac{z^2+(x+y)^2}{2}=2015xy-1$

Mặt khác, ta có:

-xy$\leq \frac{x^2+y^2}{2}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}= 1$

=>xy$\geq -1$

=>A$\geq -2016$

Ta có:

E=$x^2+2+\frac{1}{x^2+2}-2$

Đặt$x^2+2=y$($y\geq 2$)

Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có:

E=$(\frac{1}{y}+\frac{y}{4})+\frac{3y}{4}-2\geq 2\sqrt{\frac{1}{y}.\frac{y}{4}}+\frac{3.2}{4}-2$

=>E$\geq \frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi x=o

Vậy MinE=$\frac{1}{2}$khi x=o